基于蒙特卡洛法的反艦導彈搜捕概率仿真研究

張海峰，齊鴻坤，侯學隆，王宗杰

(海軍航空大學， 山東 煙臺 264001)

1 引言

現在點射擊是目前反艦導彈常用的作戰方式[1]，如圖1所示，反艦導彈在發射后對目標的搜捕概率主要受導彈自控終點散布誤差、機動目標位置誤差及末制導雷達特性等因素影響[2]。因此，在實驗仿真中準確描述計算上述3個影響因素對于求解反艦導彈搜捕概率起著決定性作用。

文獻[3-4]運用解析法求解了反艦導彈的搜捕概率，但其假定機動目標在最大可能散布圓內服從均勻分布，不符合艦艇實際的機動情況。文獻[5]使用解析法在假設艦艇目標靜止情況下對反艦導彈自控終點散布進行了準確計算與仿真。文獻[6]運用蒙特卡洛仿真水面艦艇目標散布圓特征，但未進一步求解反艦導彈的搜捕概率。對于反艦導彈自控終點散布誤差用解析法表示更為準確且工作量小，文獻[7]采用蒙特卡洛法進行簡化計算。由于艦艇機動目標位置散布由目標初始位置散布和機動散布引起，不能用公式簡單準確表述，因此對于艦艇的目標位置散布，用蒙特卡洛法仿真可實現精確描述。對于導彈的自控終點散布誤差及搜捕扇面，使用解析法更加準確且工作量較小。

2 自控終點散布誤差

自控終點散布是指飛行彈道實際自控終點與理論自控終點的偏差[8]。該偏差直接影響末制導雷達開機后對目標的搜捕概率[9]。反艦導彈自控終點是彈道空間上某一點，可以用三維隨機變量(X、Y、Z)來表示，其散布按空間正態分布律來描述。由于反艦導彈的飛行高度較低，且在自控段彈道均處于平穩飛行,因此在建立模型時自控終點散布取平行于海平面的側向散布和縱向散布[10]。影響反艦導彈自控終點散布的因素主要包括導彈初始對準誤差和自控飛行誤差。由于新型反艦導彈采用慣性導航系統，其誤差隨時間積累[11]，對于已定型的導彈，通過實彈射擊試驗和仿真手段可以確定慣性導航模式下導彈飛行時間與導航誤差關系表(見表1)。

表1 導彈飛行時間與導航誤差關系

不同慣導系統對準模式下導彈綜合導航誤差的差異較大，可通過數據擬合確定給定的自控飛行時間所對應的導航誤差均方差。用最小二乘法進行多項式擬合，即：

σ=f(td)

(1)

td=(D-d)/vd

(2)

式(1)～(2)中：σ為慣導系統導航均方差(m)；td為導彈自控飛行時間(min)；D為導彈飛行航程(km)；d為末制導雷達開機距離(km)；vd為導彈飛行速度(Ma)。

反艦導彈自控終點散布概率密度可描述為：

(3)

將直角坐標系轉換為極坐標系，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，概率密度變為：

(4)

式(4)中：mx、my表示反艦導彈理論開機點的橫縱坐標；σx、σy表示反艦導彈在X和Y兩個方向的導航均方差。

當導彈到達末制導開機點時，導彈所在的可能位置是一個以理論航路開機點為中心，最大的飛行軌道偏移為半徑所圍成的一個誤差散布圓[12]。根據正態分布的3σ法則得出自控終點散布圓半徑R=3σ。

3 機動目標位置誤差

海上機動目標位置散布由目標初始位置散布和機動散布引起，如圖2所示。初始散布由偵察預警兵力的定位精度決定，機動誤差由導彈飛行時間及目標航向航速決定。

圖2 自控終點散布誤差及艦船目標位置誤差示意圖

3.1 目標初始位置散布的概率密度

目標初始位置散布是一個二維隨機變量，根據偵察預警兵力對海上機動目標的定位情況，可用二維正態分布描述，其數字特征可用均方差和數學期望來表征。均方差表征的是觀測系統的隨機誤差，數學期望表征的是系統誤差。偵察預警兵力的觀測系統應采取各種技術來消除系統誤差，隨機誤差在X軸和Y軸沒有相互影響，因此假設二維正態分布的數學期望為零且在2個坐標軸方向的誤差相互獨立，其分布概率密度也可用公式(3)表示。

