多元表征，實現高階計算思維發展

侯玉茹

【摘 要】表征就是把數學客觀對象的外在形式（實物、模型、圖像、文字、符號等外在表征）與學生內在心理編碼（言語碼、心象碼、整合碼等內在表征）進行交互對應，構建意義，而多元化的表征可以有效實現數學知識的多元建構、數學技能的多元訓練、數學經驗的多元積累。多元的表征之間相互遞進，實現數學計算思維的高階發展。要注重內在表征的多元化外化呈現，使數學計算思維可視、可感、可具體表達，最終抽象為高階計算思維。

【關鍵詞】多元表征 高階計算思維 數學

一、動作表征，高階計算思維的可視化

動作表征是一種動態的表征形式，學生通過動手操作活動，挖掘數學本質，建立數學模型。數學是一門抽象性、邏輯性很強的學科，而小學生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，在此階段要將問題轉化為具體的現實操作，才能凸顯出原問題的本質結構。可見，動作表征正是架在數學知識抽象性和學生思維形象性之間的一座“橋梁”。因此，在數學教學中，要讓學生親身參與，動手操作，動腦思考，把抽象的知識變成看得見、講得清的現象，從而了解數學知識內在的聯系，化難學為易學。

例如，筆者在教學“9+幾”這一課時，主題圖（如圖1）是小猴在數蘋果，盒中有9個紅蘋果，盒子外面有4個青蘋果，求一共有多少個？學生根據以往的學習經驗，知道盒子中的蘋果數+外面的蘋果數=蘋果總數，但這節課的教學重點和難點是讓學生理解湊十的過程，能用湊十法解決“9+幾”的問題。為了更好地體現湊十的過程，將教材中小朋友的方法“先放進1個湊成10，10加3得13”這句話轉化成學生自己的動作、自己的理解，筆者讓學生利用方格紙（如圖2）進行操作，學生通過自己的操作，覺得應該先從外面的4個中拿出1個放進盒中，這樣9個就變成了10個，再加上外面的3個，一共是13個，數與形有效結合。

圖1

圖2

別看這個小小的移動蘋果的動作，它幫助學生非常形象地理解了“湊十”這一抽象的方法，為接下來學習8、7、6加幾的湊十法打下了扎實的基礎。

在學生進行數學活動時，教師應給學生提供豐富的素材，這樣才能得到多樣化的反饋。所以“9+幾”這課除了利用教材中的素材，通過剛好能放十個的盒子感知湊十，還要補充讓學生動手擺小棒的操作。這時會發現：有的學生是從4根里拿出1根和9根捆起來就是10，10加3就是13;還有的學生是通過9根繼續往下數4根，數到13。這種多樣反饋是很有必要的，第一種類型的學生已經能聯系之前學習的十加幾等于十幾，想到先湊十，再計算。學生們自我強化了湊十的思想，思維得到了進階。顯然，第二種類型學生的思維水平還停留在數數階段。具象學生的思維之后，我們就能更好地針對不同類型的學生做出調整。接著我們再給學生提供計數器，讓學生經歷具象的、直觀的數學操作。反饋的結果又有不同：有的學生用計數器直接撥出結果;有的學生將計數器上個位撥滿十以后沒有退位導致個位上有10顆算珠;有的學生在計數器個位上先撥9再撥下一個珠的時候，知道要把個位全部退掉十位上撥1顆算珠，再接著撥，最后得出結果。其實“9+4”的結果很簡單，但是增加了計數器這個工具后，學生們的計算思維變得可視化了，體現了不同層次的思維水平。顯然，學生在使用計數器的過程能聯系之前學習的位值制，體會到十進制“滿十進一” 的內涵。教師還可以補充介紹算盤，讓學生課后研究如何利用算盤進行計算。

因此，數學教學活動中，教師要向學生提供充分參與數學活動的機會，使多種思維可視化，讓學生在各種思維碰撞下，走向高階思維。組織這樣的數學活動更能幫助學生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想與方法，獲得廣泛的數學活動經驗。教師還可以根據學生思維水平的差異性，設計個性化的有針對性的訓練，使學生思維進階。

二、語義表征，高階計算思維的具體化

一般來說 ，學生借助實物和具體物的動作表征進行思維活動后，教師都會讓學生介紹自己是怎么做的，通過組織語言表達本質，這就是語義表征。教學中，教師可以引領學生將動作表征和語義表征相結合讓數學思維具體化，使思維進階。

