對運算教學(xué)中板書示范與矯正錯誤的探索

■吳顯峰

我國著名數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生曾指出：“教學(xué)的技藝，一方面要指示正規(guī)，另一方面要矯正錯誤，必須兼施并用，才會有較好的效果。”筆者結(jié)合近年來初中數(shù)學(xué)運算教學(xué)中的一些實踐經(jīng)驗，認為運算教學(xué)要重視板書示范和矯正錯誤。下面筆者以乘法公式的教學(xué)為例，談一談個人的做法和體會。

一、例題板書示范

案例1 （平方差公式）計算（3x+2）（3x-2）。

解：原式=（3x）2-22……視為整體，添加小括號，不跳步。

=9x2-4。……展開小括號。

板書示范的細節(jié)：教師在板書之前，可先安排學(xué)生觀察兩個因式中的各項系數(shù)的特點，然后用不同顏色的粉筆進行標注，再寫成兩項平方差的形式，并在每一步的后面進行備注、解讀。

案例2 （平方差公式）計算（-m+2n）（-2n-m）。

解：原式=（-m+2n）（-m-2n）……變形改寫，與公式“形式”一致。

=（-m）2-（2n）2……視為整體，添加小括號，不跳步。

=m2-4n2。……展開小括號。

板書示范的細節(jié)：教師先安排學(xué)生觀察兩個因式中的各項特點，分析能否運用乘法公式進行簡化運算，這里要讓學(xué)生辨識并且說出哪一項相當于平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的“a”或“b”，然后提醒并示范“第一步”。教師可以使用相同顏色的粉筆標注“-m”，使用另一種顏色的粉筆標注“2n”，以促進學(xué)生辨識。

案例3 （完全平方公式）計算（a＋b＋c）2。

解：原式=[ ](a+b)+c2……視為整體，恰當分組。

=（a+b）2+2（a+b）c+c2……運用完全平方公式展開。

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2……展開小括號。

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。……整理，形式上更加一致。

板書示范的細節(jié)：學(xué)生可能會直接展開成9項，然后再合并、化簡。對于這道計算題來說也是可行的，但筆者啟發(fā)學(xué)生運用整體眼光，連續(xù)使用完全平方公式展開，然后將a+b視為整體用小括號括起來，具體板書時還可采用留白、字號縮放的書寫技巧（如圖1）來幫助學(xué)生理解這一步的意圖。

案例4 （乘法公式綜合運算）計算（x+2y-3）（x-2y+3）。

解：原式=[x+(2y- 3) ][x- (2y- 3) ]……觀察因式中的各項系數(shù)特點，恰當組合。

=x2-（2y-3）2……視為整體，運用平方差公式。

=x2-（4y2-12y+9）……展開小括號。

=x2-4y2+12y-9。……去小括號，化簡。

板書示范的細節(jié)：在初學(xué)案例4 這道計算題時，學(xué)生往往不太適應(yīng)，難以找出合適的分組。這時教師可在學(xué)生獨立觀察、思考的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生分組交流各自的發(fā)現(xiàn)和嘗試，然后再讓全班交流分享一些成功的分組經(jīng)驗，最后在學(xué)生成功解出答案的基礎(chǔ)上，進行如上的“分步運算”環(huán)節(jié)，并備注每一步的操作說明或依據(jù)。

二、矯正錯誤的案例呈現(xiàn)

案例5 計算（-3x+2y）（-2y-3x）。學(xué)生錯誤：原式=-3x2+2y2。

提醒出錯后訂正：原式=-9x2+4y2。第二次訂正：原式=-4y2+9x2。

矯正意見：該生成績在班級屬于中等水平，第一次出錯的原因是典型的跳步太多，特別是符號辨識不當，又沒有添加小括號，而且對平方差公式的結(jié)構(gòu)特征理解不透，化簡時也沒有與平方差公式在結(jié)構(gòu)上保持“一致性”（結(jié)果宜寫成9x2-4y2）。在師生究錯討論后，訂正如圖2：

圖2

案例6 計算（a+2b+1）（a+2b-1)。

學(xué)生錯誤：

矯正意見：由于學(xué)生第一步就出現(xiàn)了“組合”錯誤，導(dǎo)致后續(xù)運算全部無效，是典型的“高位出錯”。教師教學(xué)時可將這種錯誤進行投影，讓全班學(xué)生參與糾錯和究錯，能訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力。當學(xué)生觀察出兩個因式中有相同項（a+2b）時，再運用平方差公式即可簡化運算。

