基于內聚力模型的鋼筋混凝土梁斷裂模擬

胡 響，武 杰*，張寶虎

(1.河北工業大學土木與交通學院，天津 300401；2.天津市公路工程總公司，天津 300401)

目前，橋梁作為中國公路與鐵路中的重要組成部分，在經濟和國防中的地位和作用也越來越突出。隨著使用時間的不斷延長，材料出現損傷和老化等問題，導致橋梁結構開裂。裂縫的存在直接影響結構的安全性[1]。通過數值模擬的方法來模擬鋼筋混凝土橋梁的裂紋擴展和計算橋梁結構的承載力，對于現役橋梁的安全狀態評估有著非常重要的意義。

有限元法作為當前數值模擬的主流方法之一，對解決復雜的工程分析計算問題提供了有效的途徑[2]，以有限元為框架發展起來的混凝土斷裂模擬方法主要有離散裂縫模型和彌散裂縫模型。文龍飛等[3]提出的改進型擴展有限元法雖然解決了傳統擴展有限元法中總體方程高度病態[4]和計算收斂性問題，但是仍然沒有解決擴展有限元法不能多裂縫聯合擴展問題[5-6]。彌散裂縫模型通過降低單元剛度直至為零，來達到模擬開裂的效果。損傷在裂縫區的影響會由于網格的大小和方向的不同而造成不同程度的彌散，模擬鋼筋混凝土結構中的裂縫效果與真實裂縫存在差異[7]。Molnar等[8]利用魯棒交錯方案使傳統相場理論在ABAQUS上得到實現，解決了計算裂縫擴展需要單獨的標準框架與斷裂準則問題；Wu等[9]提出的統一相場理論，解決了傳統相場理論基于牛頓法的單塊算法[10-11]在求解耦合控制方程時的性能問題以及計算混凝土裂縫擴展誤差過大的現象，但由于裂紋帶內損傷分布所需的精細分辨率，該方法計算成本過大，使得該方法局限于理論和小規模問題[8，12]。

近年來，中外學者利用內聚力模型對細觀混凝土結構[13-14]的開裂過程進行了大量的研究，這些都是基于細觀層次對素混凝土模型的研究，而對鋼筋混凝土梁的開裂過程研究較少。現通過內聚力模型對鋼筋混凝土梁的開裂過程進行數值模擬，并分析其受力特性和裂紋擴展情況。

1 內聚力模型

1.1 基本理論

黏聚裂紋模型假設在真實裂紋尖端前存在一個斷裂過程區，該區域在斷裂過程中發生能量耗散。圖1為法向牽引力tn與裂紋張開位移δn的關系曲線圖。剪切牽引力(ts和tt)-裂紋滑動位移(δs和δt)關系也可以定義類似的牽引分離曲線。

圖1 雙線性內聚應力-相對位移關系Fig.1 Bilinear cohesive stress-relative displacement

采用雙線性內聚力模型，可以將混凝土的斷裂過程分為3個階段。

(1)彈性階段。在裂紋開始前，假設線彈性上升階段來模擬初始無裂紋混凝土材料，材料剛度為kn0。隨著相對位移的增加，應力呈線性關系增長，直到達到初始的損傷條件。

(2)軟化階段。當拉應力達到最大值tn0(相對位移達到δ0)后，內聚力tn隨著相對位移δn的增加而線性減小。直到為零。

(3)剝離階段。當最大有效相對位移達到δnf時，隨著相對位移繼續增大，內聚力始終為零。

采用二次名義應力準則作為初始損傷準則。當各方向名義應力比的平方和等于1時，表示材料開始出現損傷，表達式為

(1)

式(1)中：tn、ts和tt分別為法向、切向的應力；〈〉為Macaulay括號。

黏聚裂紋模型是基于損傷力學為框架的，采用的損傷系數D(D[0,1])來描述黏聚單元達到強度后的損傷程度，損傷系數D是有效相對位移δm的函數，表達式為

(2)

式(2)中：δn、δt、δs分別為法相、切向的相對位移，表示為

(3)

損傷系數表示為

(4)

