基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的亞格子應(yīng)力建模1)

吳 磊 * 肖左利 *,

* (北京大學(xué)工學(xué)院力學(xué)與工程科學(xué)系,北京 100871)

? (湍流與復(fù)雜系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100871)

引言

大渦模擬(large-eddy simulation,LES)是湍流研究中一種重要的數(shù)值模擬方法[1].與直接數(shù)值模擬(direct numerical simulation,DNS) 和雷諾平均(Reynolds-averaged Navier-Stokes,RANS)方法相比,大渦模擬可以在分辨率相對較低的網(wǎng)格上對大尺度湍流運(yùn)動(dòng)進(jìn)行模擬,能夠在較低的計(jì)算成本下解析部分湍流結(jié)構(gòu).近年來在航空航天、多相流動(dòng)、湍流燃燒與傳熱等眾多工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[2].

在大渦模擬方法中,通過濾波技術(shù)可將湍流脈動(dòng)分解為可解尺度與亞格子尺度(subgrid-scale,SGS)流場.在不可壓縮流動(dòng)中,亞格子尺度流動(dòng)對可解尺度流動(dòng)的影響由亞格子應(yīng)力張量表達(dá)[3-5].如何使用可解尺度流場信息表示亞格子應(yīng)力張量成為大渦模擬方法的關(guān)鍵科學(xué)問題之一.傳統(tǒng)亞格子模型在湍流理論和假設(shè)的基礎(chǔ)上,利用可解尺度流場顯式表達(dá)亞格子應(yīng)力,主要包括Smagorinsky 模型[6]、動(dòng)力Smagorinsky 模型[7-9]、相似模型[10-12]、梯度模型[11-13]、混合模型[10-11,14]、優(yōu)化模型[15-17]、變分多尺度方法[18]、一方程模型[19]和二階矩模型[20]等.這些模型雖然已經(jīng)應(yīng)用于各種流動(dòng)的仿真計(jì)算,但仍有諸多缺點(diǎn)等待解決.例如,Smagorinsky 模型耗散過大;相似模型提供了過多的反傳(backscatter),不能充分耗散能量,因此常常伴隨著計(jì)算發(fā)散或不準(zhǔn)確現(xiàn)象;梯度模型在網(wǎng)格較密時(shí)較為準(zhǔn)確,但該模型隨著網(wǎng)格尺度的增大而變得不穩(wěn)定.上述模型的動(dòng)力及混合版本可以有效解決能量耗散問題,并在大多數(shù)情況下可以得到更準(zhǔn)確的結(jié)果,但這些模型伴隨著較高的計(jì)算成本,且普適性較差.因此,有必要發(fā)展新的亞格子模型.

傳統(tǒng)亞格子模型的構(gòu)建多基于湍流物理和假設(shè),目前基本陷入瓶頸期[21].然而,計(jì)算機(jī)性能和實(shí)驗(yàn)測試手段的發(fā)展使得研究者積累了大量高精度、高分辨率的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).如何利用這些數(shù)據(jù)建立更高精度的亞格子模型,成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)之一.隨著人工智能時(shí)代的到來,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等機(jī)器學(xué)習(xí)方法已廣泛應(yīng)用于圖像識別[22]、自動(dòng)駕駛[23]和生物信息學(xué)預(yù)測[24]等領(lǐng)域,并在湍流建模[25-27]、流動(dòng)控制[28]和氣動(dòng)優(yōu)化[29]等流體力學(xué)領(lǐng)域取得了一定成果[30-31].有鑒于此,本文利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural networks,ANN)開展亞格子應(yīng)力的建模研究.

