以比較為支點，構建完整的認知結構

焦歡歡?黃德忠

【摘 要】支點，在物理學中是指杠桿發生作用時起支撐作用、固定不動的一點。教學中，支點是指能引起學生高效學習的關鍵點。本文以“認識百分數”一課為例，以比較為支點，通過比較不同情境的共同點，形成對百分數表示“關系”的認識;比較數形結合點，深化對百分數表示“倍比關系”的認識;比較應用范圍的不同點，完善對百分數表示“何種倍比關系”的認識;比較新舊知的異同點，構建完整的“倍比關系”的認知結構。

【關鍵詞】比較 支點 認知結構 百分數

教學中，支點是指能引起學生真正學習、高效學習的關鍵點。在認知領域中，可以通過支點，起到牽一發而動全身之效，幫助學生形成完整的認知結構。認知結構是學習者頭腦中的知識結構。就數學學習來說，認知結構是數學知識在學生頭腦里按照他自己的理解深度、廣度，結合個人感知、記憶、思維、聯想的特點，組合成的心理結構。筆者倡導以比較為支點，通過比較，讓學生在“不同”中看到“聯系”，在“解構”中進行“建構”，有利于學生構建認知結構。在教學中，不少教師都有意識地引導學生進行比較，但在何處比較，比較到何種程度，不少教師難以準確把握。例如：“百分數認識”這節課，不少教師只是引導學生認識了百分數的概念，鮮有從“倍比關系”角度幫助學生建立完整的認知結構。因此，筆者以“認識百分數”一課為例，闡述如何以比較為支點，構建學生完整的認知結構。

一、比較不同情境的共同點，形成對百分數表示“關系”的認識

概念學習，需要學生在不同情境中去除概念非本質特征，抽取出相同的特征，形成對概念本質的認識。百分數，在不同情境中都有所運用，這需要學生在眾多情境中，能比較出不同情境的共同點，挖掘出百分數最本質的特征，形成對百分數表示兩個數量之間“關系”的認識。筆者因此展開以下教學：

師：我們看這幅圖上寫著“已充電98%”，你怎么理解這里的98%？

生1：就是把總容量看作單位“1”，平均分成了100份，已充電是這樣的98份。

生2：已充電量和總容量的比是98 ：100。

生3：就是已充電量是總容量的98/100 。

師：看來98%不表示具體充了多少毫安電，而是表示已充電量是總容量的98/100 。

師：那25%呢？

生：把垃圾總量看作單位“1”，平均分成100份，可回收物占其中的25份，也就是可回收物占垃圾總量的25/100 。

師：100%羊毛？

生1：純羊毛，整件衣服都是羊毛做的。

生2：羊毛含量是整件衣服的100/100 。

師：百分數真神奇，一個百分數里藏著兩個數量，帶著這樣的新眼光，再看你課前搜集的百分數，它究竟表示什么意思？

生1：羽絨占80%，80%表示羽絨含量占整件衣服的80/100 。

生2：裝一批貨，已經裝了75%，75%表示已經裝的貨物占總貨物的75/100 。

生3：海洋面積占71%，71%表示海洋面積占地球總面積的71/100 。

師：觀察黑板上的百分數和你搜集的百分數，他們表示的意思有什么共同點呢？

生1：都是誰是誰的百分之幾。

生2：都是把兩個數進行比較。

生3：都是把單位“1”平均分成100份，其中一個物體占這樣的多少份。

師：是的，實際上就表示一個數是另一個數的百分之幾，表示兩個數之間的關系。

生4：分數表示一個數是另一個數的幾分之幾，百分數表示一個數是另一個數的百分之幾。

師：真好，你把分數和百分數聯系起來了！

本環節，教師通過舉例學生搜集的“已充電98%”，讓學生解釋98%的含義，并通過對“100%羊毛”“羽絨占80%”“海洋面積占71%”等例子中“百分數的含義”的討論，讓學生感受到百分數含義內在的一致性。在學生充分感受的基礎上，教師進一步提問：“百分數表示的意思有什么共同點？”學生將感性的認識上升為理性的思考——“都是兩個數在比較”“都是誰是誰的百分之幾”，進而和分數建立聯系，分數表示一個數是另一個數的幾分之幾，百分數表示一個數是另一個數的百分之幾，都代表了兩個數量之間的關系。教師讓學生比較不同情境的共同點，學生在比較的過程中形成了對百分數表示“關系”的認識。

二、比較數形結合點，深化對百分數表示“倍比關系”的認識

心理學家指出，學生學習的過程，也是一個編碼的過程。編碼分為語義編碼和形象編碼。研究表明，雙重編碼有助于學生更深入地理解所學內容。語義編碼是以語言的方式理解、建構知識，形象編碼是以畫圖等直觀形象的方式建構知識。在數學教學中，數形結合是實現雙重編碼的有效途徑，將抽象的數與具體的形結合在一起，有助于深化學生對百分數的認識。因此，教師可以引導學生比較數形結合點，深化其對百分數的認識。

