借助前位類比 促進自覺生成
——以蘇科版數學九年級上冊“1.1一元二次方程（1）”教學現實為例

一、類比鋪墊

師：看到今天學習的課題，你有什么想法？

生1：什么是一元二次方程？

生2：一元二次方程與前面學過的一元一次方程有什么聯系與區別？

生3：一元二次方程怎么解？

生4：一元二次方程在生活中有哪些應用？

……

師：那么今天這節課，我們主要研究一元二次方程的什么呢？

生：一元二次方程的定義！

啟示：通過一元一次方程的知識結構，學生類比產生一元二次方程的知識結構，旨在培養學生的結構化思維和有序性思考能力。學生有了探究和接受新知的思維新基點，激發了進一步探究的熱情。

師：什么是一元一次方程？

生5：在一個方程中，只含有一個未知數，且未知數的指數都是1，這樣的整式方程叫作一元一次方程。

師：請提煉一元一次方程定義中的核心要素。

生6：①一元；②一次；③整式。

師：一元一次方程的一般形式是什么？

生7：ax+b=0（a、b為常數，且a≠0）。

師：這里a、b為常數不難理解，那為什么要有a≠0呢？

生7：當a=0時，這個方程就不是一元一次方程了！

啟示：這里看似平淡無奇的教學，卻有著很深的用意，特別是“提煉一元一次方程定義中的核心要素”：①一元、②一次、③整式，為學生給一元二次方程下定義打下鋪墊。

二、自覺體悟

例1 根據題意列方程：如圖（本文圖略），長方形花圃一面靠墻，另外三面所圍成柵欄的總長度是19m，如果花圃的面積為24m2，花圃的寬為xm，則可得方程：_______________。

生：可以用“柵欄的總長度是19m”這個等量關系推得與墻平行的一邊的長為（19-2x）m。可用另一個等量關系列出方程為：x（19-2x）=24。

師：請同學們獨立完成以下問題，根據題意列方程。

（1）兩個連續整數的平方和等于145，求其中較小的數。（設較小的數為n）

（2）小亮、小明、小剛三個人中，小亮的年齡比小明的年齡小7歲，小剛的年齡比小明的年齡大5歲，并且小亮與小剛的年齡的乘積是160，你知道這三個人的年齡各是多少歲嗎？（設小明的年齡為y歲）

（3）如圖（本文圖略），在長40m、寬22m的長方形地面內，四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積達到760m2，道路的寬應為多少呢？（設道路的寬為xm）

啟示：設計此環節主要是讓學生在潛意識中明白一元二次方程在生活中有很多應用，是解決相關問題的重要模型與工具，學好一元二次方程有很大的必要性。此處沒有完全采用教材的體例，主要是為了引導學生歸納。這里運用的是從一般到特殊的教學方法。同時，每道問題給出了統一的“設元”，是為了讓學生得到關于同一個未知數的方程，便于互動交流的“統一性”。

師：同學們，現在我們得到四個方程，分別是：x（19-2x）=24、n2+（n+1）2=145、（y-7）·（y+5）=160、（40-2x）·（22-2x）=760。現在老師將方程x·（19-2x）=24進行變形。同學們，請猜想我們將這個方程進行變形的思路是什么呢？

生8：等號左邊利用單項式乘多項式的法則展開，變為19x-2x2=24。

師：不僅如此，我們還要將等號右邊的數和式全部移到等號的左邊，即等號右邊化為0。這樣，我們得到了什么樣的方程呢？

生9：19x-2x2-24=0。

師：你們看到等號左邊的代數式還有什么想法嗎？

生10：可以按未知數的次數進行降冪或升冪排列。

師：對！我們通常按降冪排列，其結果將方程變形成什么樣的方程呢？

生11：-2x2+19x-24=0。

師：通常我們還會將最高項的系數都化為正數。在這個方程中，我們該如何將最高項系數化為正數呢？

生12：兩邊同時乘-1，得2x2-19x+24=0。

師：請同學們歸納剛才將方程變形的步驟，它們分別有哪些？

生13：（1）將能展開的各項全部展開；（2）將等號右邊的各項全部移到等號左邊；（3）合并同類項；（4）按未知數的次數降冪排列；（5）最高項系數轉化為正數。

師：現在請同學們依照剛才的變形過程，將另外三個方程進行變形和整理。

生13：n2+n-72=0、y2-2y-195=0、x2-31x+30=0。

啟示：指導學生經歷化歸成一元二次方程的過程，是為了揭示一元二次方程的本質，歸納一元二次方程的一般形式，為今后求一元二次方程的根（如用求根公式求根）服務，豐富學習與活動經驗。

三、自主建構

師：通過變形，我們得到四個方程——2x2-19x+24=0、n2+n-72=0、y2-2y-195=0和x2-31x+30=0，這些方程有哪些共同特征？你們能用核心詞語進行歸納嗎？

生14：①一元；②二次；③整式。

師：你們能給它們取一個名字嗎？

生14：一元二次方程。

師：你能給一元二次方程下個定義嗎？給它下定義時，你有什么想法？

生15：類比一元一次方程的定義。

生16：只含有1個未知數，且未知數的最高次數是2次的整式方程叫作一元二次方程。

啟示：學生通過結構化提煉發現這類方程的核心要素（①一元、②二次、③整式），從而更深刻地發現一元一次方程與此類方程的異同，給一元二次方程命名和下定義都能做到水到渠成，讓新知能在學生原有的知能結構中“自然分娩”。

數學素養教育不只是教解題技巧，更是教學會思考，重在提升學生的思維品質。教學中需要我們能夠創造性地使用教材，解決好“突出重點”“突破難點”和“處理生成點”這些常規問題，讓學生的數學學習變得有趣味、有活力、有情境、有挑戰，把核心學習過程還給學生，讓學生在類比性生成中學會自覺建構。