目前有關(guān)機(jī)器學(xué)習(xí)的大渦模擬模型研究,主要集中于均勻各向同性湍流及槽道流.在二維衰減的各向同性湍流中,Maulik 等[32-33]等使用全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(fully connected neural network,FCNN)模型預(yù)測反卷積的渦量和流函數(shù)[32]及亞格子應(yīng)力[33],結(jié)果表明FCNN 模型在湍動(dòng)能譜方面較Smagorinsky 模型等傳統(tǒng)LES 模型有著更高的預(yù)測精度.對于不可壓縮的三維各向同性湍流,Vollant 等[34]同樣利用FCNN 建立濾波后的應(yīng)變率張量和亞格子標(biāo)量通量的散度之間的關(guān)系,預(yù)測結(jié)果接近于濾波后的DNS 數(shù)據(jù)(fDNS).Zhou 等[35]考慮了變?yōu)V波尺度的模型構(gòu)建問題,他們所建立的模型能夠預(yù)測不同濾波尺度下的亞格子應(yīng)力.Xie 等[36]使用空間人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(spatial artificial neural network,SANN)建立了亞格子應(yīng)力的預(yù)測模型,模型在先、后驗(yàn)中均有較好表現(xiàn).Yuan 等[37]基于反卷積人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(deconvolutional artificial neural network,DANN) 對亞格子應(yīng)力進(jìn)行建模,后驗(yàn)結(jié)果表明DANN 能夠給出更為準(zhǔn)確的速度統(tǒng)計(jì)量及流動(dòng)結(jié)構(gòu).Wang 等[38]分別使用隨機(jī)森林和ANN 方法建立了濾波速度及其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)與亞格子應(yīng)力的映射關(guān)系,后驗(yàn)結(jié)果優(yōu)于動(dòng)力Smagorinsky 模型.在可壓縮三維均勻各向同性湍流中,Xie 等[39-41]等利用 FCNN 對亞格子力和亞格子熱通量的散度[39],混合模型的系數(shù)[40]和亞格子應(yīng)力及亞格子熱通量[41]開展預(yù)測研究,結(jié)果表明基于FCNN 的LES 模型能夠得到比動(dòng)力Smagorinsky 模型及動(dòng)力混合模型更高精度的能譜和速度結(jié)構(gòu)函數(shù).針對槽道流的大渦模擬,Sarghini 等[42]使用FCNN 預(yù)測尺度相似和Smagorinsky 混合模型中Smagorinsky 項(xiàng)的系數(shù),以保證大渦模擬計(jì)算的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率.值得注意的是,Sarghini 等[42]的工作是基于大渦模擬計(jì)算數(shù)據(jù)而非fDNS 數(shù)據(jù).Gamahara 和Hattori[43]首次將ANN用于槽道流亞格子應(yīng)力的?；?他們考慮了組不同的輸入,其中是濾波速度的旋轉(zhuǎn)張量.他們的研究結(jié)果表明使用作為輸入時(shí),ANN 亞格子應(yīng)力模型與fDNS 的相關(guān)系數(shù)最高,甚至高于梯度(非線性)模型.然而在后驗(yàn)中并沒有得到優(yōu)于Smagorinsky 模型的結(jié)果,因此并沒有解決傳統(tǒng)亞格子模型中先、后驗(yàn)表現(xiàn)不一致[1]的現(xiàn)象.Park 和Choi[44]同樣研究了FCNN 中不同輸入對模型先、后驗(yàn)結(jié)果的影響,結(jié)果表明先驗(yàn)表現(xiàn)不佳的輸入所構(gòu)建的模型反而能夠給出更為準(zhǔn)確的后驗(yàn)結(jié)果.

根據(jù)亞格子應(yīng)力的渦黏假設(shè)可知,亞格子應(yīng)力除取決于可解尺度流場外,還依賴于濾波尺度.Zhou 等[35]在均勻各向同性湍流中考慮了含濾波尺度的亞格子應(yīng)力模化問題,所建立的模型能夠?qū)崿F(xiàn)不同濾波尺度下亞格子應(yīng)力的預(yù)測.然而,在槽道流中缺乏對變?yōu)V波尺度亞格子應(yīng)力模型的系統(tǒng)研究.因此,本文使用ANN 方法,針對不可壓縮槽道流中的亞格子應(yīng)力開展建模工作,使得模型能夠預(yù)測不同濾波尺度下的亞格子應(yīng)力,并對該模型開展相應(yīng)的后驗(yàn)研究.

