真空光阱中微球參數反饋控制的數值仿真研究

高立夫,胡展銘,韓 翔,肖光宗,羅 暉

(1.海軍裝備部駐湘潭地區軍事代表室, 湖南 湘潭 411100； 2.西安衛星測控中心, 西安 710000； 3.國防科技大學前沿交叉學科學院, 長沙 410073)

1 引言

精密測量技術是先進制造發展的重要基礎和前提，是自主、完整掌握發展重大裝備的關鍵之一[1]。進入21世紀后，先進裝備制造已逐漸向精密化、集成化、智能化發展，對物理量精密測量的需求越來越高。以激光技術為代表的光學檢測技術具有非接觸性、高精度、三維性和實時性等優勢，為物理量的精密測量提供了新的解決途徑[2-3]。真空光阱是在可控壓強的氣體環境中利用光的力學效應操控微小粒子的一種技術，由于真空光阱可以隔絕捕獲微粒與外部環境之間的機械接觸和熱量交換，可近似視為理想狀態的簡諧振子，被認為是物理量精密測量的理想平臺，并可在室溫環境實現量子基態，因而在極弱力測量、精密慣性傳感、極弱力矩檢測、分數元電荷量搜尋等方向具有很大的應用潛力[4-7]。近年來，真空光阱技術快速興起并受到人們的廣泛關注[8-12]。

在真空光阱中，捕獲微粒所受環境阻尼大幅降低，慣性力占據主要作用，微粒呈現出高速運動，容易從光阱中逃逸。通常需要施加反饋控制措施來實現微粒的穩定捕獲，并可降低微粒質心運動的等效溫度，因此也被稱為反饋冷卻。其中，參數反饋控制是常用的反饋冷卻方法，所采用的冷卻光束與捕獲光束為同一激光束，具有結構簡單和實現便利等優勢[13-14]。盡管真空光阱中的機械振子在室溫下便可達到μK～mK級等效溫度狀態，無需復雜的液氦冷卻系統，但實驗系統仍包含光阱光路、位移測量光路、真空系統和反饋控制電路等模塊，需要較長時間調試實驗系統。建立合適的物理模型開展數值仿真研究將可測試反饋控制機理的冷卻效果，提高容錯能力，加快系統調試過程，為器件工程化提供參考。本文首先將建立光阱中微球在參數反饋控制下的動力學模型，然后選取合適的參數仿真微球的動力學過程，觀察微球質心運動的冷卻效果，并詳細分析主要參數對冷卻效果的影響。

2 理論模型

2.1 參數反饋冷卻方法概述

參數反饋冷卻方法[13]是通過被捕獲微粒的位移狀態反饋控制捕獲光束的功率來冷卻微粒質心運動的等效溫度，其基本原理為：當被捕獲微粒遠離平衡位置時增大捕獲激光功率，當被捕獲微粒向平衡位置移動時降低捕獲激光功率。目前參數反饋冷卻方法主要被用于單光束光阱，其實驗結構如圖1所示。

圖1 參數反饋實驗結構示意圖

如圖1所示，探測器測量得到微粒的三維位移(x,y,z)信息，通常3個方向相互正交，各方向上的位移之間可近似為相互獨立狀態。以一維位移x為例，設其諧振頻率為Ω0，將位移信號二倍頻(2Ω0)，并相位匹配(Δφ=0)后作為位移x的反饋信號，其中φ為反饋信號與位移信號之間的相位差異。該反饋信號通過控制聲光調制器(AOM)的電壓來調控捕獲激光束的功率。在開展三維位移反饋時，將三維位移分別對應的反饋信號進行加和(Σ)后，作為三維位移的整體調控信號。該過程可簡化為如圖2所示。

圖2 參數反饋控制流程框圖

由于3個方向上的位移通過同一光束反饋控制，容易出現某方向位移得到冷卻但另一方向位移被加熱的現象，但三軸加和后仍可以實現總體冷卻狀態[13]。或者也可以采用“少數服從多數”的方案，即至少冷卻2個方向上的位移，進而總體上實現冷卻[14]。由于三維位移冷卻是在一維情形基礎上從數學角度出發的應對方案，且三維位移相互獨立，因而仿真中只關注一維位移的參數反饋控制。按照控制信號波形的不同，可分為正弦波信號和方波信號，其中方波信號被證實具有更高的調控效率[14]，因而仿真中使用方波調控。

2.2 光阱中微粒的動力學模型

在環境氣體分子熱運動的撞擊下，真空光阱中被捕獲微粒相對于平衡位置會有位置波動。以一維運動為例，微粒位移q可以用朗之萬方程來表示[15]：

(1)

