基于粒子群優(yōu)化的雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)空空導(dǎo)彈爬高彈道研究

陳鹿斌，趙華超

(中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院， 河南 洛陽(yáng) 471000)

1 引言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)離不開(kāi)制空權(quán)的支持，而性能先進(jìn)的空空導(dǎo)彈是奪取制空權(quán)的重要保證[1]。美國(guó)蘭德公司在最近發(fā)表的研究報(bào)告中再次強(qiáng)調(diào):“空中優(yōu)勢(shì)是美國(guó)所有常規(guī)軍事行動(dòng)的基礎(chǔ)，而當(dāng)前的空中優(yōu)勢(shì)依賴于先進(jìn)的態(tài)勢(shì)感知、隱身和超視距空空導(dǎo)彈”。超視距空空導(dǎo)彈最重要的性能指標(biāo)之一，就是最大發(fā)射距離或等射程下最大末速，當(dāng)發(fā)射距離相比對(duì)手處于優(yōu)勢(shì)地位，就可以做到先敵發(fā)射，先敵脫離，先敵命中，提高載機(jī)生存能力。在結(jié)構(gòu)尺寸、質(zhì)量約束下，不斷增加射程是空空導(dǎo)彈的重要發(fā)展方向之一，爬高彈道作為一種特種彈道，對(duì)于提高空空導(dǎo)彈的攻擊距離具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[2]。李偉喆，陳萬(wàn)春在研究雙脈沖空空導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問(wèn)題時(shí)[4]，以導(dǎo)彈過(guò)載為設(shè)計(jì)變量，飛行末速最大為性能指標(biāo)，利用Radau偽譜法進(jìn)行優(yōu)化。楊志紅，徐寶華在研究吸氣式高超聲速飛行器爬升彈道優(yōu)化問(wèn)題時(shí)[4]，以攻角為設(shè)計(jì)變量，末端彈道傾角為性能指標(biāo)，利用高斯偽譜法進(jìn)行優(yōu)化。國(guó)內(nèi)研究多針對(duì)單一變量進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的彈道工程實(shí)現(xiàn)有一定難度。因此對(duì)于雙脈沖空空導(dǎo)彈爬升彈道的優(yōu)化問(wèn)題還需要做新的研究。

2 爬高彈道增程原理

為滿足快速作用性[5]，需簡(jiǎn)化導(dǎo)彈空間運(yùn)動(dòng)的方程和模型的計(jì)算量，因此作如下假設(shè)：

1) 平衡假設(shè)

認(rèn)為在每一時(shí)刻，導(dǎo)彈相對(duì)于自己重心保持平衡(即處于平衡狀態(tài))，在此狀態(tài)有平衡攻角和平衡舵偏角相對(duì)應(yīng)，作為氣動(dòng)特性參數(shù)的給定值均為平衡狀態(tài)值。

2) 無(wú)慣性假設(shè)

在整個(gè)彈道上，除了受控飛行的初始段有慣性外，在其余段認(rèn)為給定過(guò)載的實(shí)現(xiàn)過(guò)程是無(wú)慣性的，在每個(gè)瞬間，在模型中所建立的過(guò)載與攻角之間是平衡關(guān)系。

建立三自由度導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)微分方程[6]：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

導(dǎo)彈飛行距離：

(7)

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程：

(8)

(9)

(10)

載機(jī)運(yùn)動(dòng)方程完全類同目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程。

導(dǎo)引律方程：

(11)

vc=vm-vT

(12)

可以看出提升發(fā)動(dòng)機(jī)性能和優(yōu)化氣動(dòng)外形減小阻力是增加空空導(dǎo)彈射程的有效手段。同時(shí)，阻力項(xiàng)中，空氣阻力

(13)

式中：ρ為當(dāng)前飛行高度下的空氣密度；V為當(dāng)前飛行速度；S為空空導(dǎo)彈的參考面積；Cx為阻力系數(shù)。由阻力表達(dá)式可知空空導(dǎo)彈的空氣阻力在一定條件下隨空氣密度的減小而減小。空氣密度隨高度增加而減小且減小程度十分明顯，在0～25 km范圍內(nèi)，減小了近97%。所以，空空導(dǎo)彈在密度較小的高空飛行可以大大減小阻力，增大射程[7]，因此在較大高度飛行可以提高射程。

3 雙脈沖固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)

3.1 發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型[8-9]

設(shè)I為雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)的總沖，I1為Ⅰ脈沖總沖，I2為Ⅱ脈沖總沖。則有