圖1 ANN 模型框架Fig.1 The framework of ANN model

1 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的亞格子應(yīng)力建模框架

不可壓縮流動(dòng)的大渦模擬控制方程如下

2 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

2.1 DNS 數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備與驗(yàn)證

模型訓(xùn)練與測試均需要槽道流的fDNS 數(shù)據(jù),因此先要對槽道流開展DNS 計(jì)算.如圖2 所示,x,y,z軸分別代表流向、法向與展向.流向與展向采用均勻網(wǎng)格并施加周期性邊界條件,法向采用雙曲正切函數(shù)生成的非均勻網(wǎng)格.本文使用了可壓縮流動(dòng)求解器,通過設(shè)置特征馬赫數(shù)為0.2 來近似不可壓縮流動(dòng).因此,在壁面處(y=±1)使用無滑移及等溫邊界條件.采用有限差分方法開展DNS 計(jì)算,對流項(xiàng)采用Steger-Warming 流通矢量分裂的7 階迎風(fēng)格式,黏性項(xiàng)采用8 階中心差分格式離散.時(shí)間推進(jìn)采用3 階 Runge-Kutta 方法,其中時(shí)間步長由CFL 條件決定.為了使流動(dòng)達(dá)到充分發(fā)展?fàn)顟B(tài),流動(dòng)由均勻的體積力驅(qū)動(dòng),其中體積力根據(jù)指定的質(zhì)量流量而隨時(shí)間變化.

圖2 槽道流計(jì)算區(qū)域示意圖Fig.2 Schematic for computational domain of turbulent channel flow

本文考察3 組不同的雷諾數(shù).以入口平均速度(bulk velocity)Ub為特征速度的雷諾數(shù)Reb=Ubδ/γ分別為2800,5000 和7000,其中 δ 為半槽寬.對應(yīng)以壁面摩擦速度uτ為特征速度的雷諾數(shù)Reτ=uτδ/γ 大致為180,300 和395,其中uτ=(τw/ρ)1/2,壁面切應(yīng)力 τw=(ρν)?u/?y.表1 列出了DNS 的參數(shù),其中Lx,Ly,Lz分別為3 個(gè)方向的計(jì)算域長度,Δx+與 Δz+為流向和展向使用黏性長度(viscous lengthscale)δν=ν/uτ無量綱化的均勻網(wǎng)格間距,分別表示法向使用 δν無量綱化的最小和最大網(wǎng)格間距,Nx,Ny,Nz為3 個(gè)方向的網(wǎng)格數(shù).圖3 為DNS結(jié)果,其中圖3(a)為槽道流的平均速度剖面,圖3(b)和圖3(c)為槽道流雷諾應(yīng)力剖面,與文獻(xiàn)[45-46]的計(jì)算結(jié)果基本吻合.

表1 DNS 計(jì)算參數(shù)Table 1 Computational parameters of DNS

圖3 DNS 計(jì)算結(jié)果Fig.3 DNS results

2.2 離散濾波方法

在DNS 完成后,需要對DNS 數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波操作以得到fDNS 流場信息.以一維濾波為例,在連續(xù)空間中對物理量的濾波由下式表達(dá)

其中,G為濾波函數(shù).式(3)并不適用于離散點(diǎn)的濾波,故有必要在離散空間發(fā)展相應(yīng)的濾波表達(dá)式

其中,l為離散濾波使用的基架點(diǎn)個(gè)數(shù).Sagaut 和Grohens[47]利用泰勒展開式推導(dǎo)了不同濾波函數(shù)下濾波量的微分表達(dá)式,對盒式濾波器來說

3 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

3.1 基本原理與輸入輸出變量的選擇

本文使用前饋人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[48]建立可解尺度流場與亞格子應(yīng)力的映射關(guān)系.圖4 為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖.