式(4)中：δm,max為在加載過程中的最大有效相對位移；δm0和δmf分別為損傷起始和完全破壞時的有效相對位移。損傷系數D在開始損傷后再加載時，從0單調增加到1；當D=0時，材料未損傷；當D=1時，材料損傷失效。剛度kn、ks和kt可以計算為

(5)

相應的應力表示為

(6)

1.2 內聚單元的插入

如圖2所示，Cohesive單元能夠與正六面體單元兼容，用于六面體實體單元的材料模型與用于內聚單元的材料模型是相互獨立的。基于ABAQUS有限元軟件平臺，利用開發的Python程序，在模型中插入Cohesive單元，允許裂紋在插入了Cohesive的區域中自由擴展，解決了裂紋的擴展路徑需要預先設置的問題。

圖2 嵌入內聚單元前后的有限元網格Fig.2 Finite element mesh before and after cohesive element embedding

2 素混凝土數值模擬

混凝土是由多種材料復合而成的非線性材料，其特征是裂紋擴展，而鋼筋的變形是塑性的，導致鋼筋混凝土的非線性行為非常復雜，難以精確模擬，特別是混凝土中裂紋的萌生和擴展問題。為了探究內聚力模型在素混凝土中的適用性，分別先對帶缺口的三點彎曲梁試驗與L型板試驗進行模擬。

2.1 帶缺口的三點彎曲梁

為了驗證內聚力模型的適用性，接下來考慮用文獻[15]的帶缺口三點彎曲梁實驗，梁跨中處F為施加的荷載。如圖3所示：構件長度為450 mm，寬度為100 mm，厚度為100 mm，在梁跨中預制50 mm×5 mm的長方形缺口，F為荷載。材料參數取自文獻[15]的實驗數據，彈性模量E0=2.0 ×104MPa，泊松比v=0.2，抗拉強度ft=2.4 MPa，斷裂能Gf=0.113 N/mm。

圖3 幾何形狀、荷載和邊界條件Fig.3 Geometry load and boundary conditions

模型中的內聚力單元采用雙線性本構關系，單元網格沿著梁長方向均勻加密，最大網格尺寸為10 mm，最小網格尺寸為2 mm。網格在模型的中部進行局部的加密，如圖4所示。

圖4 有限元網格Fig.4 Finite element mes

用內聚力模型數值模擬的結果如圖5所示，在Wu[16]的工作中，利用相場理論模擬的結果如圖6所示，當SDV=1時，表示出現裂縫。結果表明，裂紋路徑是一致的，都是從梁的跨中部位開始斷裂。

圖5 用內聚力模型預測裂紋的路徑Fig.5 Prediction of crack path using cohesion model

圖6 用相場理論預測裂紋的路徑Fig.6 Predicting crack paths using phase field theory

如圖7所示，通過數值模擬與試驗的荷載位移曲線對比，其計算結果與實驗結果吻合較好。由于離散化的誤差，荷載峰值和能量耗散被高估。

圖7 荷載位移關系曲線Fig.7 Load-displacement relation curve

2.2 L型混凝土板的混合破壞模式

通過一個三點彎曲梁的試驗與模擬對比，驗證了混凝土的Ι型斷裂，下面通過Wu[16]的L型板的混合失效模式試驗，來驗證內聚力模型在混合失效模式中的情況。試件的底部是固定的，垂直荷載在距離水平右邊緣30 mm處向上施加，幾何形狀與邊界條件如圖8(a)所示，厚度為100 mm，材料參數：彈性模量E0=2.0 ×104MPa，泊松比v=0.18，抗拉強度ft=2.7 MPa，斷裂能Gf=0.09 N/mm。

圖8(b)所示為有限元網格劃分，對可能出現裂紋的局部區域，進行網格加密處理。

由圖9可以看到，對于混合破壞失效的情形，內聚力模型仍然能很好地預測裂紋路徑的產生和擴展，裂紋的擴展路徑與試驗的結果基本一致。

圖9 L型板混合失效圖Fig.9 Mixing failure diagram of L-shaped plate

在圖10所示的荷載位移曲線中，內聚力模型與試驗的數據吻合較好，從混凝土的混合破壞失效模式的對比結果來看，內聚力模型適合預測混凝土結構的失效破壞。

圖10 荷載-位移曲線Fig.10 Load-displacement curve

3 鋼筋混凝土梁數值模擬

根據上述對于素混凝土結構模擬結果來看，對于混凝土材料的Ι型斷裂和混凝土結構的混合斷裂模式，內聚力模型的模擬結果與試驗結果比較吻合。在此基礎上展開對鋼筋混凝土梁的模擬。

