以問促思，讓學生思維向深處漫溯
——基于一道思考題的教學片段與思考

江蘇省蘇州市楓橋中心小學 韓雅琴

2014 年版的蘇教版小學數學教材增加了一些思考題，這些思考題與必學知識聯系，按學生年齡的大小、接受能力的差異循序漸進、螺旋上升地分散在各冊教材中。思考題的設置旨在讓學生在解決具有一定挑戰性和綜合性的問題中提高學習興趣，開拓數學思維，發展數學能力。

蘇教版教材五年級上冊“多邊形的面積”整理與練習中有這樣一道思考題：

在方格紙上畫一個三角形和一個梯形，通過剪、拼分別把它們轉化成平行四邊形。你能根據轉化成的平行四邊形與原來圖形的關系，推導出三角形和梯形的面積公式嗎？

此題旨在讓學生通過剪、拼等操作活動，探尋用不同的方法推導三角形和梯形的面積公式，促使學生深化理解三角形和梯形的面積公式，鍛煉思維的靈活性和開放性。教學此題時，如何有效激活學生的思維，引領學生的思維向更深處漫溯呢？筆者進行了如下教學嘗試和思考。

片段一：問題引導，點燃思維火花

首先，教師提問：“三角形和梯形的面積是怎樣算的？”

學生說道：三角形面積＝底×高÷2；梯形面積＝（上底+下底）×高÷2。

接著，教師問道：三角形和梯形的面積公式是怎樣推導出來的？

學生說道：把兩個完全相同的三角形通過旋轉和平移拼成一個平行四邊形。因為拼成的平行四邊形的底和高分別等于三角形的底和高，所以每個三角形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半。同樣，把兩個完全相同的梯形通過旋轉和平移拼成一個平行四邊形。因為拼成的平行四邊形的底等于梯形的“上底+下底”，高等于梯形的高，所以梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半。

教師又追問：三角形和梯形的面積公式推導過程有什么相同之處嗎？

學生交流討論后說道：都是先用“兩個”完全相同的三角形或梯形拼成一個平行四邊形，然后根據平行四邊形的面積公式推導出三角形或梯形的面積公式。

教師又引導學生思考：如果只有一個三角形或一個梯形，能通過剪、拼分別把它們轉化成平行四邊形嗎？根據轉化成的平行四邊形與原來圖形的關系，能推導出三角形和梯形的面積公式嗎？

【思考】教育心理學家奧蘇泊爾說過：影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據此進行教學。此題的知識基礎是三角形和梯形的面積計算公式推導和計算方法。據此，教師層層遞進地提出三個問題：①三角形和梯形的面積是怎樣算的？②三角形和梯形的面積公式是怎樣推導出來的？③三角形和梯形的面積公式推導過程有什么相同之處嗎？通過這組問題促使學生充分調動已有的認知儲備，主動回顧三角形和梯形的面積公式及推導過程，思考圖形面積公式推導中的相同之處。這樣的問題有助于喚醒學生的已有經驗，激發學生的興趣，激活學生的思維。隨后，教師又適時拋出新的問題，引發學生思考，自然而然地將學生引入到新的探究學習活動中。

片段二：問題引探，拓寬思維空間

活動與思考：

1.畫一畫：在方格紙上任意畫一個三角形并剪下來。

2.剪一剪、拼一拼：把一個三角形剪拼成平行四邊形。

3.想一想：剪拼成的平行四邊形與原來圖形的關系，并推導三角形的面積公式。

學生演示剪拼過程，并說明推導方法。

方法一： 沿著三角形左右兩條邊的中點剪開，然后旋轉上面的小三角形，與下面的梯形拼成一個平行四邊形。剪、拼后的平行四邊形的底和面積分別與原來三角形的底和面積相等，高是原來三角形高的一半。所以，三角形面積＝平行四邊形面積＝底×（高÷2）＝底×高÷2。

方法二：沿著三角形底邊上的中點和另一條邊的中點剪下一個三角形，旋轉后拼成一個平行四邊形。剪、拼后的平行四邊形的高和面積分別與原來三角形的高和面積相等，底是原來三角形的一半。所以，三角形面積＝平行四邊形面積＝（底÷2）×高＝底×高÷2。