圖4 前饋人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.4 Schematic of the feedforward ANN

假設(shè)將d個(gè)可解尺度流場變量作為輸入量x=[x1,x2,···,xi,···,xd]T,由神經(jīng)元模型可知,隱藏層第h個(gè)神經(jīng)元接收到的輸入為

其中,vih為輸入層第i個(gè)神經(jīng)元與隱藏層第h個(gè)神經(jīng)元之間的連接權(quán)重.輸出層第j個(gè)神經(jīng)元接收到的輸入為

其中,wh j為隱藏層第h個(gè)神經(jīng)元與輸出層第j個(gè)神經(jīng)元之間的連接權(quán)重.因此,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層第j個(gè)神經(jīng)元的輸出值為

其中f為輸出層的激活函數(shù),θj為輸出層第j個(gè)神經(jīng)元的偏置.借助誤差逆?zhèn)鞑ニ惴╗49-50],不斷調(diào)整網(wǎng)絡(luò)權(quán)重與偏置,使得網(wǎng)絡(luò)輸出與DNS 亞格子應(yīng)力最為接近.

除特別聲明外,本文所采用的輸入特征為x=[Δf?ui/?xj,Δ,y]T,其中i,j=1,2,3,并使用單層128 個(gè)神經(jīng)元作為隱藏層.考慮到DNS 亞格子應(yīng)力分量 τ13與 τ23接近于零,故本文僅針對亞格子應(yīng)力分量 τ11,τ12,τ22及 τ33分別建立ANN 模型.

3.2 網(wǎng)絡(luò)超參數(shù)的設(shè)定

為防止模型訓(xùn)練過程中出現(xiàn)過擬合,本文為損失函數(shù)添加懲罰項(xiàng),具體表達(dá)式如下

其中第一項(xiàng)為預(yù)測值與真實(shí)值的均方根(RMS)誤差,第二項(xiàng)為L2正則化項(xiàng),n為樣本數(shù),Yi和Ti分別為第i個(gè)樣本的真實(shí)值和預(yù)測值,w是模型的權(quán)重,λ為正則化系數(shù).

本文采用ReLu 激活函數(shù),表達(dá)式如下[51]

可以有效緩解梯度消失問題且計(jì)算效率高,近些年得到了廣泛應(yīng)用.

Adam 算法是目前深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)的流行算法,因此本文采用Adam 算法進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)權(quán)重與偏置系數(shù)的調(diào)整.同時(shí),Loshchilov 和Hutter[52]的研究表明Adam+學(xué)習(xí)率的動(dòng)態(tài)衰減可以提高Adam 的算法性能.因此,本文在采用Adam 作為優(yōu)化器算法的同時(shí),還在訓(xùn)練過程中動(dòng)態(tài)調(diào)整學(xué)習(xí)率.

4 模型的訓(xùn)練與先驗(yàn)測試

4.1 不同濾波尺度下的訓(xùn)練與先驗(yàn)測試

如前所述,對于3 個(gè)不同雷諾數(shù)的DNS 流場而言,均可得到在5 個(gè)濾波尺度下的fDNS 數(shù)據(jù)及對應(yīng)的亞格子應(yīng)力.為了考察濾波尺度的影響,首先對相同雷諾數(shù)下不同濾波尺度的數(shù)據(jù)開展訓(xùn)練,具體如表2 所示.

表2 相同雷諾數(shù)下不同濾波尺度ANN 模型訓(xùn)練及測試集Table 2 Training and test sets of ANN model at the same Reynolds number and different filter widths

本文模型訓(xùn)練在基于Tensorflow 和Theano 的開源深度學(xué)習(xí)庫Keras 中展開.利用訓(xùn)練的ANN 模型可以預(yù)測得到測試集下的亞格子應(yīng)力.下面從不同方面評估模型的預(yù)測結(jié)果.