I=I1+I2

(14)

M為雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)的總裝藥量，M1為Ⅰ脈沖裝藥質(zhì)量，M2為Ⅱ脈沖裝藥質(zhì)量。則有

M=M1+M2

(15)

F1為Ⅰ脈沖平均推力，t1為Ⅰ脈沖推力持續(xù)時(shí)間，F(xiàn)2為Ⅱ脈沖平均推力，t2為Ⅱ脈沖推力持續(xù)時(shí)間。則有

(16)

mc1為Ⅰ脈沖工作期間的質(zhì)量流量，mc2為Ⅱ脈沖工作期間的質(zhì)量流量。則有：

(17)

Δt為Ⅰ、Ⅱ脈沖工作間隔時(shí)間，若Δt=0，則雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)為連續(xù)點(diǎn)火，若Δt≠0，雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)為間隔點(diǎn)火。推力大小如圖1所示。

圖1 雙脈沖固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力與時(shí)間的關(guān)系示意圖

3.2 雙脈沖固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)彈道特點(diǎn)

雙脈沖固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)在空空導(dǎo)彈爬高彈道上的工作過(guò)程可以分為4個(gè)階段[10]：①Ⅰ脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作，導(dǎo)彈以給定的爬升角開(kāi)始爬升；②Ⅰ脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作完畢到Ⅱ脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)始工作前這段間隔時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)彈進(jìn)行無(wú)動(dòng)力飛行；③Ⅱ脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)始工作，空空導(dǎo)彈二次加速；④ 空空導(dǎo)彈無(wú)動(dòng)力飛行直至命中目標(biāo)。采用雙脈沖固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)空空導(dǎo)彈的爬高彈道曲線如圖2所示，常規(guī)發(fā)動(dòng)機(jī)與雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈速度曲線如圖3所示[11]。

圖2 雙脈沖空空導(dǎo)彈典型彈道曲線示意圖

圖3 常規(guī)發(fā)動(dòng)機(jī)與雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)導(dǎo)彈速度曲線示意圖

在總沖一定的條件下，通過(guò)優(yōu)化爬升角、爬升時(shí)間、雙脈沖固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火間隔及發(fā)動(dòng)機(jī)推力比，可提供不同的推力形式，均可使末速增大。但以前的研究多是單一變量且沒(méi)有經(jīng)過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4 粒子群優(yōu)化算法

由上文知，爬升角、爬升時(shí)間、點(diǎn)火間隔及發(fā)動(dòng)機(jī)推力比都會(huì)影響爬高彈道的作戰(zhàn)性能。當(dāng)同時(shí)考慮這4種參數(shù)的設(shè)計(jì)時(shí)，如何選擇能夠讓導(dǎo)彈具有最遠(yuǎn)的射程或者等射程下最大的末速，是本文研究的主要內(nèi)容。

在考量速度，距離等結(jié)果因素下，如何選擇最優(yōu)的點(diǎn)火間隔，本研究選擇使用粒子群算法進(jìn)行彈道優(yōu)化。

4.1 粒子群算法原理[12]

粒子群優(yōu)化算法(partical swarm optimization,PSO)是一種模擬鳥群覓食行為而發(fā)展起來(lái)的一種基于群體協(xié)作的隨機(jī)搜索方法。PSO算法首先初始化一群隨機(jī)粒子(隨機(jī)解)，然后通過(guò)迭代找到最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子們通過(guò)跟蹤2個(gè)“極值”來(lái)更新自己的位置。第一個(gè)極值是粒子本身所找到的最優(yōu)解，這個(gè)解稱為個(gè)體極值；另一個(gè)極值是整個(gè)種群所找到的最優(yōu)解，這個(gè)極值稱為全局極值。

4.2 粒子群算法基本流程

應(yīng)用PSO算法解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)于n維尋優(yōu)變量，粒子解可以編碼為X=[x1,x2,…,xn],適應(yīng)度函數(shù)fitness=f(X)。

