基于改進馬爾可夫模型的深基坑沉降預測研究

摘 ?要：針對傳統馬爾可夫模型存在隨機擾動和可靠性比較低的缺點，該文建立了基于改進馬爾可夫模型。該模型先用無偏灰色模型擬合系統的總體變化趨勢，然后對擬合殘差進行馬爾可夫狀態劃分，進而對轉移矩陣利用權重進行加權處理，最后得到加權后的馬爾可夫模型，利用此模型對基坑沉降進行預測研究。將該模型用于深基坑沉降預測工程實例，實例結果表明：基于改進馬爾可夫模型解決了深基坑沉降預測的隨機擾動，同時也增加了預測模型的可靠性，有效提高了深基坑中、長期預測的穩定性。

關鍵詞：灰色模型 ? 無偏灰色 ? 改進馬爾可夫 ? 狀態區間 ? 深基坑沉降預測

中圖分類號：T73 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A文章編號：1672-3791（2021）08（c）-0034-04

Study on Settlement Prediction of Deep Foundation Pit Based on Improved Markov Model

LYU Xianmeng

（Fuzhou Investigation and Surveying Institute， Fuzhou， Fujian Province， 350100 ?China）

Abstract： Aiming at the shortcomings of traditional Markov Model， such as random disturbance and low reliability， an improved Markov Model is established in this paper. Firstly， the unbiased grey model is used to fit the overall change trend of the system， and then the fitting residual is divided into Markov states. According to the weight of each order， the transfer matrix of different steps is weighted， and the weighted Markov Model is used to predict. The model is applied to the engineering example of deep foundation pit settlement prediction. The results show that the Improved Markov Model solves the random disturbance of deep foundation pit settlement prediction， increases the reliability of prediction model， and effectively improves the stability of medium and long-term prediction of deep foundation pit.

Key Words： Grey model; Unbiased grey; Improved Markov Model; State interval; Settlement prediction of deep foundation pit

隨著城市建設進度的日益加快，深基坑沉降預測對確保工程的順利進行尤為重要。深基坑的沉降預測傳統的方法有灰色系統理論[1]、小波分析法[2]、神經網絡法[3]和時間序列法[4]等。馬爾可夫鏈適用于處理隨機波動較大的序列[5]，灰色模型可以擬合系統的整體發展趨勢[6]。灰色馬爾可夫模型取兩者優點，提高了沉降預測的精度，并在深基坑沉降預測中具有很好的效果。但此方法的缺點是隨著時間的推移，老數據的新息意義將逐步降低，未來的一些抗干擾因素將不斷地侵入系統并產生影響，模型的精度會降低，不利于中、長期深基坑沉降預測。該文采用基于改進馬爾可夫預測模型是在馬爾可夫模型上進行的模型改進，利用無偏灰色模型建模步驟簡單、模型計算速度快等特點，用無偏灰色模型預測基坑時間序列的總體變化趨勢，消除傳統灰色模型對指數序列建模中的固有偏差。為進一步提高深基坑沉降預測的預測精度，對轉移矩陣加權處理，用改進后的馬爾可夫模型進行預測。

1 ?基于改進的馬爾可夫預測模型

1.1 建立加權馬爾可夫模型

計算各階權重wk和自相關系數rw。

為了正確反映各階（各種步長）對馬爾可夫鏈預測值的影響權重，權值大小采用灰擬合精度指標Y（k）的各階自相關系數來反映，即

（1）

對各階自相關系數作歸一化處理，得到各階權重：

（2）

對不同步長的轉移矩陣按所求取的權重大小進行加權處理，進而求得到新的概率分布，具體如下：

（3）

由式（2）可求取在狀態空間E中的所有狀態的概率值，由這些狀態的概率值進一步形成新的概率分布P={pi│i∈E}。

1.2 預測值的計算求取

系統未來狀態的轉向Ei由pi中最大的概率值來確定，進一步求取預測值的變動區間[E1i，E2i]，由預測值的變動區間的中點值即為預測值，具體如下：

（4）

2 ?實例驗證分析

案例選自某地基坑監測工程“Z70”監測點觀測值。將監測點觀測數據的前28期為樣本，進行模型構建，進行預測，并將預測值與后4期數據進行對比，驗證該文提出的改進馬爾可夫模型在深基坑沉降預測研究中的有效性。