4.1.1 亞格子應(yīng)力

首先考察ANN 模型的建模項(xiàng),亞格子應(yīng)力.可繪制DNS 與ANN 的亞格子應(yīng)力云圖以直觀比較二者的分布差異.為了對比分析,本文還計(jì)算了兩個(gè)常用的LES 模型,即Smagorinsky 模型[6]與梯度模型[11,13]的亞格子應(yīng)力.在Smgorinsky 模型中,亞格子應(yīng)力由下式表達(dá)

以Reτ=180,Δf/Δ =4 的測試結(jié)果為例,給出了y=0.9 截面上對角線分量 τ11與非對角線分量 τ12的亞格子應(yīng)力云圖,如圖5 所示.可以看出ANN 模型能夠精確地預(yù)測出真實(shí)的亞格子應(yīng)力分布,而梯度模型和Smagorinsky 模型與DNS 亞格子應(yīng)力存在較大偏差.

圖5 R eτ =180,Δ f/Δ =4 時(shí) y =0.9 截面上亞格子應(yīng)力分量 τ 11 及 τ 12 的分布云圖.(a,b) DNS;(c,d) ANN 模型;(e,f)梯度模型;(g,h) Smagorinsky 模型Fig.5 Contours of the SGS stress components τ 11 and τ 12 at R eτ =180,Δ f/Δ =4 and y =0.9.(a,b) DNS;(c,d) ANN model;(e,f) gradient model;(g,h) Smagorinsky model

在槽道流中,常常對物理量 φ 進(jìn)行流向和展向平均并研究其隨法向的變化規(guī)律,計(jì)算方法如下

以Reτ=180 ,Δf/Δ=2 時(shí)的測試結(jié)果為例,繪制DNS 與ANN 模型的亞格子應(yīng)力在xz平面內(nèi)的平均值及其脈動(dòng)的均方根剖面,如圖6 所示.從圖6 中可以看出,ANN 模型的亞格子應(yīng)力與DNS 高度吻合.因此,盡管ANN 模型并未在 Δf/Δ=2 濾波尺度下訓(xùn)練,且該濾波尺度在訓(xùn)練集所涵蓋的濾波尺度之外,但是ANN 模型依然能夠給出正確的亞格子應(yīng)力均值及均方根值.

圖6 R eτ =180,Δ f/Δ =2 時(shí)DNS 與ANN 模型的亞格子應(yīng)力平均值及其脈動(dòng)的均方根剖面Fig.6 Profiles of mean SGS stress and RMS fluctuating SGS stress obtained from DNS and ANN model at R eτ =180,Δ f/Δ =2

相關(guān)系數(shù)是LES 亞格子模型先驗(yàn)測試的一個(gè)重要衡量指標(biāo),在槽道流中,相關(guān)系數(shù)定義如下

圖7 R eτ =180,Δ f/Δ =3 時(shí)各模型與DNS 亞格子應(yīng)力的相關(guān)系數(shù)剖面(橫坐標(biāo): y)Fig.7 Profiles of correlation coefficient between modeled SGS stress and DNS data at R eτ =180,Δ f/Δ =3 (x-coordinate: y)

圖8 R eτ =180,Δ f/Δ =3 時(shí)各模型與DNS 亞格子應(yīng)力的相關(guān)系數(shù)隨 y+ 的變化剖面(橫坐標(biāo):y+)Fig.8 Profiles of correlation coefficient between modeled SGS stress and DNS data at R eτ =180,Δ f/Δ =3 (x-coordinate: y+)

通過相關(guān)系數(shù)剖面可進(jìn)一步計(jì)算空間平均的相關(guān)系數(shù)

以此計(jì)算了3 個(gè)雷諾數(shù)下共9 個(gè)測試算例的空間平均相關(guān)系數(shù),結(jié)果如表3 和圖9 所示.可以看出,對3 個(gè)雷諾數(shù)的所有測試算例來說,ANN 模型與DNS 的相關(guān)系數(shù)都幾乎接近于1,而梯度模型和Smagorinsky 模型與DNS 的相關(guān)系數(shù)大致在0.65和0.25 左右.這再次證明ANN 模型能夠成功地利用可解速度場?；鲚^為真實(shí)的亞格子應(yīng)力,并且在濾波尺度上有著很好的泛化性能,解決了Gamahara 和Hattori[43]遇到的模型無法推廣至其他濾波尺度的問題.此外,隨著濾波尺度的增大,梯度模型及Smagorsisky 模型的相關(guān)系數(shù)都有一定程度的下降,這與Zhou 等[35]在均勻各向同性湍流中觀察到的現(xiàn)象類似,而ANN 模型的下降程度并不明顯.

