倍頻激勵雙轉子振動同步機理與實驗研究1)

鄒 敏 方 潘 , 侯勇俊 , 彭 歡 王德金

* (西南石油大學機電工程學院,成都 610500)

? (石油天然氣裝備技術四川省科技資源共享服務平臺,成都 610500)

引言

振動同步可以表征為運動系統根據內部子系統之間的耦合效應調整特征量的變化頻率,并使子系統的位移、速度等變量具有一致性和統一性.近年來,由于同步在非線性耦合混沌系統[1-2]、復雜網絡系統[3]、多軸控制系統[4-5]、振動篩系統[6-7]等工程技術中具有很高的應用價值和良好的應用前景,已成為國內外重要科學研究課題之一.特別是在振動篩分領域,自20 世紀中葉前蘇聯學者Blekhanm 首次對兩相同激振器同步給出理論解釋[8]后,利用偏心轉子同步激勵振動質體便開始用于實現物料的篩選與分級.按照振動篩的振動軌跡分類,至今共發展了四類振動篩:圓振動篩、直線同步振動篩、平動橢圓同步振動篩和雙軌跡同步振動篩[9].在整個振動系統中,激振電機的同步狀態是影響振動篩工作效率的核心因素.

目前針對振動系統同步機理和實驗的研究主要側重于單頻激勵多電機振動系統.比如,趙春雨等[10-11]根據異步電機運動學原理導出以角轉速為變量的電磁轉矩表達式,從而進一步探究振動系統在同轉速偏心塊激勵下的動力學行為和同步穩定性理論,并有效解決了若干工程實際問題.通過將剛性轉子安裝在兩個彈性阻尼支座上,Sperling 等[12]提出一種帶有雙平面自動平衡裝置的轉子同步模型,并根據運動方程進行數值計算后發現,當轉子速度高于系統最大共振轉速范圍時,系統可以有效補償剛性轉子的離心力和不平衡力矩從而獲得同步振動.Balthazar等[13-14]基于數值模擬定量地分析了非線性振動系統中4 個非理想激振器安裝于柔性支撐結構的同步運動,表明在共振頻率階段的Sommerfeld 效應顯著影響激振電機的同步性.上述學者從振動力學理論角度研究了單頻自同步振動系統的同步機理,但是忽略了系統的機電耦合動力特性.針對機電耦合誘導的單頻振動系統同步傳動行為,侯勇俊等[15-16]考慮電機系統與振動機械系統之間的相互影響,采用轉子動力學理論成功構造三機橢圓振動系統的機電耦合數學模型,揭示轉子與振動質體間同步傳動的機電耦合機理.方潘等[17]在侯勇俊的研究基礎上將振動電機視為與擺桿耦合的擺動電機,并成功把單自由度轉子耦合擺裝置同步問題轉化為研究質體瞬時響應解的存在性和穩定性.然而,該系統受限于質體單一振動方向而不適用于實際篩分工程.所以文獻[18-19]更深入探討了多轉子耦合擺電機的多自由度振動同步特性,并引入相鄰交叉耦合控制策略實現系統的橢圓篩分軌跡和零相位控制同步.Zhang等[20-22]運用非線性動力學理論推導了多個同頻驅動轉子與圓柱滾子耦合的同步運動方程,并結合實驗平臺討論了滾子與轉子之間的同步傳動機理與動態特性.以上研究僅僅闡述了由相同激振器驅動振動機械的動力學理論,將它們應用到振動篩分工程后發現,物料的篩分能力并沒有得到顯著提升.主要原因是不同粒徑顆粒在單一頻率激勵下受到相同激振力作用,一旦形成篩網堵塞將會影響系統透篩率.而倍頻振動系統單周期內由于受到不同形式的激振力,物料運動更為活躍的同時有助于減小篩堵概率.

針對振動系統的雙頻同步行為已有學者做出一些試探性研究,以提高系統物料分級與篩分能力.Modrzewski 和Wodzinski[23-24]設計了3 種不同類型振動篩用于研究礦物廢棄物的分離特性,實驗對比表明雙頻系統的同步行為和篩選能力優于其他振動結構,但是缺乏振動系統的理論支撐.姚運仕等[25-26]則提出了一種采用單電機輪系傳動方式實現激振器兩種不同頻率的強迫同步,然而受激振器回轉振動和箱體振動的影響,輪系承受較大的沖擊載荷和慣性載荷容易引發齒輪疲勞失效.馮忠緒等[27]引入運動學微分方程闡述了雙頻振動篩的工作原理,卻并沒有對雙頻振動系統的模型做出修正,缺陷依然存在.因此,有必要采用雙頻激勵多電機自同步振動系統(激振器之間無強迫同步的輪系)來實現雙頻振動系統的同步運動,以提高振動篩的壽命與可靠性.根據振動系統的能量傳遞過程,文獻[28]引入Lyapunov一次近似理論從數學上證明了雙轉子二倍頻系統實現穩定同步運動是可行的,但忽視了結構參數變化對系統動力學特性和同步運動狀態的影響.Zou等[9,29]雖然根據同步性條件討論了遠共振系統中雙電機倍頻同步范圍,并從同步控制角度出發利用計算機仿真實現穩定零相位差控制同步,但是并沒有通過數值計算定量探討系統的內在耦合特性,同時缺乏實驗驗證其研究的正確性,無法全面揭示振動系統的雙頻同步機理.