1)初始化群微粒，設(shè)定參數(shù)運(yùn)動(dòng)范圍，設(shè)定學(xué)習(xí)因子c1、c2、c1為局部學(xué)習(xí)因子，c2為全局學(xué)習(xí)因子，一般取c2大一些。最大進(jìn)化代數(shù)G，cg代表當(dāng)前的進(jìn)化代數(shù)。在一個(gè)D維參數(shù)的搜索解空間中，粒子組成的種群規(guī)模大小為Size，一般取20～40，對(duì)于比較難的問(wèn)題，粒子數(shù)可以取到100～200。每個(gè)粒子代表解空間的一個(gè)候選解，其中第i個(gè)粒子在空間中的位置表示為Xi，速度表示為Vi。第i個(gè)粒子從初始到當(dāng)前迭代次數(shù)搜索產(chǎn)生的最優(yōu)解為個(gè)體極值pbest，整個(gè)種群目前的最優(yōu)解為gbest。隨機(jī)產(chǎn)生Size個(gè)粒子，隨機(jī)產(chǎn)生初始種群的位置矩陣和速度矩陣。

2) 適應(yīng)度評(píng)價(jià)：將各個(gè)粒子的初始位置作為個(gè)體極值，計(jì)算群體中各個(gè)粒子的最初適應(yīng)值f(Xi)，并求出種群最優(yōu)位置。

3) 更新粒子的速度和位置，產(chǎn)生新種群，并對(duì)粒子的速度和位置進(jìn)行越界檢查。為避免算法陷入局部最優(yōu)解，加入一個(gè)局部自適應(yīng)變異算子進(jìn)行調(diào)整[13]。

(18)

(19)

其中，cg=1,2…,G,i=1,2…,Size,r1和r2為0到1的隨機(jī)數(shù)。ω為慣性權(quán)重

(20)

4) 比較粒子的當(dāng)前適應(yīng)值f(Xi)和自身歷史最優(yōu)值pbest,如果f(Xi)優(yōu)于pbest,則pbest=f(Xi)，并更新粒子位置。

5) 比較粒子當(dāng)前適應(yīng)值f(Xi)與種群最優(yōu)值gbest。如果f(Xi)優(yōu)于gbest，則gbest=f(Xi),更新種群全局最優(yōu)值。

6) 檢查結(jié)束條件，若滿足，則結(jié)束尋優(yōu)；否則cg=cg+1，跳轉(zhuǎn)至第三步，結(jié)束條件為尋優(yōu)達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)，或評(píng)價(jià)值小于給定精度。

PSO算法流程如圖4所示。

本研究中對(duì)點(diǎn)火間隔、爬升角、爬升時(shí)間和Ⅰ/Ⅱ級(jí)推力比進(jìn)行了尋優(yōu)，粒子可以直接編碼為[Tgap,θc,Tc,η]，適應(yīng)度函數(shù)fitness=max(vf)。

5 仿真分析

5.1 仿真參數(shù)設(shè)置

導(dǎo)彈總體參數(shù)：導(dǎo)彈初始質(zhì)量m0=200 kg,導(dǎo)彈直徑180 mm，彈長(zhǎng)3 650 mm，參考面積S=0.028 m2。

本研究的目標(biāo)函數(shù)是最大末速:

f(X)=max(vf)

設(shè)計(jì)變量X由點(diǎn)火間隔Tgap，爬升角度θc，爬升時(shí)間Tc，Ⅰ/Ⅱ級(jí)推力比η組成:

X=[Tgap,θc,Tc,η]

發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)設(shè)置：發(fā)動(dòng)機(jī)總沖I(kN·s)，Ⅰ脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)總沖I1(kN·s)，Ⅱ脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)總沖I2(kN·s)，總裝藥質(zhì)量為mf(kg)。

圖4 PSO算法流程框圖

限制Ⅰ/Ⅱ級(jí)脈沖最大點(diǎn)火間隔為90 s，導(dǎo)彈爬升角0°～60°,導(dǎo)彈過(guò)載nm

5.2 仿真條件設(shè)置

條件①：發(fā)射距離R1km，發(fā)射高度11 km，速度1.5ma；目標(biāo)高度11 km，速度1.5ma；進(jìn)入角180°，目標(biāo)不機(jī)動(dòng)。

條件②：發(fā)射距離R2km，發(fā)射高度10 km，速度1.2ma；目標(biāo)高度10 km，速度1.2ma；進(jìn)入角0°，目標(biāo)不機(jī)動(dòng)。

5.3 仿真結(jié)果及分析

通過(guò)粒子群尋優(yōu)結(jié)果，以最大末速vf作為尋優(yōu)指標(biāo)。條件①的最優(yōu)參數(shù)點(diǎn)火間隔42 s，爬升角25°；條件②的最優(yōu)參數(shù)點(diǎn)火間隔22 s，爬升角36°。在此條件下與原彈道結(jié)果如表1所示。