教師引導學生思考：兩種不同的剪拼方法，有什么相同之處？

學生組織交流后說道：轉化成的平行四邊形的面積不變，底或高變成了原來三角形底或高的一半。

教師組織學生繼續探究梯形面積公式的推導方法。學生演示剪拼過程，并說明推導方法。

方法一： 沿著梯形兩條腰的中點剪開，旋轉上面的小梯形，與下面的梯形拼成一個平行四邊形。剪、拼后平行四邊形的面積沒有變，底等于原來梯形的“上底+下底”，高是原來梯形的一半。所以，梯形面積＝平行四邊形面積＝（上底+下底）×高÷2。

方法二： 在一個等腰梯形的底邊上剪下一個小三角形，旋轉后與五邊形拼成一個平行四邊形。這個平行四邊形的面積和高都沒有變，底等于原來梯形“上底+下底”的一半。

教師引導學生思考：新的推導方法和之前的有什么相同和不同？

學生說道：相同點是都運用了“轉化”的方法。通過剪、拼，把三角形或梯形轉化成了平行四邊形，然后根據平行四邊形的面積公式推導出三角形和梯形的面積公式。不同點是用兩個圖形拼，底和高不變，拼成的平行四邊形面積是原來圖形面積的2 倍。而用一個圖形剪拼，面積不變，拼成的平行四邊形的底或高是原來的一半。

教師強調：“轉化”是數學學習中常用的一種方法。通過轉化，可以把陌生的問題變成熟悉的問題，把復雜的問題變成簡單的問題，把抽象的問題變成具體的問題……從而使問題得到解決。

最后，教師提問：在這次探究活動中，你們有什么新的收獲嗎？

【思考】在學習三角形和梯形面積時，雖然學生能準確說出它們的面積計算公式，但對于公式中的“÷2”以及三角形、梯形與轉化成的平行四邊形之間的關系理解不深，在解決相關問題時容易混淆、出錯。課上，教師給學生提供了充分的時間和空間，引導學生利用原有的學習經驗，通過“畫一畫”“剪一剪”“拼一拼”“想一想”等活動，自主探索和推導三角形和梯形的面積計算公式，讓學生的思維得到了充分地發散，打破了原有轉化方法的“狹隘”。隨后，又在同伴的相互交流、相互補充中明晰了三角形和梯形面積公式中為什么要“÷2”。進而，在“新的推導方法和之前的有什么相同，又有什么不同？”這一問題的引領下，啟發學生進一步思考不同轉化方法之間的聯系與區別，幫助學生深化對于三角形和梯形面積計算公式的理解。

片段三：問題引思，挖掘思維深度

教師引導學生思考：通過探究，我們發現三角形、梯形的面積與平行四邊形面積之間有著密切的聯系。那么，它們之間到底有著怎樣密切的聯系呢？

多媒體動態演示：一個梯形，用字母a、b、h 分別表示它的上底、下底和高。然后慢慢移動梯形下底的一個頂點，使梯形的下底長度連續發生變化。

接著提問：通過觀察，你有什么發現嗎？

學生討論后說道：當梯形的下底縮短成一個點（即b=0）時就變成了三角形，此時梯形的面積公式就變成了S=(a+0)h÷2=ah÷2，也就是三角形的面積公式。當梯形的下底與上底一樣長（即b=a）時就變成了平行四邊形，此時梯形的面積公式就變成了S=(a+a)h÷2= ah，也就是平行四邊形的面積公式。

通過交流，學生認識到：只要記住梯形的面積公式就能推導出三角形和平行四邊形的面積公式。梯形的面積公式是一個“萬能”公式，用梯形的面積公式可以計算出之前學過的所有平面圖形的面積。

【思考】通過前面的探究學生已經掌握了平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式，知道它們之間是有聯系的，但這種認識是淺層次的，只是知道三角形和梯形可以轉化成平行四邊形，三角形和梯形的面積等于轉化成的平行四邊形面積的一半。課上，教師以“它們之間到底有著怎樣密切的聯系呢？”這一問題把學生的思維引向深入。隨后，教師借助幾何畫板進行動態演示梯形與三角形、平行四邊形之間的變換過程，讓學生直觀、形象地看到了圖形間的神奇變換。在認真觀察、深入思考后，學生發現了平面圖形面積計算公式間的內在聯系，并且有了“梯形的面積公式是一個‘萬能’公式”這一新的收獲。

總之，思考題是課堂教學的補充與深化，在教學中，教師要結合思考題的趣味性、思考性和綜合性等特點精心設計問題，以問題激發學生的學習熱情，促使學生積極主動地參與探究活動，引領學生的思維從單一走向多元、從淺層走向深入，從而實現學生思維能力的提升。