表3 亞格子應(yīng)力空間平均相關(guān)系數(shù)Table 3 The spatial averaged correlation coefficient of SGS stress

圖9 亞格子應(yīng)力空間平均相關(guān)系數(shù)Fig.9 Spatially-averaged correlation coefficients between the modeled and DNS SGS stresses

以上是關(guān)于ANN 的建模項(xiàng),即亞格子應(yīng)力與真實(shí)應(yīng)力的相關(guān)性評估.在槽道流中,還存在一些對LES 具有重要影響的物理量[53-55],下面對ANN 模型在相關(guān)方面的預(yù)測能力進(jìn)行分析討論.

4.1.2 其他亞格子物理量

可解速度場湍動(dòng)能Ef的輸運(yùn)方程如下[1]

圖10 R eτ =300 時(shí)3 個(gè)測試算例的平均亞格子耗散剖面Fig.10 Profiles of mean SGS dissipation for the three test cases at R eτ =300

平均來講,能量由可解尺度向亞格子尺度傳遞.然而在壁湍流尤其是其緩沖層中,能量由亞格子尺度向可解尺度傳遞,該現(xiàn)象稱作亞格子能流反傳(SGS backscatter).湍流理論表明,在壁湍流中,亞格子反傳與上拋(ejections)和下掃(sweeps)現(xiàn)象密切相關(guān)[57-58].傳統(tǒng)的LES 渦黏模式并不能夠捕捉壁湍流中的反傳[57],因此ANN 模型是否能夠精確預(yù)測亞格子反傳值得關(guān)注.當(dāng)存在亞格子反傳時(shí),亞格子耗散 εSGS＜0,因此可用εSGS-back=(εSGS-|εSGS|)/2 來表示亞格子反傳.圖11 為Reτ=300 時(shí)3 個(gè)測試算例的平均亞格子反傳.可以看出ANN 模型能夠準(zhǔn)確給出真實(shí)的亞格子反傳,梯度模型雖能夠給出反傳隨著壁面坐標(biāo)y+的變化趨勢,但極大地高估了亞格子反傳的峰值,且出現(xiàn)峰值的位置也存在較大偏差,這與Balarac 等[59]的結(jié)論基本一致.較大的反傳容易導(dǎo)致LES 計(jì)算的不穩(wěn)定,本文結(jié)果再次印證了梯度模型容易導(dǎo)致計(jì)算不穩(wěn)定的觀點(diǎn)[60].

圖11 R eτ =300 下3 個(gè)測試算例的平均亞格子反傳剖面Fig.11 Profiles of mean SGS backscatter for the three test cases at R eτ =300

由式(2)可知,亞格子應(yīng)力實(shí)際上以散度形式?τi j/?xj出現(xiàn)在動(dòng)量方程中,稱為亞格子力(SGS force).現(xiàn)考察模型對亞格子力的預(yù)測能力.以流向動(dòng)量方程的亞格子力 ? τ1j/?xj為例,圖12 為Reτ=300 時(shí)3 個(gè)測試算例的平均亞格子力.可以看到,盡管ANN 模型在峰值處略微低估了亞格子力,但仍然能夠很好地預(yù)測出亞格子力隨壁面坐標(biāo)y+的變化趨勢,相比于梯度模型有了極大提高.