由表1可以看出優(yōu)化過(guò)的彈道對(duì)比原始彈道，條件①下優(yōu)化彈道飛行末速比原始彈道提高了271 m/s，增速比26.4%；條件②下優(yōu)化彈道飛行末速比原始彈道提高了245 m/s，增速比39.6%。

由圖5和圖7可以看到加大了爬升角度，爬高彈道的爬升高度變高。間隔點(diǎn)火能夠降低飛行彈道的最大速度，從圖5中可以看到，迎頭攻擊時(shí)，在飛行后期點(diǎn)火，可以在接近目標(biāo)的時(shí)候獲得更大的速度，在Ⅱ脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)能夠工作完全之前，越遲點(diǎn)火可以獲得越高的末速。

尾后攻擊對(duì)于最優(yōu)點(diǎn)火間隔有著不同的選擇，雖然前期隨著點(diǎn)火間隔變大，末速會(huì)隨著提高，但是過(guò)大的點(diǎn)火間隔會(huì)使整個(gè)攻擊時(shí)間拉長(zhǎng)，彈道距離變長(zhǎng)，末速降低。又分別對(duì)條件①、②下的全進(jìn)入角進(jìn)行了參數(shù)尋優(yōu)，并與原始彈道進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果如表2所示。

表1 原始彈道與優(yōu)化彈道結(jié)果

圖5 條件①XOY平面彈道曲線

圖7 條件②XOY平面彈道曲線

表2 全進(jìn)入角度優(yōu)化結(jié)果

在極坐標(biāo)中畫出了優(yōu)化前后末速與進(jìn)入角關(guān)系，如圖9所示。可以看到對(duì)于全進(jìn)入角優(yōu)化后彈道的末速都大于原始彈道的末速。

圖9 優(yōu)化前后末速圖

另在極坐標(biāo)中畫出了優(yōu)化前后等末速飛行距離與進(jìn)入角關(guān)系，如圖10所示。可以看到對(duì)于全進(jìn)入角優(yōu)化后彈道的等末速下飛行距離都大于原始彈道的飛行距離。

圖10 優(yōu)化前后飛行距離圖

對(duì)比2個(gè)條件下的不同進(jìn)入角彈道的速度曲線如圖11所示，在迎頭攻擊時(shí)(進(jìn)入角180°、150°、120°)，盡量延后Ⅱ脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，可以得到最大的飛行末速；在尾后攻擊時(shí)(60°，30°，0°)，點(diǎn)火間隔不宜過(guò)長(zhǎng)，否則會(huì)拉長(zhǎng)攻擊時(shí)間，加大飛行距離，減小飛行末速。在90°進(jìn)入角時(shí)，點(diǎn)火間隔的選擇方式與彈道條件有關(guān)，條件①選擇了在前期點(diǎn)火，條件②選擇了盡可能延后的點(diǎn)火方式。

假設(shè)目標(biāo)在被導(dǎo)彈攻擊時(shí)采取逃逸機(jī)動(dòng)。優(yōu)化結(jié)果與不機(jī)動(dòng)時(shí)的結(jié)果如圖 12所示。

圖11 不同進(jìn)入角彈道速度曲線

圖 12 目標(biāo)做逃逸機(jī)動(dòng)下優(yōu)化結(jié)果曲線

由圖12中結(jié)果可以看到當(dāng)目標(biāo)做逃逸機(jī)動(dòng)時(shí)，優(yōu)化的Ⅱ脈沖點(diǎn)火時(shí)刻相比不機(jī)動(dòng)提前了16s,可知目標(biāo)的機(jī)動(dòng)方式也會(huì)對(duì)優(yōu)化參數(shù)產(chǎn)生影響。

6 結(jié)論

1) 在目標(biāo)不機(jī)動(dòng)時(shí)，迎頭條件下，考慮到Ⅱ脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作完全，盡可能地延遲點(diǎn)火可以增加末速；在尾后條件下，最佳點(diǎn)火間隔出現(xiàn)在Ⅰ脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作后的某一中間時(shí)刻；在側(cè)向條件下，點(diǎn)火間隔的選擇方式與彈道有關(guān)；

2) 當(dāng)考慮到目標(biāo)做逃逸機(jī)動(dòng)時(shí)，最佳點(diǎn)火間隔相比不機(jī)動(dòng)將會(huì)縮短。

3) 與原始爬高彈道相比，通過(guò)本文優(yōu)化設(shè)計(jì)后的彈道可以在相同距離下取得更高的末速，或在相同末速下飛行更遠(yuǎn)的距離，達(dá)到增程效果。