基坑沉降具有先快后慢的特點，即在剛開始的一段時間內基坑沉降的速度比較快，但隨著時間的推移，基坑沉降速度會逐漸變緩。結合該基坑的實際情況，對需要建模的前28期的基坑沉降數據，利用平均緩沖算子進行預處理：

（5）

由上式計算可得：

根據無偏預測模型定義，求，可知：A=15.95312083894797，E= 0.01578644418077761。代入式（7）可知無偏灰色預測模型為：

（8）

根據無偏灰色擬合殘差來劃分為劃分3種狀態區間，具體情況見表1。選取相對誤差閾值分別為0.90、0.95、1.03和1.08，可得：

狀態1：E11=0.90×E21=0.95×

狀態2：E12=0.95×E22=1.03×

狀態3：E13=1.03×E23=1.08×

根據相對誤差的閾值可得到系統的狀態一次轉移次數統計表，具體見表2。

由表2得一步狀態轉移概率矩陣：

（9）

利用切普曼-科爾莫哥方程，計算求取得2階狀態轉移概率矩陣和3階狀態轉移概率矩陣分別為：

（11）

由式（1）求取各階自相關系數分別為：r1=0.86，r2=0.70，r3=0.53。

由式（2）進行歸一化處理，求取各階權重分別為：w1=0.41，w2=0.34，w3=0.26。則整個深基坑沉降預測的過程參數見表3。

對表3中各狀態轉移概率進行加權求和，得到需求量的各狀態概率：p1=0.74，p2=0.23，p3=0.0146。故max（p1，p2，p3）=p1=0.74，分別利用無偏灰色預測模型和改進馬爾可夫預測模型依次求取第29期、30期、31期和第32期的改進馬爾可夫預測值。將29～32期的實測值與灰色預測值和改進馬爾可夫基坑沉降預測值進行比較，相對誤差具體見表4。

3 ?結語

該文在傳統的深基坑沉降預測模型的理論基礎上，提出基于改進馬爾可夫預測模型，消除傳統灰色模型對指數序列建模中的固有偏差。將此方法應用到深基坑沉降預測中取得了比較滿意的結果，結論如下。

（1）灰色預測模型自身最大的特點就是可以通過少量的、不完全的信息，建立數學模型并做出預測，這種特點使得灰色模型廣泛的應用于基坑沉降預測中來。但是灰色系統自身存在的一些缺點制約了其更深層次的運用，會導致預測模型的穩定性不足和預測結果精度降低。

（2）該文通過利用改進馬爾可夫預測模型進行深基坑沉降預測實例驗證，通過結果進行對比分析可知，改進馬爾可夫預測模型可以提高深基坑沉降預測的精度。

（3）通過選取相對誤差進行對比分析，可以看出改進馬爾可夫模型預測精度明顯高于傳統灰色模型和無偏灰色模型，在長時間、多周期的基坑沉降預測中是一種實用且有效的方法。

參考文獻

[1] 彭廣民.基于對數、正弦變換優化的灰色模型預測基坑沉降[J].測繪技術裝備，2021，23（1）：28-31.

[2] 靳祠.基坑變形監測預測模型的建立與運用[D].成都：成都理工大學，2016.

[3] 谷彥斐.基于GA-PSO組合優化BP神經網絡模型的基坑變形預測研究[D].青島：山東科技大學，2020.

[4] 徐爽，孫陽，肖敬宇，等.一種監測基坑變形的灰色時序組合模型研究[J].測繪與空間地理信息，2019，42（11）：228-232.

[5] ZHAO R.Forecast of US Retirement Assets Using Unbiased Grey-Fuzzy-Markov Chain Method[C]//2015 4th International Conference on Computer Science and Network Technology （ICCSNT）.IEEE，2015，1：568-573.

[6] YANG Y，ZENG J，WANG J，et al.Prediction of Chinese Financial Total Loan Amount via Unbiased Grey-Fuzzy-Markov Chain Method[C]//2015 8th International Symposium on Computational Intelligence and Design （ISCID）.IEEE，2015，2：388-391.

作者簡介：呂賢錳（1986—），男，本科，中級工程師，研究方向為城市工程測量。