式(1)中：t為時刻；m為微粒質量； Г0為流體阻尼項；Ω0=(κ/m)1/2為諧振角頻率；κ是光阱剛度；Ffluct為隨機布朗力；ακ為功率調制深度。ακ滿足如下關系：

(2)

式(2)中，Pmax和Pmin分別是功率調制時捕獲光束最大和最小光功率。

設p為微粒動量，即

(3)

將時間均分為n步，單步步長為Δt，通過蒙特卡洛法和有限差分法，可得到第i·Δt時刻位移q和動量p的表達式為：

(4)

(5)

式(5)中：kB為玻爾茲曼常數；T為環境開爾文溫度；W是白噪聲。W滿足：

〈W(t)〉=0

(6)

〈W(t)W(t′)〉=δ(t-t′)

(7)

2.3 環境阻尼與氣體壓強之間的關系

環境阻尼可以表示為：[13]

(8)

(9)

式(9)中，d是氣體分子平均間距。參數ck可表示為：

(10)

2.4 激光加熱效應

在真空光阱中，捕獲光束的光子與微粒會發生動量交換，并產生激光加熱效應。在光傳播方向上，激光加熱導致的阻尼為[16]：

(11)

式(11)中，Pscatt=σscattI0為散射激光功率，σscatt為散射光等效面積，I0為等效光強，可分別表示為：

(12)

(13)

式(13)中：P0為捕獲光功率；NA為捕獲透鏡數值孔徑；ε0為真空介電常數；k為真空波數，其與捕獲光束波長λ的關系為k=2π/λ。系數α可表示為：

(14)

2.5 微球質心運動的等效冷卻溫度

在被捕獲微球的單個運動周期內，參數反饋控制所抽走的機械能等于額外阻尼所做的功，可以得到參數反饋控制所帶來的等效阻尼為[14]：

(15)

因而，可得到反饋控制后微球質心運動等效溫度Teff為：

(16)

3 動力學仿真

3.1 仿真參數設置

因在真空環境中，若捕獲光束為1 064 nm，單光束光阱可捕獲的SiO2微球半徑為35～120 nm[13-14]。為了避免被捕獲微粒因運動幅度過大而出現非線性效應，所選的光阱剛度不宜過小，因而，設置仿真條件如下：半徑為70 nm的SiO2微球，密度為2.2×103kg/m3，微球折射率為1.46，光阱剛度為2 pN/μm，環境溫度為298 K(約25 ℃)，標準大氣壓下空氣粘滯系數取為18 μPa·s，介質折射率為1。設置捕獲光束功率為100 mW，物鏡數值孔徑NA=1.25。不難得到，所設置微粒的諧振頻率f0約為126 kHz。設定仿真時間步長為0.2 μs，步數為4×106。

在仿真中，為方便對比無反饋時和有反饋時微球的位移量，假設無反饋時真空光阱中微球沒有逃逸，并用于對比和計算微球質心運動的等效溫度。

3.2 參數反饋控制下微球的動力學仿真

設置環境氣壓為1 mPa，調制深度ακ為1%，分別仿真無反饋和有反饋時被捕獲微球的位移。由于二者位移差距較大，為了展示區別，繪制了前20 μs時段(約2個周期)內的微球位移曲線，如圖3所示。從圖3中可以看出，無反饋控制時微球呈現簡諧運動，其位移時序為正弦波曲線；有反饋控制時其位移量被逐漸壓縮，在第1個和第2個周期內分別被壓縮了約1.1 nm和0.9 nm。

由于關注的是位移量的大小而非符號，因此取位移絕對值后，將仿真時段內的位移曲線以雙對數坐標的方式展示，如圖4所示。

圖3 初始20 μs時段內微球位移量曲線

圖4 有反饋控制時微球位移量曲線

從圖4中可以看出，有反饋控制時微球位移量被快速壓縮，在約2 ms后逐漸趨向平穩。無反饋控制時，如圖3所示，微球位移為正弦波曲線，其振幅約為45 nm；當施加反饋控制后，如圖4所示，微球位移量的最大振幅從約45 nm逐漸降低到約0.2 nm，降低了約225倍。

對被捕獲微球的一維運動來說，其在熱平衡狀態下的平均動能和平均勢能均為kBT0/2，即：

(17)

(18)

式(18)中，v1為添加反饋后微粒速率。

由仿真數據和式(18)計算可得，微球質心運動的等效溫度為6.1 mK。按照所設置參數，激光加熱導致的阻尼率為55 μHz，遠小于此時環境阻尼率43 mHz，代入原理公式(16)中，可得理論計算的等效溫度極限為5.1 mK。因而仿真數據所得的冷卻溫度與理論計算值非常相近。