師：同學們，明白了百分數的意義，老師還給大家帶來了百格圖，想看嗎？（出示百格圖，如圖1）

師：請你幫幫老師，涂色部分怎么表示？

生：30%，表示把一個大正方形看作單位“1”，平均分成100份，涂色部分是這樣的30份。

師：那現在呢？（出示圖2）

生：還是30%，3/10=30/100 =30%。

師：如果這樣呢？（出示圖3）

生：30%。

師：分得更多呢？（出示圖4）

生：還是30%。

師：變成正方體了呢？（出示圖5）

生：還是30%。

師：比較一下，不一樣的圖，為什么都表示了30%？

生：雖然圖不一樣，但通過約分或者通分，最后都變成了30/100。

生：最后涂色部分和整體的比都是30 ：100。

生：都可以變成平均分成100份，取30份。

師：是的，30%表示了涂色部分與整體的倍比關系，只要倍比關系不變，表示的百分數就不變。

學生常會有這樣的誤區：百分數就是分母為100的分數。如何讓學生突破分母為100的認識？筆者認為，比較數形結合點是一種有效策略。通過數形結合，學生深刻意識到未必一定要分成100份，不管是分成10份、400份，還是1000份，只要涂色部分與整體的倍比關系不變，表示的百分數就不變，從而深刻認識到百分數含義的本質是表示兩個量之間的倍比關系。通過數形結合點的比較，學生頭腦中建立相應的表象，從而實現形象與語義的雙重編碼，深化對百分數表示的是“倍比關系”的認識。

三、比較應用范圍的不同點，完善對百分數表示“何種倍比關系”的認識

學生從最初認識百分數表示兩個數量的關系，再到表示倍比關系，學生的認知逐步加深。在此基礎上，教師讓學生比較百分數的應用范圍，探究百分數究竟表示何種量之間的倍比關系，完善對百分數的認識。

師：老師這里也有兩個百分數（如圖6），你能幫我選一選嗎？

174.7% ? ? ? ? ?10%

1.已經下載了整個文件（ ）。

2. 2015年，我國垃圾回收利用量是2006年的（ ）。

生：第一個是10%，表示已經下載的是整個文件的10/100，第二個選174.7%，表示把2006年的垃圾回收利用量看作單位“1”，平均分成100份，2015年的相當于這樣的174.7份。

師：比較一下這兩個百分數，你覺得位置能交換一下嗎？

生：不行，第一個最多是全部下載完，最多是100%，不可能超過100%。

生：第二個2015年的我國垃圾回收利用量是可以超過2006年的，可以大于100%，這說明2015年我國垃圾回收利用量超過2006年的垃圾回收利用量。

師：看來，已經下載的是整個文件的一部分，是不能超過100%，而2016年和2005年的垃圾回收利用量是兩個獨立的量，是可以超過100%，看來，在表示部分與整體的倍比關系時，百分數不能超過100%，而在表示兩個獨立的量的倍比關系時，不受100%的限制，是可以超過100%的。

在以往教學中，學生對超過100%的百分數感到困惑，不少教師只是一帶而過，而沒有充分重視。百分數是否超過100%，這和百分數表示何種倍比關系有關。因此本環節，筆者通過比較兩種情境下，174.7%和10%這兩個百分數能否互換，讓學生意識到：在表示已經下載和整個文件這樣部分與整體的倍比關系時，百分數不能超過100%，而在表示兩個獨立的量的倍比關系時，是可以超過100%的。通過比較應用范圍不同點，學生對百分數的認識更加完善、全面。

四、比較新舊知的異同點，構建完整的“倍比關系”的認知結構

教育心理學家皮亞杰提出，人的認知學習過程分為同化和順應兩種。同化是指新知識可以內化到已有認知結構中，而順應是指學習者需要改變認知結構以此來適應新知。在教學中，教師可以引導學生比較新舊知識的異同點，讓學生的認知進行同化和順應的過程，擴充并改組原有的認知結構。如教師展開以下的教學，幫助學生形成完整的認知結構。

師：接下來哪些分數能改寫成百分數，哪些不能？（出示圖7）

生1：第一題的第一個分數不能，因為后面有單位，表示具體的數量，而75/100后面沒有單位，表示原來是100份，運走的是這樣的75份，表示一種關系，而百分數也表示關系，所以75/100可以寫成百分數，即75%。

生2：第二題前兩個分數后面都有單位，表示具體的數量，不能改寫成百分數，最后的50/100表示23/100米是46/100米的100份中的50份，是表示關系，可以改寫成百分數。

師：看來，只有表示關系的分率才可以改寫成百分數，百分數又叫作百分率，百分數還和比有關，你能把百分數化成比嗎？

師：將以前學的分率和比與今天學習的百分數進行比較，你有什么想說的？

生3：我們學的分率和比是表示兩個數之間的倍比關系。今天學習的百分數，它不是表示具體的數量，也是表示兩個數之間的倍比關系。

師：你把新舊知進行了比較，發現不管分率、比、百分數，實際上都表示了兩個數之間的倍比關系，真好！

教師通過引導學生比較新舊知識的異同點，發現百分數就是百分率，同化于原有分率的認知下，再通過將百分數與分率、比進行縱向聯系，在認知中形成“倍比關系”這樣更上位的結構，從而讓學生發現，不管分率、比、百分數，實際上都表示了兩個數之間的倍比關系。教師將倍比關系作為分率、比、百分數的“根”與“魂”，進行縱向聯系，同時通過橫向聯系，讓學生認識到百分數的讀寫、作用、意義、范圍，通過橫向、縱向的聯系，形成結構化的板書，幫助學生形成完整的認知結構。

注：本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度課題“指向課堂核心關切的支點式學習研究”（立項批準號：Xc-c/2020/08）的階段性研究成果。