綜上所述,現有研究對倍頻激勵雙轉子振動同步機理和動力學特性分析尚未明確,從而對系統的同步溯源缺少充分的理論依據.本文將圍繞倍頻振動系統的振動同步機理、同步特征參數定量計算、模擬仿真以及振動實驗測試四個方面展開研究.重點討論了轉子偏心質量、電機安裝位置、支撐彈簧剛度以及偏心半徑等參數對系統倍頻同步狀態的影響,通過實驗平臺對不同工況下的箱體以及轉子動力學特性進行深入比較與分析,驗證了倍頻振動同步理論研究的正確性,為研制新型非常規軌跡的振動機械提供了較好的理論依據.

1 數學模型及運動微分方程

為掌握電機驅動偏心轉子之間的倍頻同步運動機制,研究箱體沿各自由度的動力學響應,本節旨在推導出振動系統的運動微分方程.如下圖1 所示為倍頻激勵雙轉子振動系統力學模型.質量為m0的箱體與系統基座之間采用4 個壓縮彈簧進行彈性連接,其中彈簧元件沿x,y,ψ自由度的剛度系數分別考慮為kx,ky,kψ,阻尼系數fx,fy,fψ分別表征彈簧在能量釋放和吸收過程中沿x,y,ψ方向上的能量耗散.高頻激振電機(即二極感應電機1)和低頻激振電機(即四極感應電機2)固定安裝于箱體之上,分別以轉速(i=1,2)驅動質量為mi的偏心塊作同向回轉運動.將兩偏心塊等效為偏心距均是r的質點,可以看出振動系統所需的激振力是由轉子的離心運動產生.定義偏心塊i繞自身旋轉中心oi轉動的瞬時相位角為φi;箱體的瞬時擺動角為ψ;系統質心至電機軸i的安裝距離為li;直線oio″與坐標軸o″x″之間的夾角為βi.當兩電機在動態坐標系x″o″y″中同步運行時,固定坐標系xoy可通過圖2 的多自由度振動系統坐標轉換原則得到.

圖1 倍頻激勵雙轉子振動系統數學模型Fig.1 Mathematical model of the vibration system actuated with double-frequency and dual-rotor

圖2 坐標轉換原則Fig.2 Principle of coordinate transformation

當系統處于振動狀態時,高頻轉子坐標矩陣Φ1″和低頻轉子坐標矩陣Φ2″在動態坐標系x″o″y″中可分別描述為

動態坐標系x″o″y″固定于箱體之上,實時地跟隨系統作位移振動和擺動;移動坐標系x′o′y′可通過x″o″y″繞質心o″旋轉得到;固定坐標系xoy可通過移動x′o′y′得到.Φi和Φi″的坐標矩陣轉換方程為

式中,Φi為第i個轉子的固定坐標矩陣;[xy]T為系統質心沿x,y方向的幅值矩陣;K為變換矩陣.根據式(1)和式(2),獲得各轉子在平面xoy內的固定坐標

分析整個振動系統的能量轉化過程,由轉子驅動箱體產生的系統總動能E為

考慮各電機軸的摩擦系數分別是f1,f2,則由電機軸的摩擦轉動以及彈簧能量吸收和釋放過程中形成的系統總耗散能D為

倍頻激勵雙電機振動系統是一個完整系統,將系統的廣義坐標矩陣和各自由度的廣義力矩陣分別考慮為q=[xyψφ1φ2] 和Q=[0 0 0Me1-Re1Me2-Re2].同時引入下列廣義Lagrange 方程建立力學模型的運動微分方程[20]

在振動工程應用中,箱體的質量遠遠大于偏心塊的質量,即m0mi;箱體的擺動角度遠小于1,即ψ1.因此可以忽略由激振電機安裝誤差造成的耦合慣性矩,把倍頻激振器驅動的振動系統視為一個多自由度系統.將式(4)～式(6)代入方程(7),并考慮系統總質量M=m0+m1+m2,獲得倍頻激勵雙轉子振動系統動力學模型的運動微分方程

2 倍頻振動同步機理

2.1 系統各自由度響應近似解

式(8)是關于x,y,ψ,φ1,φ2的動力學耦合方程.若兩個轉子均以各自額定轉速同步振動時,激振電機作為系統驅動源同樣分別以角速度和運行.此時波動很小,可對運動微分方程中的角加速度忽略不計.為獲得方程的穩態強迫振動響應近似解,將系統參數分別替換為下列無量綱參數形式

采用復變函數規則求解[30],可推導出箱體的周期性幅值響應解為

式中,ρc1,ρc2分別是激振器1 和2 沿c方向的振幅放大因子; γc1,γc2分別是激振器1 和2 沿c方向的滯后相位角.