以那麗巖[17]完成的鋼筋混凝土簡支梁試驗為原型，鋼筋混凝土梁的尺寸及加載方式如圖11所示，左邊支座約束x方向、y方向和z方向，右邊支座約束y方向和z方向，在簡支梁三分點位置處施加荷載。構件配筋形式見圖12。

圖11 梁的尺寸及加載方式Fig.11 Size and loading mode of beam

圖12 簡支梁配筋詳圖Fig.12 Detailed drawing of simply supported beam reinforcement

構件中鋼筋采用理想彈塑性模型，未達到屈服強度前處于完全彈性階段，屈服后應力應變關系簡化為一條水平直線，鋼筋參數來自文獻[17]，其彈性模量Es=210 GPa,泊松比v=0.3，抗拉強度fy=457 MPa。模型中混凝土采用C3D8R楔形單元，鋼筋采用T3D2桁架單元，Cohesive單元類型采用COH3D8，鋼筋與混凝土采用分離式建模，鋼筋與混凝土保持共同協調變形。混凝土材料參數見表1。

表1 混凝土材料參數Table 1 Concrete material parameters

圖13所示為試驗的鋼筋混凝土梁裂縫分布圖，圖14為內聚力模型模擬三維鋼筋混凝土梁的斷裂過程圖。開始施加荷載時，由于所受的彎矩和力較小，鋼筋混凝土梁未出現開裂，從彎矩-撓度曲線可以看出，梁整體表現為彈性變形特征，荷載-撓度曲線近似為一條直線。隨著荷載的繼續增加，當鋼筋混凝土梁跨中的撓度達到1 mm附近的時候，跨中受拉區出現開裂[圖14(a)]，在圖15的彎矩-撓度曲線中出現一個明顯的轉折點，這與文獻[22]中描述的試驗結論是一致的。在梁的跨中區域出現垂直裂縫后，隨著荷載的增加，構件整體變形較為穩定，裂縫條數逐漸增多，垂直裂縫高度穩定增長。在梁跨中的垂直裂縫擴展到一定程度時[圖14(b)]，鋼筋混凝土梁開始出現斜裂縫，隨著荷載的繼續增加，跨中垂直裂縫增長緩慢，斜裂縫穩定增長,直到受拉鋼筋出現屈服[圖14(c)]。

圖13 鋼筋混凝土梁裂縫分布圖[17]Fig.13 Crack distribution of reinforced concrete beams[17]

圖14 鋼筋混凝土梁斷裂過程圖Fig.14 Fracture process diagram of reinforced concrete beams

圖15 鋼筋混凝土梁跨中彎矩-撓度曲線Fig.15 Mid-span bending moment-deflection curve of reinforced concrete beam

4 結論

提供了一種模擬鋼筋混凝土梁斷裂擴展的方法，通過對混凝土區域插入粘結單元，實現鋼筋混凝土梁的三維裂紋擴展模擬。主要結論如下。

(1)通過對帶缺口的三點彎曲梁和L型混凝土板的模擬結果來看，提供的方法能較好地模擬出素混凝土結構有預制裂紋和沒有預制裂紋兩種情況下的裂紋擴展。同時對于素混凝土的Ι型斷裂和混合型斷裂的模擬效果較好。

(2)通過對鋼筋混凝土梁的數值模擬，該方法不僅可以模擬鋼筋混凝土梁的荷載-位移響應，而且可以模擬與試驗觀察到的破壞模式相對應的三維斷裂行為。

(3)雖然該方法模擬的鋼筋混凝土梁斷裂過程與試驗的結果較為一致，但是該方法模擬的裂紋擴展特性，如裂紋長度和寬度，還需要與試驗相比較，進行定量驗證，這也是研究的下一步內容。