圖12 R eτ =300 下3 個(gè)測試算例的平均亞格子力 ? τ1j/?xj 剖面Fig.12 Profiles of mean SGS force ? τ1j/?xj for three test cases at R eτ =300

V?lker 等[61]指出,亞格子輸運(yùn)對于開展精確的LES 具有重要影響.圖13 為Reτ=300 時(shí)3 個(gè)測試算例的平均亞格子輸運(yùn).從中可以看出ANN 模型的計(jì)算結(jié)果與DNS 高度吻合.

此外,計(jì)算了3 個(gè)雷諾數(shù)下共9 個(gè)測試算例的

圖15 DNS 與ANN 模型的亞格子應(yīng)力平均值剖面Fig.15 Profiles of mean SGS stress obtained from DNS and ANN model

表5 亞格子應(yīng)力空間平均相關(guān)系數(shù)Table 5 Spatially-averaged correlation coefficient of SGS stress

圖16 亞格子應(yīng)力空間平均相關(guān)系數(shù)Fig.16 Spatially-averaged correlation coefficient of SGS stress

5 不同濾波尺度下的后驗(yàn)測試

4.1 節(jié)對2～4 倍DNS 網(wǎng)格尺度 Δ 下的fDNS數(shù)據(jù)進(jìn)行了ANN 模型的先驗(yàn)測試.本節(jié)基于該模型,在3 個(gè)雷諾數(shù)下分別開展ANN 模型的LES 后驗(yàn)計(jì)算.本文LES 計(jì)算為隱式濾波,故LES 計(jì)算的網(wǎng)格尺度分別為DNS 網(wǎng)格尺度 Δ 的2～4 倍.控制方程為式(1)和式(2),其中方程(2)中 τij由ANN 模型在計(jì)算過程中實(shí)時(shí)給出.根據(jù)對比分析需要,本文在相應(yīng)網(wǎng)格尺度下同時(shí)利用帶壁面衰減函數(shù)[62]的Smagorinsky 模型[6]、梯度模型[11,13]及ILES 方法[63-64]開展了數(shù)值模擬,數(shù)值方法與2.1 節(jié)中提到的DNS計(jì)算保持一致.計(jì)算過程中槽道的質(zhì)量流量保持不變,因此摩擦雷諾數(shù)Reτ取決于亞格子模型.表6 列出了各個(gè)算例在計(jì)算穩(wěn)定后的Reτ值.圖17 為相應(yīng)的相對誤差,誤差計(jì)算公式如下

圖17 各個(gè)后驗(yàn)算例計(jì)算穩(wěn)定后 R eτ 值的相對誤差率Fig.17 The relative errors of R eτ for a posteriori test cases at statistically steady state

表6 各個(gè)后驗(yàn)算例計(jì)算穩(wěn)定后的 R eτ 值Table 6 Values of R eτ for a posteriori test cases at statistically steady state

以Reτ=180 為例,繪制不同模型在3 套網(wǎng)格下的流向平均速度剖面,如圖18 所示.可以看出,相比于Smagorinsky 模型、梯度模型及ILES 模型,基于ANN 模型得到的流向平均速度剖面更接近于DNS結(jié)果.觀察梯度模型及Smagorinsky 模型的先、后驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),盡管梯度模型在先驗(yàn)相關(guān)系數(shù)上優(yōu)于Smagorinsky 模型,但后驗(yàn)表現(xiàn)并不如Smagorinsky 模型.也就是說,傳統(tǒng)LES 模型中存在著先后驗(yàn)不一致的現(xiàn)象:亞格子應(yīng)力先驗(yàn)的高相關(guān)性并不意味著亞格子模型后驗(yàn)計(jì)算的成功[1,44,65].對比ANN模型的先、后驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn),盡管隨著LES 網(wǎng)格尺度的增大,ANN 模型與傳統(tǒng)LES 模型一樣均出現(xiàn)一定程度的精度下降,但ANN 模型有效解決了先后驗(yàn)不一致的現(xiàn)象,不僅給出了明顯優(yōu)于傳統(tǒng)LES 模型的先驗(yàn)結(jié)果,在后驗(yàn)計(jì)算上也有一定提升.