4 參數影響分析

如圖4所示，在微球質心運動的冷卻過程中，微球位移量逐漸趨向平穩，因而可使用冷卻時間和冷卻溫度來評估冷卻效果。下面將分析調制深度、環境氣壓、微球半徑等主要參數對冷卻效果的影響。

4.1 調制深度的影響

分別設置調制深度為0.125%、0.25%、0.5%、1%、2%，環境氣壓為1 mPa，其余參數與3.1節相同。仿真得到不同調制深度下冷卻溫度和冷卻時間如圖5所示。因仿真數據中夾雜有熱運動所帶來的白噪聲，所展示的冷卻溫度是30次運行后的結果，將其均值和標準差用于繪制圖5中的誤差條。

圖5 不同調制深度下的冷卻溫度和冷卻時間圖

從圖5中可以看出，在1 mPa氣壓環境下，隨著功率調制深度的增大，冷卻溫度和冷卻時間均逐漸降低，且趨勢逐漸放緩，這與實驗中觀測的結果一致[14]。

4.2 環境氣壓的影響

分別設置環境氣壓為1 kPa、10 Pa、0.1 Pa、1 mPa、10 μPa、0.1 μPa，調制深度為1%，其余參數與3.1節相同。仿真得到不同環境氣壓下冷卻溫度和冷卻時間如圖6所示。與圖5類似，所得冷卻溫度采用30次仿真結果的均值和標準差來繪制誤差條。由于1 kPa氣壓時微球位移并沒有得到反饋冷卻，因而圖6中沒有展示該氣壓下的數值。

圖6 不同環境氣壓下的冷卻溫度和冷卻時間曲線

從圖6中可以看出，隨著環境氣壓的降低，冷卻溫度逐漸降低，冷卻時間逐漸增長。若要取得明顯的冷卻效果，如1 K以下的等效冷卻溫度，環境氣壓應低于10 Pa。同時，冷卻溫度隨環境氣壓的變化趨勢在對數坐標系中呈現出近似線性關系，這與真空環境中微球所受環境阻尼與氣壓之間近似線性關系的規律一致。

以0.1 μPa的高真空環境為例，環境阻尼率為4.31 μHz，而此時激光加熱效應帶來的影響約為55 μHz，已遠大于環境阻尼率，激光加熱效應將逐漸發揮顯著作用，進而干擾反饋冷卻。

4.3 微球半徑的影響

分別設置微球半徑為60 nm、70 nm、80 nm、90 nm和100 nm，調制深度為1%，環境氣壓為1 mPa，其余參數與3.1節相同。仿真得到不同微球半徑下冷卻溫度和冷卻時間如圖7所示。同理，所得冷卻溫度采用30次仿真結果的均值和標準差來繪制誤差條。

圖7 不同微球半徑下冷卻溫度和冷卻時間圖

從圖7中不難看出，微球半徑r對冷卻溫度和冷卻時間影響較小。在本節的參數設置中，不同半徑微球使用了相同的光阱剛度κ和調制深度α，在式(16)中，阻尼率Г0大致與r2成反比，Ω0大致與r3/2成反比，此時激光加熱效應所致的阻尼率Гrecoil很小。由于Г0<<αΩ0/π，因此等效冷卻溫度極限大致與r1/2成正比。在所設置的半徑范圍中，最大值僅是最小值的1.67倍，所導致的冷卻溫度值變化可能還不足以超過仿真結果的誤差值，因而導致出現了如圖7所示的情形。

綜上所述，對于冷卻溫度和冷卻時間影響程度由強到弱的順序大致為：環境氣壓>調制深度>微球半徑。一般而言，冷卻溫度越低，所需的冷卻時間越長。

在0.1 μPa至10 Pa的環境氣壓范圍內，冷卻溫度隨著環境氣壓的降低而呈現近似線性降低的趨勢。在高于10 Pa的氣壓環境中，幾乎無顯著的冷卻效果(等效冷卻溫度<1 K)；在低至0.1 μPa環境氣壓量級時，激光加熱效應將逐漸發揮作用，進而影響冷卻效果。

在所分析的0.125%～2%的調制深度范圍內，冷卻溫度隨著調制深度的增大而降低，但趨勢逐漸變緩，這符合實驗中調制深度增大到一定程度后冷卻溫度很難再降低的現象。

5 結論

建立了真空光阱中微球在參數反饋控制下的動力學理論模型，使用蒙特卡洛法和有限差分法仿真了光阱中被捕獲微球的動力學過程，在設定的光阱參數下微球質心運動可在ms時段內被冷卻到μK量級；主要參數對冷卻效果的影響程度大致為：環境氣壓>調制深度>微球半徑。仿真結果有助于真空光阱系統的優化設計，可為真空環境雙光束光阱中微球的參數反饋冷卻提供重要的參考。