案例7 運用“楊輝三角”展開（a-2b）5。

學(xué)生錯誤：原式=a5-10a4b+20a3b2-20a2b3+10ab4-2b5。

矯正意見：這是蘇科版數(shù)學(xué)八年級教材中的一道變式拓展題。在教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都出錯了。學(xué)生出錯的根本原因在于對“視為整體”的處理策略運用不熟悉，并且想“一步到位”，結(jié)果跳步出錯。而少數(shù)展開成功的學(xué)生就是因為將“-2b”視為整體，然后運用“楊輝三角”逐項展開，最后再化簡成功的。上述的教師示范過程如圖3。教師講評時注意讓學(xué)生體會運算、書寫的“序”，可以使用不同顏色的粉筆進行切換、示范。

圖3

三、關(guān)于運算教學(xué)的思考

1.站在學(xué)生角度，找準算法關(guān)鍵并分步示范。

教師由于對初中階段的各類運算非常熟悉，所以備課時更需要站在學(xué)生的角度，以一個初學(xué)者的視角了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，即對于新學(xué)習(xí)的運算或變形可以與之前哪些運算或算法經(jīng)驗相關(guān)聯(lián)，又與哪些顯著不同且容易形成干擾。找準以上這些算法關(guān)鍵之后，教師就要做出必要的教學(xué)預(yù)設(shè)，比如在哪些關(guān)鍵步驟要慢下來或者停下來，而不是用PPT像“放電影”一樣展示解法過程，然后再安排大量練習(xí)。筆者認為，在學(xué)生新接觸一類運算之后，要組織學(xué)生“慢慢”歸納（能證明的要盡量進行推證）得出運算法則。在運用法則進行運算時，例題的算法步驟盡量不使用PPT 播放，而要由教師親自板書，通過輔以不同顏色的粉筆，恰時恰點的留白式書寫和停頓式書寫，甚至需要必要的“稚化思維”“有意出錯”等教學(xué)藝術(shù)，突破教學(xué)難點，提醒學(xué)生關(guān)注易錯點和易混點。

2.執(zhí)行法則，并靈活運用數(shù)學(xué)思想解題。

學(xué)生在新接觸一類運算或變形式之后，歸納得出的運算法則，要嚴格執(zhí)行，但是運算的難點和靈活性在于運算法則是“剛性”的，而運算通性則是“柔性”的，教師往往要帶領(lǐng)學(xué)生體會“規(guī)則下的自由”。

比如有理數(shù)的混合運算，按照不同級別運算的先后順序進行運算時，還要靈活運用運算律簡化運算。再比如，上文提到的乘法公式的簡化運算，要引導(dǎo)學(xué)生善于整體處理，養(yǎng)成“視為整體”的習(xí)慣。形成這方面的能力固然與學(xué)生對運算的適應(yīng)性有關(guān)，也與教師“深入淺出”“形象生動”的板書示范有著很大的關(guān)系。關(guān)于運算教學(xué)或運算習(xí)題的講評課，筆者曾特別提醒一些初任教師，因為他們常常對運算步驟缺少深入構(gòu)思，往往出現(xiàn)算法不夠簡明、重點步驟不突出等問題。因此他們要多向教材學(xué)習(xí)，弄清楚教材上針對某道例題的算法步驟為什么只給出三步，而不是四步或六步。總之，學(xué)會省略“非必要表達步驟”（力求運算過程更加簡明、清楚）也是運算教學(xué)的關(guān)鍵和難點。

3.找出主要錯因，引導(dǎo)學(xué)生從糾錯走向究錯。

筆者根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)學(xué)生計算出錯的主要原因是跳步。筆者開展糾錯時常常會向?qū)W生指出“十次算錯九次跳”，并細心協(xié)助學(xué)生一起查找出他們的錯誤步驟，然后針對錯誤給出訂正的建議，這其中要求學(xué)生充分展開必要的算法步驟，往往能提高學(xué)生的運算能力。另外，有些運算能力不強的學(xué)生，在訂正運算錯誤時往往要經(jīng)歷多次訂正才能算出正確的結(jié)果，這類學(xué)生缺少必要的反思，他們常常是為“完成任務(wù)”（僅以算到正確的結(jié)果為目標），并不主動去反思、分析前面幾次出錯的原因，從而失去提升運算能力的機會。因為運算能力的提升除了“嚴守法則、靈活處理”之外，還需要從運算失誤中吸取一些教訓(xùn)。筆者的教學(xué)經(jīng)驗是，在課堂上遇到學(xué)生的典型錯誤時，常常會安排“大屏幕投影”，組織全體學(xué)生共同究錯，然后進行訂正和算法步驟的優(yōu)化與簡化，最后讓出錯學(xué)生整理自己的錯誤并且訂正在筆記本上，而不是讓他們只記錄正確的算法。這樣做的好處是，學(xué)生過一段時間復(fù)習(xí)時，可以對比錯誤算法和正確步驟，包括將來再次出現(xiàn)同類錯誤時，可以讓學(xué)生對前后的運算錯誤進行比對、驗證，防止反復(fù)出錯和一錯再錯。