關于廣義積分的若干問題探討

牛薈玲 劉佳音

摘? 要：廣義積分是積分學中的一個重要概念，它是定積分概念的推廣，也是定積分無窮多項累加思想的推廣。本文首先通過定積分的定義，深入分析了無窮區間上的廣義積分以及無界函數的廣義積分與定積分之間的區別和聯系。其次，討論了當被積函數的原函數容易求出時，利用廣義積分的定義計算廣義積分時需要注意的幾個問題，并舉例加以說明。

關鍵詞：廣義積分? 被積函數? 積分區間? 定積分? 原函數

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2021）07（b）-0163-04

Discussion on Some Problems about Generalized Integral

NIU Huiling*? LIU Jiayin

（North Minzu University， Yinchuan， Ningxia Hui Autonomous Region， 750021 China）

Abstract： Generalized integral is an important concept in integral science. It is not only the extension of the concept of definite integral， but also the extension of the idea of infinite multinomial accumulation of definite integral. Firstly， through the definition of definite integral， this paper deeply analyzes the differences and relations between generalized integral on infinite interval and generalized integral and definite integral of unbounded function. Secondly， when the original function of the integrand function is easy to be obtained， several problems needing attention in calculating the generalized integral by using the definition of the generalized integral are discussed and illustrated with examples.

Key Words： Generalized integral; Integrand; Integral interval; Definite integral; Primitive functions

眾所周知，微積分學是高等數學的核心內容，它不僅是學習和研究其他科學領域的理論基礎，而且是培養理性思維和科學思維的重要載體。微分學是讓人們從微觀（局部）去認識和研究物體在運動中的數量變化規律，而積分學是讓人們從宏觀（整體）去認識和研究物體在運動中的數量變化規律，因此微積分學在人們認識和研究客觀世界的過程中有著非常重要的作用。在一元函數的積分學中最常見的就是定積分，而在我們日常生活中經常還會遇到需要運用積分思想去解決的非定積分問題。例如，在概率論與數理統計中，若隨機變量X服從標準正態分布，其概率密度函數為，求時的概率。這個問題的本質其實就是計算介于軸、曲線以及直線之間右側部分的無界區域的面積。顯然，正常意義下的定積分所能求的只是有界區域的面積。因此，可以運用積分思想將定積分的概念做一推廣，將上述問題轉化為求廣義積分的問題。

廣義積分相對于定積分而言，其研究和學習更加復雜和困難，但其應用也更加廣泛，因此對于廣義積分的研究和學習也就更加具有挑戰性且更加有意義。在求解或判別廣義積分的斂散性時，也呈現出了多種方法[1-5]，其中包括對含參變量的廣義積分的收斂性的研究和應用[6，7]。但對大多數廣義積分，雖然可以通過某些方法判別其收斂性，但對于它的具體數值卻很難求出。

本文從定積分的定義出發，深入分析了兩類廣義積分和定積分之間的關系。當被積函數的原函數容易求出時，可以利用定義通過對變上（下）限的定積分取極限的方法求解兩類廣義積分，并通過舉例重點說明了在求解廣義積分的過程中需要注意的幾個問題。

1? 廣義積分的概念及其與定積分之間的關系

定積分相對于廣義積分也可稱為常義積分，首先從定積分的定義談起。由定積分的定義[2]可知，“有限積分區間”和“有界被積函數”是定義定積分的兩個首要條件，其中任何一個不滿足，談定積分就沒有意義了。廣義積分“打破”了上述2個條件，將定積分作了兩方面的推廣：一是將積分區間推廣到了無窮區間，二是將被積函數推廣到了無界函數。因此，廣義積分主要包含了“無窮區間上的廣義積分”和“無界函數的廣義積分”這兩類，它們的定義都是建立在常義積分的基礎上的。