2.2 系統倍頻自同步準則

通過偏心塊間相位差的變化趨勢可反映出兩臺激振電機的同步特性,從而揭示振動系統的動力學特征.在同步振動過程中,以低頻電機的特性參數為基準,兩轉子的平均相位為φ=(φ1/2+φ2)/2.高頻轉子與低頻轉子的瞬時相位角可分別表示如下

在單頻激勵的振動系統中,其同步穩定性通過轉子間的真實相位差值表示.然而在倍頻激勵的振動同步系統中,真實相位差φ1-φ2=φ+3α0是一個關于時間t的函數,即φ1-φ2不穩定,無法用于揭示倍頻同步機理.因此,考慮到兩振動電機的轉速關系,可定義倍頻激勵振動系統的相位差為

依據修正的小參數平均法[10,20],雖然轉子平均角速度是一個與時間有關的慢變參量,但是當整個系統處于穩態同步振動時,依然可以視為在ωm附近周期性波動.以低頻轉子的運動特性為基準,將其最小正周期T作為時域上的積分區間,此時在T內積分應視為常數

引入擾動參數ε1與ε2分別表征與在瞬時狀態下的波動程度,可寫為

當系統達到同步振動時,偏心塊的轉速不產生變化,說明電機的負載轉矩近似等于電磁轉矩,即實際輸出轉矩與驅動轉矩達到動態平衡的狀態.而在能量傳遞和能量耦合振動過程中,電機的電磁轉矩值是時變的,需要通過轉子1 和2 在周期T內的微分運動方程的積分平均值來表征.因此先采用式(11)計算得到參數,然后將其代入方程(8)后兩式中并積分求平均,忽略擾動參數εi的高階無窮小項的影響,則兩轉子的運動平衡方程可以推導出

式中

式中,Mi是電機i的輸入轉矩;ki是電機i在額定轉速運行時的剛度系數;npi是電機i的磁極對數,np1=1,np2=2;Lmi和Lsi分別是電機i的互感系數和定子電感;Rri是電機i的轉子阻抗;Us是電機額定電壓;ωi是電機i的額定激振頻率;ωs是電網供電頻率.

重新整理方程(18),將其寫成與電磁轉矩有關的一階微分方程的矩陣形式

式中,方程(23)稱為振動系統耦合方程,反映了倍頻激勵下兩個偏心塊之間的耦合運動關系.P為與轉子加速度有關的慣性耦合矩陣;Q為與轉子角速度有關的剛度耦合矩陣;R為各電機軸上的電磁轉矩與負載轉矩之差.當激振器之間達到穩定的同步振動,擾動參數矩陣和的值與振動電機的激勵頻率相比可忽略,其變化量在T內的平均波動是零,即.將它代入耦合方程(23),兩電機軸間的平衡轉矩方程可以描述為通過分析方程(25)可以確定振動系統倍頻激勵下的自同步準則.第一式表示兩振動電機的電磁輸出轉矩之和,ωm(2f1+f2)表示兩振動電機軸上的摩擦力矩之和,其余項表示振動系統在倍頻激勵下的負載轉矩之和.因此第一式揭示了兩電機同步狀態下的電磁轉矩之和與激振器摩擦力矩以及負載轉矩的總和相等.方程(25)中第二式表示兩電機以各自額定激振頻率工作時的轉矩差分方程.高頻電機與低頻電機之間的電磁轉矩以彈性振動體為媒介相互傳遞,通過調節兩個轉子之間的瞬時相位差來平衡兩個電機輸出轉矩的差值,以保證高頻轉子與低頻轉子達到倍頻自同步狀態.根據上述差分方程并考慮相應的系統結構參數可以反解得到系統同步相位差值.另外Ws與Wc分別是與滯后相位γci(c=x,y,ψ;i=1,2)有關的正弦系數和余弦系數.由于箱體的支撐彈簧在各方向的相對阻尼系數ξc普遍較小,則存在于Ws中與滯后相位有關的正弦項可忽略.最后,方程(25)第二式可以進一步整理為

式中,Tri為電機i的剩余轉矩;Td為兩電機間的剩余轉矩之差;Tsyn為系統實現倍頻同步的同步轉矩.由式(27)可以看出,振動系統在倍頻激勵下的同步相位差值是由參數Td,Tsyn和θc共同確定的,而它們又依賴于激振器安裝在箱體上的位置結構、偏心質量大小、支撐彈簧剛度等一系列參數.因此振動系統的結構參數會對轉子的倍頻同步狀態產生影響.根據三角函數的有界性原則,獲得雙轉子倍頻同步運動準則為

作為實現倍頻同步振動的必要條件,兩臺電機之間輸出剩余轉矩差的絕對值不能超過系統達到倍頻同步的同步轉矩.兩臺激振器之間的同步轉矩越大,系統實現同步運行越理想,利用數值解法即可求出式(27)中倍頻激勵下的同步相位差.