圖18 不同模型在3 個(gè)網(wǎng)格尺度下的流向平均速度剖面Fig.18 Profiles of mean streamwise velocity obtained using different models at three grid scales

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)ANN 模型在預(yù)測脈動(dòng)速度方面的能力,計(jì)算了3 組網(wǎng)格尺度下各個(gè)脈動(dòng)速度分量的均方根值在垂直壁面方向的分布,并與其他模型(包括Smagorinsky 模型、梯度模型及ILES 方法)的計(jì)算結(jié)果以及濾波后的DNS (fDNS)結(jié)果進(jìn)行了比較.各種方法獲得脈動(dòng)速度均方根剖面如圖19所示.觀察各個(gè)模型在不同網(wǎng)格尺度下對3 個(gè)脈動(dòng)速度分量預(yù)測上的表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),雖然ANN 模型的性能整體上相對其他3 個(gè)模型有所提升,但是在某些法向位置的表現(xiàn)不如其他LES 模型.特別地,隨著網(wǎng)格尺度的增大,本文的ANN 模型所預(yù)測結(jié)果與fDNS 結(jié)果的偏差會(huì)逐漸增大.這與現(xiàn)有參數(shù)化模型的后驗(yàn)表現(xiàn)一致[66].引起此類現(xiàn)象的原因之一可能是平行于壁面方向與垂直壁面方向的網(wǎng)格長寬比過大[67].因此,ANN 模型在后驗(yàn),尤其是在預(yù)測速度高階量等方面的表現(xiàn)仍然值得進(jìn)一步研究.

圖19 不同模型在3 個(gè)網(wǎng)格尺度下脈動(dòng)速度均方根剖面Fig.19 Profiles of RMS fluctuating velocity obtained using different models at three grid scales

6 結(jié)論

本文使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法,考慮濾波尺度及雷諾數(shù)影響,對槽道湍流大渦模擬的亞格子應(yīng)力模型開展研究,建立了可解尺度流場與亞格子應(yīng)力之間的數(shù)據(jù)映射模型,并對模型開展了先、后驗(yàn)測試.

先驗(yàn)測試結(jié)果表明,ANN 亞格子應(yīng)力模型能夠給出與DNS 高度吻合的亞格子應(yīng)力,在不同濾波尺度及雷諾數(shù)上有較好的泛化能力.此外,ANN 模型在亞格子耗散等非建模量上也體現(xiàn)出良好的預(yù)測性能.該模型與基于DNS 數(shù)據(jù)直接獲得的對應(yīng)物理量相關(guān)系數(shù)大都在0.9 以上,與梯度模型及Smagorinsky 模型相比有大幅提高.在模型后驗(yàn)測試中,利用ANN 模型得到的流向平均速度剖面優(yōu)于Smagorinsky 模型、梯度模型及ILES 方法.從脈動(dòng)速度均方根剖面上,ANN 模型在預(yù)測湍流脈動(dòng)的性能方面相對其它常用參數(shù)化模型沒有明顯提升.綜上所述,較之于傳統(tǒng)LES 模型,基于ANN 方法得到的亞格子應(yīng)力模型在先、后驗(yàn)中預(yù)測能力均有不同程度的提升,兼具先驗(yàn)高相關(guān)和后驗(yàn)高精度的特點(diǎn).盡管如此,ANN 模型在后驗(yàn)中的精度提升程度較為有限,并且隨著LES 網(wǎng)格尺度的增大,ANN 模型同樣出現(xiàn)一定程度的精度下降.

在后續(xù)研究工作中,擬深入探究ANN 模型后驗(yàn)表現(xiàn)不如先驗(yàn)的原因,期望得到一個(gè)在先、后驗(yàn)測試中均與DNS 結(jié)果高度吻合的ANN 模型.此外,使用更多能夠反映湍流物理機(jī)理的輸入以及提高模型的可解釋性和模型后驗(yàn)計(jì)算效率也是值得研究的問題.