再結合剛剛“9+幾”這一課的課例，學生將盒子外面的蘋果放進盒子里，這時讓學生說說為什么這樣做。學生說出因為十加幾我們學過了，先想辦法找到“十”，就好算了。學生可視化的思維結合自己的語言變得更加具體，發展出了一個問題解決不了轉化成另一個學過的問題再解決的轉化思想。這樣的數學思維活動是寶貴的，兩種表征相結合，使思維層次變高。在擺小棒解決“9+4”時，就可以要求小朋友們邊擺邊說：“4分成1和3，9加1等于10，10加3等于13。”這時學生思維用動作和語義同時表征，強化他們對9加幾算理的理解。接著讓學生收起小棒 ，同桌之間互相交流剛才擺的情況 ，學生借助剛才的操作進行數學思維和口語表述 ，其數學思維通過語義表征具體化。今后在解決同類型問題時可以在腦海中操作，然后借助語言表達，具象自己的計算思維，實現計算思維的高階化。這時再讓學生操作計數器，學生們的語義表征就更多樣化了，相信這是每位數學老師都希望達到的課堂效果。

借助工具解決問題的確很簡單，但是把操作影像留在腦海中，并利用其去解決同類型的問題，不是那么容易，需要有高階的思維。語言是人類溝通交流的工具，要想將自己的想法、見解表現出來，不可能每次手邊都有合適的工具將自己的想法形象的動作表征出來，這時就需要借助語言系統來補充表達。語義表征既能夠豐富思維的過程，又具有高度概括的特點，能將數學中的規律美表現得淋漓盡致。

三、符號表征，高階計算思維的抽象化

“符號意識”主要是指能夠理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律，知道使用符號可以進行一般性的運算和推理，建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。隨著數學學習的不斷深入，數學符號從文字中不斷地分離，形成抽象的數學符號語言。學生直接借助符號進行內在的思維活動，屬于高層次思維水平，我們通常稱之為 “符號性表征”水平。

例如，低年級學生在認識了0～5以后，教材就引入了“>”“<”和“=”這樣的符號，利用一一對應這樣的方法去比較大小，體現了對應的思想。遇到5個三角形和3個圓片比較，學生先一一對應擺一擺，然后說一說，最后用符號表示出“5>3”。這為后面學習減法奠定基礎。跟蹤發現學生們把被減數和減數交換位置的情況明顯減少，說明先通過動作表征到語義表征最后到符號表征，將數學中對應思想逐步呈現，最后的符號表征將思維抽象成一個數學表達式，不僅體現數學的簡潔之美，還能使學生抽象出數學的本質內涵。在“分與合”的教學中，學生們更是把先擺小棒的動作表征和語義表征相結合，最后用符號表征抽象出分合式，進而抽象理解10以內加減法算理。在“9加幾”這節課中，通過動作表征和語義表征計算思維的方式，學生的學習更加深入了。學生學會用符號表征列出算式后，再遇到算式時就會在腦海中形成影像演算抽象出方法，體會十進制，抽象出湊十法的通用內涵，最終給出答案。這才是真正的高階計算思維。數學思維從圖像性表征水平走向符號性表征水平，完善了數學語言的表征，數學符號表征具有準確性、簡約性和高度抽象性的特點，體現數學學科的特質。

普通思維可視化注重從生活到數學， 從現實情境到數學體系，而高階思維是數學體系內部的變換與重組。但是在高階思維的指引下， 學生的發展程度是不同的。動作表征，讓思維通過學生的動手操作可見。動作表征和語義表征相結合使高階思維被學生具體表達出來。能通過符號表征數量關系，建立數學模型，說明學生的思維得到了更高的發展，思維達到抽象層次。

教學中， 教師應該要整合融通， 既要關注普通思維的發展， 也要關注高階思維的發展。在小學階段，如果教師在數學教學中僅提供符號化、形式化的抽象表征，基礎差的學生容易因為難以理解數學知識的抽象性，而對數學學習感到困難，甚至失去學好數學的信心。但如果在教學中巧用數學多元表征，利用不同表征可以互相補充和轉換的作用，能讓學生從不同的角度認識數學對象，從而深刻理解數學概念和原理，真正實現高階思維的發展。