為充分理解具有雙頻率激勵特點的系統同步能力,規定倍頻同步能力指數ξ

式中,ML=m2r2ωm2(2Ws1+Ws2/2+Wc0+Ws0),表示兩振動電機的最大負載轉矩.同步能力指數ξ反映了激振器所承受的最大負載轉矩與倍頻同步轉矩比值的絕對值.若ξ越趨近于零,系統獲得同步運動的可行性越大.

2.3 系統倍頻同步穩定判據

根據式(27)反解得出的相位差可能會存在多解的情況,其中哪一個值具有同步狀態的穩定性,使得系統能夠以二倍激勵頻率穩定地同步振動,需要利用Poincare-Lyapunov 方法確定[17].即考慮Pi存在一組特定參數,滿足下列n-1 階特征方程

若上述行列式的特征根δi(i=1,2,···,n-1)實部全部是負值,則參數的值具有唯一性,系統擁有周期性的穩態響應解;若所有特征根δi實部至少存在一個是正值,則系統的響應解是非穩態的;若所有特征根δi中部分實部是零并且其他根實部均是負值,則系統的響應解穩定性由中心流形定理界定.

結合式(18)和式(31),由倍頻激勵雙偏心塊的同步穩定判別式可寫為

轉子同步狀態的穩定性決定振動系統的動力學特性,各自由度的瞬態響應解的穩定性依賴于振動電機的安裝參數、支承彈簧的剛度系數和偏心質量等.系統參數同時滿足式(29)和式(32)的前提條件下,穩定的倍頻同步振動能夠獲得,即式(27)的穩態相位差具有唯一性.由于是一個負數,式(32)簡化為

3 數值計算與討論

第2 節以數學推導的方式詳細探究了倍頻轉子間的同步性與穩定性判據以及遠共振系統的動態耦合機理.可知,系統的同步運動特性主要取決于轉子的質量比、振動電機位置結構和彈簧剛度等參數.針對轉子同步狀態與系統各參數之間的關系,本節將運用數值計算對其進行定量的討論.分析結果為后續倍頻激勵雙轉子系統的機電耦合動力學模擬和同步特性實驗研究提供重要的理論依據.為便于計算,考慮兩電機安裝距離l1=l2=l,即rl1=rl2=rl.系統基本參數值如下:m0=92 kg,m1=2 kg,Jm=10 kg·m2,m2=2～ 3.5 kg (η2=0.02～ 0.035),β1=2π/3～5π/6 rad,β2=π/6～ π/3 rad,fx=fy=300～ 3000 N·s/m,fψ=50～ 500 N·m·s/rad (ξx=ξy=ξψ=0.03～ 0.5),kx=ky=1 × 103～ 2 × 107N/m,kψ=1 × 102～ 5 × 106N·m/rad (λx=λy=λψ=0.02～ 2.85),l=0～ 3.6 m (rl=0～ 12).

3.1 振動同步范圍分析

根據式(29),高頻轉子與低頻轉子之間的同步條件可以通過轉子輸出剩余轉矩差和系統同步轉矩的關系來反映.設安裝距離rl以及激振器質量比η12為自由變量,在轉子2 的不同偏心質量下出現同步運動的區域如圖2 和圖3 所示.當系統結構參數無法滿足同步運動準則時的非同步區域用黑色指示標記,藍色范圍表示系統在此狀態下可以出現同步振動.可見,倍頻激勵下雙轉子同步區域遠遠大于不適用于同步運動準則的區域.振動電機軸至系統質心的安裝距離與激振器質量比越大,兩電機之間更容易獲得倍頻同步運動.同時,隨著低頻轉子偏心質量的增加,雙頻振動系統的非同步范圍逐漸減小.由此可知,實現不同頻率之間同步振動的可行性受結構參數的影響.在實際工程應用中,通過選擇有效的系統參數,可以滿足振動系統不同的同步特性和工業要求.

圖3 倍頻激勵雙轉子振動同步范圍Fig.3 Synchronization region of two rotors driven by double-frequency