定義1[8，9] （無窮區間上的廣義積分）設函數在上有定義，任取，作定積分，稱這個對變上限的定積分求極限的算式為函數在無窮區間上的廣義積分，記為，，即：

當極限存在時，我們說此廣義積分是收斂的，并稱該極限值為廣義積分的值，否則就稱此廣義積分是發散的。

注1 類似地，可以定義函數在上的廣義積分。

注2 定義上的廣義積分時，可以將其分為兩個廣義積分的和，即對任意實數c：

當廣義積分和都收斂時，稱廣義積分收斂，否則稱為發散的。

定義2[8，9]無界函數的廣義積分）設函數在區間上有定義，且在點的任何右領域內無界。任取，函數在閉區間上作定積分，稱這個對變下限的定積分求極限的算式為函數在區間上的廣義積分，仍然記為，即：

當極限存在時，我們說此廣義積分是收斂的，并稱該極限值為廣義積分的值，否則就稱此廣義積分是發散的。

注3 類似地，定義函數在上的廣義積分。

注4 若，在c點的任何領域內無界，則函數在上的廣義積分定義為：

當廣義積分和都收斂時，稱廣義積分收斂，否則稱為發散的。

從上述廣義積分的定義可以看出，廣義積分是在定積分定義的基礎上先構造一個變上（下）限的定積分，再通過對變上（下）限的定積分求極限來實現的，它反映了通過已知認識未知的一種思想。

2? 利用定義求解廣義積分時需要注意的幾個問題

（1）在利用定義的斂散性時，c的不同取值是否會影響其斂散性和廣義積分的值？

答：不會。事實上，任取實數d≠c ，則根據定義

又根據定積分的性質

因此，c的改變不會影響原來廣義積分的斂散性和廣義積分的值。

（2）由于無界函數的廣義積分的記號和定積分記號相同，故在積分求解的問題中，人們往往容易將無界函數的廣義積分誤認為是定積分。特別是當函數的奇點位于開區間的內部時，更容易忽略被積函數是否有界這一條件，而盲目地尋求被積函數的原函數，從而利用求定積分的方法導致錯誤的結果。因此在求解積分問題時，首先需要判斷該積分到底是定積分還是無界函數的廣義積分，然后再作相應的計算。

例1 求積分的值。

解析 上述積分是一個無界函數的廣義積分，它的奇點是，且奇點位于積分區間（0，1）的內部。如果忽略了這一點，往往會導致錯誤的結果。若令，則

顯然，上述解題過程忽略了積分區間內部有函數的奇點。事實上，第一步的代換并沒有錯，但在求解廣義積分的過程中，把它當作一個定積分就導致了錯誤結果的出現。如果令，則：

我們發現這仍然是一個無界函數廣義積分的問題，為奇點且積分發散。從而可知原積分是發散的。

（3）當被積函數比較復雜，利用定義求廣義積分的值而被積函數的原函數不易求出時，可以借助二元函數的積分，利用交換積分次序的方法計算廣義積分。

（4）在定積分的求解問題中，當被積函數為有理分式且分母次數較高時，倒代換往往成為一個非常有效的方法。而收斂的廣義積分繼承了定積分的許多性質，例如變量替換的性質。因此，在計算收斂的廣義積分時，當被積函數是有理分式且分母的次數較高時，可以采用倒代換的方法。

3? 結語

廣義積分的概念是運用積分思想將定積分的概念在積分區間和被積函數2個方面做了推廣，從而使得積分學的應用更加廣泛。實際應用中，有時在同一問題中會同時出現兩種類型的廣義積分，例如廣義積分既是“無窮區間上的廣義積分”又是“無界函數的廣義積分”。可以按照積分區間的可加性把積分區間分為兩部分，分別討論這2個區間上的廣義積分的收斂性，從而可判斷廣義積分在整個積分區間的收斂性。本文主要討論了通過求被積函數的原函數，然后按照定義取極限，根據極限的存在與否來判定反常積分的收斂性。在我們遇到的很多反常積分的問題中，往往會出現被積函數的原函數不易求得或者被積函數的原函數不能用初等函數來表示，例如函數的原函數就不能用初等函數表示，因此要判斷廣義積分的收斂性，就不能利用廣義積分的定義進行求解，而是要利用類似于判定無窮級數收斂性的方法。事實上，廣義積分和無窮級數在形式上非常相似，所不同的是前者用的是連續變量，而后者用的是離散變量。因此，在判斷它們的收斂性時可以利用類似的方法去解決。

參考文獻

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