3.2 目標機動散布

海上機動目標的航向、航速與目標艦艇性能、編隊情況、水文氣象及任務狀態有關[13]。當前反艦導彈多采用現在點攻擊，目標航向、航速由偵察預警兵力實時更新并傳輸至岸導部隊，射擊諸元中的目標航向、航速以最后時刻為準。

根據對目標航速的預測分析情況，選取概略航速均勻分布模型[14]，即目標航速在某個范圍內出現的概率是均等的，航速概率密度為：

(5)

考慮艦艇在短時間內轉向困難，選取概率航向正態分布模型[15]，以最后時刻目標航向Cc為中心航向角，分布范圍為ΔC。目標集中在某個航向概率密度為：

(6)

4 反艦導彈搜捕模型設計

基于蒙特卡洛方法計算反艦導彈搜捕概率的思路為：將反艦導彈自控終點散布區域按極坐標的方式分成n個扇形單元，通過蒙特卡洛法模擬產生目標散布，統計落入單個搜索扇面的數量，計算單個扇形單元格的搜捕概率，最后將單個搜捕概率相加求出反艦導彈搜捕概率。其仿真計算邏輯如圖3所示。

圖3 反艦導彈搜捕模型仿真計算邏輯框圖

建立以導彈理論自控終點為原點O(0,0)，導彈飛行方向為X軸正方向，Y軸滿足右手定則的XOY坐標系[16]。艦艇理論初始位置為M(x,0)，其中x為導彈末制導雷達開機距離(導彈理論自控終點距艦艇理論初始位置的距離)。

將導彈自控終點散布范圍按極坐標的方式分成個扇形單元，每個扇形單元的半徑為Δρ，角度為Δθ。以第i個扇形單元為積分區域求出導彈落在此范圍內的概率為Pz(i)，系統誤差為零時二維正態分布概率密度關于X軸、Y軸對稱，計算導彈在單個扇形單元的搜捕概率，只需計算第一、二象限的概率即可，對于第三、四象限可根據對稱性獲得。導彈自控終點散布誤差極坐標下的分布函數為：

(7)

設每個扇形單元的中心位置B(i)(x(i),y(i))為雷達的開機點形成搜索扇面Dσs，搜索角度α∈(α1,α2)，搜索距離d∈(d1,d2)。設第j次蒙特卡洛仿真中，目標艦艇的初始位置為M0(j)(x0(j),y0(j))，其航速為vj，航向為cj，經過tm時間機動，目標艦艇的位置為M1(j)(x1(j),y1(j))，具體計算步驟如下：

步驟1:根據目標初始位置散布生成隨機數，產生第次仿真目標初始位置M0(j)(x0(j),y0(j))；

步驟2:根據目標航速均勻分布生成隨機數，產生第j次仿真目標航速vj;根據目標航向一維正態分布生成隨機數，產生第j次仿真目標航向cj;

步驟3:計算水面艦艇目標以當前航向、航速經過tm時間機動后的所在位置M1(j)(x1(j),y1(j))，計算公式如下:

(8)

水面艦艇目標機動時間tm指目標信息最后一次獲取時間到反艦導彈末制導雷達開機搜索時刻，可由反艦導彈射前準備時間tq及導彈發射后空中飛行時間td相加得到[17]。

步驟4：判斷第j次仿真目標是否落入導彈的搜索扇面內M1(j)(x1(j),y1(j))∈Dσs，判斷方法如下：計算得到仿真艦艇目標與扇形單元中心點的距離Δd及與X軸夾角φ，若d1≤Δd≤d2且α1≤φ≤α2，認為艦艇目標落入導彈搜索扇面。