3.2 倍頻同步能力分析

按照式(30),已利用數值計算方法發現電機在箱體上傾角βi的變化不影響轉子倍頻同步能力,本小節不再討論.給定β1=120°,β2=60°,圖4 揭示了振動系統在不同轉子的偏心質量和偏心半徑下,振動電機的安裝距離對倍頻轉子同步能力指數的變化規律.可以看出,隨著低頻轉子質量參數η2的增大,系統同步指數將會逐漸減小.意味著增加低頻轉子的偏心質量有利于提高振動系統的有效激振力,兩電機通過箱體的彈性振動和能量傳遞使得轉子間的耦合量增加,從而提高系統的同步能力.同時,以rl=1附近為界線,左邊部分的同步指數對rl變化的敏感性程度明顯大于右邊,原因在于縮短電機旋轉中心至箱體質心的距離容易造成電機間用于平衡自身電磁轉矩達到同步狀態的可調節量不足.當rl＞ 1 時,ξ的變化幅度趨于平緩,并最終以很小的斜率無限接近于零值附近,表明箱體獲得倍頻同步振動的可行性也越來越高,該結果符合3.1 節的倍頻同步范圍分析.對比圖4(a)～4(d),顯示轉子的偏心半徑參數ro不影響系統同步指數的整體變化趨勢,只改變ξ在相應的ro和rl取值下的值域.另一方面,若β2=60°,ro=0.16 時,對于電機距離參數rl分別取1,3,5,7,質量參數η2分別為0.02,0.025,0.03,0.035 時,不同支撐彈簧剛度值對系統倍頻同步能力的影響如圖5所示.可見,由于振動系統具有兩個不同的激勵頻率,導致圖中共出現兩個共振區域,分別位于2.46 × 106N/m 和9.86 × 106N/m 附近.此時,系統各自由度的固有頻率和系統的外界激勵頻率接近,即系統處于近共振狀態,頻率比λx=λy=λψ=1,無法出現激振器穩定的倍頻同步狀態和箱體的周期性振動.

圖4 當β1=120°,β2=60°時的倍頻同步能力Fig.4 Double-frequency synchronization capacity with β1=120°,β2=60°

圖5 當β2=60°,ro=0.16 時的倍頻同步能力Fig.5 Double-frequency synchronization capacity with β2=60°,ro=0.16

3.3 倍頻同步轉矩分析

根據振動系統的轉矩差分方程(25) 第2 式和式(27),高頻電機與低頻電機通過箱體的彈性耦合以及動能、勢能與電能等能量之間的相互轉化,使得偏心塊以各自額定轉速同步驅動的同時,其電機軸上的電磁轉矩可以達到動態平衡.因此,振動系統的倍頻同步行為問題可以轉換為對電機轉矩與結構參數的關系研究.根據倍頻同步準則(29)與同步穩定判別式(33),倍頻同步轉矩參數Tsyn由常數和余弦系數Wc兩個因式組成,所以Wc不僅直接影響系統同步轉矩的變化,還決定系統同步運動狀態的穩定性,可將Wc等效為倍頻同步轉矩.已確定電機傾斜角βi的取值幾乎不影響系統倍頻同步轉矩.因此,如圖6 所示運用數值計算探究了不同轉子的偏心距和偏心質量下,位置參數rl與倍頻同步轉矩值的關系.可以看出,當rl=0 時,倍頻同步轉矩值同樣為零,此時不滿足式(29)和式(33),即兩電機無法實現倍頻振動.隨著安裝距離的不斷增加,Wc的值逐漸增大,表明轉子實現同步的能力越容易,這與3.2 節的研究結果相一致.另外假設rl不變,倍頻同步轉矩Wc的值將隨著轉子2 質量的增大而增加,說明在保證電機所能承受最大負載的前提下,適當增大低頻轉子的質量有利于提高系統的同步性.對比圖6(a)～6(d),討論了轉子的偏心半徑ro只會改變Wc在相應的ro和rl取值下的值域,并不會影響振動系統倍頻同步轉矩的整體變化趨勢.

圖6 當β1=120°,β2=60°時的倍頻同步轉矩Fig.6 Double-frequency synchronization torque with β2=60°,ro=0.16

3.4 雙轉子倍頻同步狀態分析

雙轉子倍頻同步運動狀態是由高低頻振動電機以及剛性箱體之間的耦合振動效應形成的,其值的穩定性決定了振動系統沿各自由度的位移響應和動力學特性,是評估系統同步振動的最重要數字特征.考慮不同的電機傾斜角βi,根據上述倍頻激勵雙轉子同步理論推導,電機位置結構參數rl、支撐彈簧剛度值kx和ky以及雙轉子相位差近似穩態值α之間的關系如圖7 所示,數值計算的正確性將在接下來的模擬仿真和實驗研究中得到驗證.關于機械系統振動類型可分為:系統1/λc＜ 0.9 時是亞共振系統;0.9 ≤ 1/λc≤ 1.1 是近共振系統;1.1 ≤ 1/λc≤ 3 是遠共振系統;1/λc＞ 3 是超遠共振系統[22].本文考慮系統的kx=ky,kψ可由kx和ky換算得到,kx和ky的取值范圍為1 × 103N/m ＜kx=ky＜ 2 × 105N/m,即頻率比1/λx=1/λy=1/λψ＞ 3.5,研究對象確定為超遠共振系統.由圖7 可知,當β1=150°,β2=30°時,隨著安裝距離rl的增加,實現倍頻振動的穩定同步狀態值α在剛度系數不變的情況下逐漸減小并最終趨于-1.55 rad 附近.同時,考慮rl為一常數,可見x和y方向彈簧剛度系數的增加幾乎不影響兩振動電機的穩態相位差值的變化情況.若改變兩振動電機的傾斜角度,即增加各電機的βi值,圖7(b)的同步狀態變化規律類似于圖7(a),但明顯兩倍頻激勵的轉子相位差的值域發生變化,此時系統同步狀態趨近于-1.96 rad 附近.另外圖7(c)和7(d)顯示轉子在不同的電機傾斜角βi下,其穩定同步狀態值分別鎖定在-2.32 rad 和-3.12 rad 附近.根據研究結果表明電機斜傾角βi的取值雖然不對振動系統的同步范圍、同步能力以及同步轉矩值產生影響,但是對倍頻轉子的同步行為具有一定的耦合作用.系統的激振力與同步運動特性依賴于不同相位差值所反映出的動力學特性,在工程中合理設計振動電機的安裝位置可以實現穩定的振動篩分.

圖7 倍頻激勵雙轉子相位差近似穩態值Fig.7 Double-frequency phase difference between the two rotors in steady state

4 計算機模擬與分析

為進一步論證倍頻激勵雙轉子振動同步理論分析的有效性,明確兩電機在倍頻激振源的驅動下各轉子與箱體的機電耦合動態特性,掌握系統倍頻振動同步機理,本節根據多自由度運動微分方程(8)建立了系統的機電耦合動力學仿真模型,如圖8 所示.采用Runge-Kutta 算法可求解轉子與箱體在超遠共振系統中的動態模擬結果.求解原理如下:圖中x,y,ψ方向的動力學方程模塊依次表示箱體質心沿水平方向、豎直方向以及擺動方向上,以加速度c″ (c=x,y,ψ)作為輸出信號的運動微分方程.同時,利用積分器分別對其進行一次與二次積分運算,獲取箱體沿c自由度瞬時速度c′和瞬時位移c.在高頻振動電機1 與低頻振動電機2 的運動方程中,分別以各自電磁轉矩Mei-Rei作為電機i仿真模型的輸入信號,進而輸出轉子i的角速度信號.并通過積分器和微分器分別對其進行一次微分和一次積分運算,獲取各轉子的瞬時角速度和瞬時相位角.最后,通過引入數據總線模塊連續將輸出信號繼續視為整個振動系統的初始值,并加入示波模塊以更加直觀地分析各輸出信號的運動特性.根據此原理,參照第3 節中的系統基本參數作為模型仿真參數,可實現由激振器和箱體之間的相互耦合所形成的倍頻同步運動,并針對系統的倍頻振動特性做出相應分析,包括:箱體各方向的運動學研究、轉子倍頻同步狀態研究、轉子同步穩定性研究以及振動電機的性能參數分析等.此外,兩振動電機均考慮為鼠籠式異步激振電機,電機模型的各電氣參數值如下:高頻電機額定功率0.12 kW,額定電壓380 V,工業電壓頻率50 Hz,額定轉速(激振頻率)314 rad/s,磁極對數1.低頻電機額定功率0.12 kW,額定電壓380 V,工業電壓頻率50 Hz,額定轉速(激振頻率)157 rad/s,磁極對數2.

圖8 倍頻激勵雙轉子振動系統機電耦合動力學仿真模型Fig.8 Electromechanical coupling dynamics simulation model of dual-rotor vibration system excited by double-frequency

4.1 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時的倍頻同步特性

考慮結構參數kx=ky=89 586 N/m,kψ=13 560 N·m/rad (λx=λy=λy=0.2),m2=3 kg (η2=0.03,η12=0.67),l=0.36 m (rl=1.2),系統倍頻同步特性模擬結果如圖9 所示.經過計算驗證,此組結構參數符合同步準則和穩定判別式.如圖9(a)所示,同時對高頻振動電機和低頻振動電機提供相同動力源,驅動各轉子作同向回轉運動.由于兩電機內部性能參數存在一定的差異,轉子1 到達額定轉速所消耗的時間相對轉子2 較長,導致兩電機在初始階段無法以相同轉速同步啟動,并且轉子1 的加速度略小于轉子2.可見低頻電機率先以152.3 rad/s 到達同步轉速狀態,大約運行2 s 后,高頻電機的穩態同步轉速為304.6 rad/s,此時系統逐漸獲得周期性振動.將各轉子的速度波動范圍與振動電機的實際運行速度相比較,前者遠遠小于后者,證明理論分析中將擾動參數看作慢變參量并考慮擾動參數矩陣是可行的.圖9(b)為振動電機的輸出扭矩情況,啟動階段時箱體質量較大而施加在激振器旋轉軸上的力矩較小,使得振動電機的輸出電磁轉矩主要依靠由動力源提供的驅動力而逐漸增大,并最終分別以7 N·m 和3.5 N·m 穩定在一個動態平衡的位置.此時,可以實現轉子由雙頻激勵的同步振動現象.高頻轉子和低頻轉子的自定義穩態同步相位差α近似鎖定在-0.63 rad(-264.52 ≈ -84π-0.63),如圖9(c)所示,仿真結果與圖7(a)的數值計算結果較為接近.由于該振動系統是一個平面驅動振動系統,振動電機激勵的轉子1 和轉子2 均在xoy平面內運動,沿xoy平面的垂直方向并無其他激振力.因此圖9(d)和9(e)顯示箱體僅在x,y與ψ自由度上存在位移響應,其幅值分別是1.2 mm,0.8 mm 和0.01 rad.在振動系統從靜止到同步運動狀態的過渡中,箱體因共振將存在短暫的混沌運動.然后隨著速度上升,其質心的穩定軌跡將會顯示為如圖9(f)所示的內“8”字型.