步驟5：計算落入導彈搜索扇面內的次數與總的仿真次數之比N，近似為在此扇面內導彈成功搜捕的概率Pm(i)，Pz(i)與Pm(i)相乘，即為反艦導彈在第個扇形單元的搜捕概率Ps(i)。所有扇形單元搜捕概率Ps(i)相加為反艦導彈的搜捕概率Ps。

5 仿真分析

仿真計算初始數據如表2所示，分布模型數據如表3所示。

表2 仿真計算初始數據

表3 分布模型數據

在開機距離35 km、搜索距離20～50 km,搜索扇面的典型參數條件下，反艦導彈的搜捕概率為0.941 9，如圖4所示。

圖4 反艦導彈典型參數搜捕模型及概率示意圖

5.1 末制導雷達開機距離對搜捕概率的影響

其他參數值不變，計算反艦導彈末制導雷達開機距離在10～38 km區間變化時對導彈搜捕概率的影響，如圖5所示。雷達開機距離不僅影響艦艇的機動時間，還會影響導彈的導航誤差，二者綜合對搜捕概率產生影響。當導彈近距離開機時，艦艇恰好處于導彈搜索盲區，搜捕概率很低甚至為零；在開機距離為31 km時，導彈搜捕概率達到最大。在這個范圍內，雷達開機距離越遠，末制導雷達開機前飛行距離越短，飛行時間越少，導彈自控終點誤差越小，艦艇機動時間短、距離小，導彈的搜捕概率越大。開機距離大于31 km后，導彈搜索扇面難以覆蓋艦艇的機動范圍，導致搜捕概率下降。

圖5 開機距離對搜捕概率的影響曲線

5.2 搜捕扇面近界遠界對搜捕概率的影響

其他參數值不變，計算反艦導彈搜索扇面近界在5～50 km、遠界在15～60 km內變化且搜索范圍不小于10 km對導彈搜捕概率的影響，如圖6所示。本次仿真中設定開機距離為35 km，導彈搜索扇面遠界對搜捕概率的影響要大于近界。舉例說明，搜索近界、遠界設定為[5,50]km時搜捕概率為0.943 2，近界、遠界為[5,45]km時搜捕概率僅為0.690 6。這是由于導彈遠界和近界的設定與岸艦導彈開機距離密切相關，因此在實際作戰中，射擊諸元的輸入要統籌考慮開機距離與搜捕近界、遠界。

圖6 搜捕扇面遠近界對搜捕概率的影響曲面

5.3 搜捕扇面角度對搜捕概率的影響

其他參數值不變，計算反艦導彈搜索扇面左角在-40°～10°、右角在-10°～40°范圍內且搜索角度不小于30°對導彈搜捕概率的影響，如圖7所示。反艦導彈搜捕扇面角度的設定與艦艇的機動方向密切相關，本次仿真中設定艦艇的航向服從期望為0°，方差為30°的正態分布，總體是分布于艦艇理論初始位置橫向兩側。所以在求解搜捕扇面角度對搜捕概率的影響時，相同搜索角度下，搜索左角和右角關于X軸對稱時可以獲得較高的搜捕概率。

圖7 搜捕扇面角度對搜捕概率的影響曲面

6 結論

在構建反艦導彈自控終點散布誤差、導彈搜索扇面模型及艦艇初始位置散布模型、航向航速模型的基礎上，設計了基于蒙特卡洛法的反艦導彈搜捕概率計算模型，通過仿真驗證，該方法通用性強、效率高，具有較高的實用性。通過分析反艦導彈開機距離、搜索扇面寬度和角度對搜捕概率的影響，可以發現各因素對搜捕概率的影響相互關聯。對于某一型導彈的使用，提高其搜捕概率要緊密結合其戰術使命、性能參數及戰場環境綜合考慮，計算出最精準的射擊諸元。