圖9 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時的仿真結果Fig.9 Simulation result when β1=150°,β2=30° and rl=1.2

圖9 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時的仿真結果(續)Fig.9 Simulation result when β1=150°,β2=30° and rl=1.2(continued)

4.2 β1=142°,β2=38°,rl=1 時的倍頻同步特性

改變電機位置參數并考慮kx=ky=89 586 N/m,kψ=13 560 N·m/rad (λx=λy=λy=0.2),m2=3 kg (η2=0.03,η12=0.67),l=0.31 m (rl=1),其他系統參數見數值計算部分,進一步論證機械模型的準確性,其倍頻同步特性模擬結果如圖10 所示.將結構參數代入振動系統兩個必要條件中進行理論計算,結果符合關于穩定相位差值的驗證標準.在零時刻同時對高頻電機和低頻電機提供激振源,從圖10(a)可知轉子1 的轉速上升趨勢明顯慢于轉子2,這是因為系統所采用的振動電機為一個二極異步電機和一個四極異步電機,各電機的電氣參數存在差異性,導致轉子在到達額定角速度過程中所需的角加速度值不一樣.運行2 s 之后兩轉子逐漸趨于穩態,其同步轉速分別維持在304.6 rad/s 和152.3 rad/s.同時可以看出,兩振動電機在穩態時的速度波動最大值僅為0.3 rad/s,遠小于振動電機的激勵頻率.另外,圖10(b)顯示為振動電機的輸出電磁轉矩.初始時刻由于箱體質量和支撐彈簧的剛度值均較大,造成箱體無法馬上激起振動響應.隨著運行時間增長,兩電機的輸出扭矩增大,并經過共振區后逐漸穩定在7 N·m 和4 N·m.系統處于穩定的倍頻同步運動狀態,圖10(c)反應轉子1 與轉子2 間的相位差α穩定在-1.32 rad(-265.21 ≈ -84π-1.32).與圖7(b)的理論值相比,計算結果在允許的誤差范圍內是吻合的.此外,圖2-圖10(e)揭示了箱體在雙頻激勵下可獲得穩定的周期性振動,各自由度的幅值分別確定為1.1 mm,0.6 mm 與0.008 rad.最后結合箱體質心沿x和y方向的穩態響應可以得到如圖10(f)所示的內“8”型穩態運動軌跡.

圖10 β1=142°,β2=38°,rl=1 時的仿真結果Fig.10 Simulation result when β1=150°,β2=30° and rl=1

5 實驗驗證

前文已對倍頻同步系統的理論推導、數值計算和計算仿真進行詳細的研究,但是研究成果能否應用于振動篩分工程中有待進一步證明.因此設計倍頻激勵雙轉子振動系統試驗樣機如圖11 所示.電機啟動時,機械裝置在電機激勵偏心塊的離心力作用下產生激振力,其中電機技術參數如表1 所示.箱體在彈簧能量吸收和能量釋放過程中發生位移振動和旋轉擺動.隨著兩電機的回轉速度比值逐漸以穩定的兩倍關系驅動偏心塊,基于箱體與電機間的彈性耦合效應,兩偏心塊將會以恒定相位差值做倍頻同步運動,此時箱體在各方向上做周期性振動.根據實驗樣機制定倍頻同步實驗測試方案,如圖12 所示.實驗平臺包括同步測試系統、實驗樣機和動態測試系統.首先,在動態測試過程中,測試點的振動信號由一系列加速度傳感器及時采集.然后通過信號放大器和數據處理系統進行分析得到信號的動態特性.其次,在同步測試過程中,通過高速成像系統準確捕捉高頻轉子與低頻轉子在瞬時狀態下的相位差,可以直觀地實現穩定同步運動的定量分析.最后將實驗圖像傳輸到計算機進行存儲和處理.

圖11 試驗樣機:1 二極振動電機;2 四極振動電機;3 偏心塊;4 電機座;5 鋼架;6 鎖緊螺栓;7 箱體;8 支撐彈簧;9 基座Fig.11 Experimental prototype:1 two-pole motor;2 four-pole motor;3 eccentric block;4 motor base;5 steel frame.;6 locking bolt;7 oscillating body;8 supporting spring;9 foundation support

表1 激振電機的技術參數Table 1 Technical parameters of the exciting motors

圖12 倍頻同步振動系統的實驗測試方案Fig.12 Experimental testing scheme of double-frequency synchronization vibration system

5.1 參數β1=150°,β2=30°,rl=1.2 的實驗結果

根據圖12 的實驗測試方案,得到參數β1=150°,β2=30°,rl=1.2 時的倍頻激勵雙轉子振動系統動力學響應和同步運動狀態,如圖13 和圖14 所示.此組結構參數下,系統動力學響應根據兩種不同激勵頻率疊加所產生的波形可視為近似穩定的周期振動.箱體沿水平方向的位移單幅值穩定在1.1 mm;同時振動系統的沿豎直方向位移響應測得0.65 mm.為實現同向回轉雙轉子倍頻同步振動,箱體不僅必須具有穩定的幅值響應,還需要兩激振電機獲得同步運動,這依賴于偏心轉子相位差的穩定性.如圖14所示,利用高速成像系統精確記錄不同瞬時狀態的偏心轉子位置.實驗測試結果分析表明倍頻同步相位差α基本穩定在-39°～ -35°(即-0.68～ -0.61 rad),波動范圍很小.與數值分析和計算機模擬結果對比如表2 所示,確定該工況下的同步狀態實驗最大誤差為9%,符合振動篩分工程的誤差允許范圍.整個機電耦合系統的動能,勢能和電能在同步運行過程中可以產生穩定的動態平衡,所提出的機械模型能夠成功實現倍頻同步運動.

圖13 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 的位移響應Fig.13 Displacement responses with β1=150°,β2=30°,rl=1.2

圖14 β1=150°,β2=30°,rl=1.2 的同步運動狀態:(a)～ (f) 分別為轉子瞬時相位差Fig.14 Synchronous motion state with β1=150°,β2=30°,rl=1.2:(a)～ (f) the instantaneous phase differences between rotors

表2 動力學響應的理論、仿真和實驗對比結果Table 2 Comparison results among the theories,simulations and experiments of the dynamic responses

5.2 參數β1=142°,β2=38°,rl=1 的實驗結果

結合實驗平臺和理論推導,重新考慮電機安裝位置參數β1=142°,β2=38°,rl=1,再次研究了實驗系統的機電耦合穩態同步行為,如圖15 和圖16 所示.運用加速度傳感器測得實驗測試點沿水平方向的加速度響應,并在振動分析儀中將加速度值對時間二次積分得到測點的位移振幅為1 mm.同理,對振動系統的豎直方向位移響應測得0.4 mm.此外,系統6 個不同瞬態的偏心轉子位置被高速攝像機準確捕捉.經過對倍頻同步狀態的分析與計算,得出不同瞬態的轉子相位差值α≈ -79°～ -74°(即-1.38～-1.3 rad).理論、仿真和實驗對比結果如表3 所示.無論是箱體的動力學響應還是轉子間的同步狀態,實驗測試結果與理論推導,計算機仿真結果基本一致,并且同步狀態的絕對誤差為3.3%,進一步論證了倍頻激勵雙轉子振動系統的可行性和正確性.造成波動誤差的原因歸納為:從振動質體的角度出發,機械裝置施加在電機軸上的負載具有可變性和非均勻性,這是由于激振電機與箱體之間的耦合作用以及振動系統質量分布的不均勻造成的;從激振器的角度出發,實驗測試環境的溫度和濕度變化對感應電機的各項電氣參數會有一定的影響,比如電機內部轉子和定子的電感系數,阻抗系數,互感系數等.

圖15 β1=142°,β2=38°,rl=1 的位移響應Fig.15 Displacement responses with β1=142°,β2=38°,rl=1

圖16 β1=142°,β2=38°,rl=1 的同步運動狀態:(a)～ (f) 分別為轉子瞬時相位差Fig.16 Synchronous motion state with β1=150°,β2=30°,rl=1:(a)～ (f) the instantaneous phase differences between rotors

表3 動力學響應的理論、仿真和實驗對比結果Table 3 Comparison results among the theories,simulations and experiments of the dynamic responses

6 結論

本文通過以上理論推導,數值計算,仿真研究以及實驗驗證詳細揭示了倍頻激勵雙轉子振動系統的自同步機理和動態特征.重要結論概括如下:

(1)系統倍頻同步條件可表征為兩臺激振器之間輸出剩余轉矩差的絕對值不能超過倍頻同步轉矩值,穩定性判據可通過一個與倍頻同步轉矩和同步相位差有關的判別式反映;

(2)系統的倍頻同步特性主要依賴于安裝位置,激振器的偏心質量,支撐彈簧剛度值以及偏心半徑等參數.倍頻同步能力隨著安裝距離的不斷增加而逐漸接近于零值附近,電機間用于平衡電磁轉矩達到同步狀態的耦合量增大,系統獲得倍頻同步振動的可行性越來越高;

(3)系統的倍頻穩態相位差值在單周期內隨著電機位置參數的增大而逐漸趨于平緩,直至系統同步狀態不再受到安裝距離變化的影響.另外電機傾角不影響同步狀態的整體變化趨勢,只改變相位差的值域,系統同步狀態在計算模擬與實驗研究中得到驗證;

(4)與常規同頻系統不同,倍頻激勵雙轉子振動系統穩態質心運動軌跡顯示為內“8”型,為研制新型非常規軌跡的振動機械提供了較好的理論依據.