大圓航線可執(zhí)行航向的自動化建模計算?

王書曉 黃 謙 李 偉

（海軍大連艦艇學(xué)院 大連 116018）

1 引言

在大洋航行中，采用大圓航線可以大幅縮短航程，提高人員物資投送效率。據(jù)粗略測算，由于全球變暖，北冰洋的海冰正加速消融，在不遠(yuǎn)的將來北極航線將完全開通［1］，恒向線航線的效率、適用程度大大降低，大圓航法將大有用武之地［2］。航海自動化的高速發(fā)展要求大圓航線設(shè)計的快速化和準(zhǔn)確化，為了提高遠(yuǎn)洋艦艇的航海保證能力，大圓航線可執(zhí)行航向的自動化計算成為一項重要的時代課題。

2 大圓航線執(zhí)行原理

根據(jù)地圖投影原理，大圓航線在用于保障航行的墨卡托海圖上是一條弧線，如圖1弧AB所示，除非與經(jīng)線或赤道重合，大圓航線上各點與經(jīng)線的交角均不相等，也就是說，大圓航線上各點的航向是變化的，艦艇若想要嚴(yán)格沿大圓航線航行，必須不斷改變航向，駕駛操縱甚為不便。因此，在航海實踐中，通常是按照一定原則把大圓航線分段，在各分點之間沿恒向線航行，即以多條恒向線連接而成的折線來近似代替大圓航線，分為切線法和弦線法兩種，如圖1中實線所示，即為實際執(zhí)行的恒向線航線。

2.1 切線法

如圖1中折線A-C-D-E-F-B所示，艦艇在起航點A以大圓航向作為恒向線航向航行，航行一定航程之后到達(dá)新的轉(zhuǎn)向點C，艦艇必然偏離了原大圓航線一定距離，此時以C作為新的大圓航線起點重新計算從C到B的大圓航向，再作為恒向線航向航行，依此類推，直至到達(dá)終點。切線法主要解決兩個問題：

圖1 大圓航線實際執(zhí)行原理示意圖

1）初始大圓航向計算；

2）以大圓航向作為恒向線航向采用恒向線航法計算到達(dá)點坐標(biāo)。

2.2 弦線法

如圖1中折線A-H-I-J-K-B所示，通常按經(jīng)度間隔5或10，或按大約一晝夜的航程，在大圓航線上確定若干個分點作為轉(zhuǎn)向點，艦艇沿相鄰兩分點間的恒向線航行。弦線法主要解決的問題是：

1）按經(jīng)差或航程間隔對大圓航線進(jìn)行分段時分點坐標(biāo)的計算；

2）分點之間采用恒向線航法計算航向航程。

無論采用何種方法，初始大圓航向的計算和弦線法分點坐標(biāo)的計算是大圓航線自動化計算中的瓶頸問題。

3 基本參數(shù)計算

地球的實際形狀很不規(guī)則，在航海上通常取旋轉(zhuǎn)橢球體或圓球體作為地球的近似體進(jìn)行數(shù)學(xué)計算，由于大圓航線航程較長，一般可達(dá)數(shù)千海里，橢球體曲率的影響相對較小，因此在進(jìn)行大圓航線計算時，可把地球看作圓球體，運用球面三角形公式進(jìn)行大圓航線的解算。

3.1 大圓航法三角形基本要素

在球面上，由三條大圓弧所圍成的球面圖形稱為球面三角形，三條邊和三個角均大于0°、小于180°的球面三角形稱為歐拉三角形，也就是航海上所用的球面三角形［3］。在大圓航法中使用的歐拉三角形，是過地球表面A、B兩點的經(jīng)線與連接A、B兩點的大圓劣弧所圍成的球面三角形，如圖2中三角形PNAB，其中連接A、B兩點的大圓劣弧即為A點到B點的大圓航線。

3.2 大圓航程計算

如圖2所示，在球面三角形PNAB中，由于已知啟航點A和到達(dá)點B的經(jīng)度、緯度，可知［4］：邊PNA的長度等于A點的極距90°-j1，邊PNB的長度等于B點的極距 90°-j2，角 APNB 等于 A、B 兩點的經(jīng)差?λ，兩點之間的大圓航程時也就是AB邊的長度，可采用球面三角形的“余弦公式”計算［5］：

圖2 圓球體面上的大圓航線示意圖

式中：φ1為A點緯度，φ2為B點緯度，規(guī)定北緯為“+”，南緯為“-”；?λ為經(jīng)差，規(guī)定東經(jīng)為“+”，西經(jīng)為“-”，D為大圓航程。

3.3 初始大圓航向解算

初始大圓航向是指大圓航線在A點的切線與經(jīng)線的夾角，也就是地球表面過A點的經(jīng)線與AB間大圓航線這兩個大圓弧所在平面所夾的二面角，因此可利用“余切公式”根據(jù)出發(fā)點緯度、到達(dá)點緯度、兩點間經(jīng)差求得A點的初始大圓航向：

其中：C為初始大圓航向。

在計算機(jī)編程中，反余切函數(shù)值范圍為-90°～90°，計算結(jié)果需轉(zhuǎn)換為圓周航向，較為繁瑣，而大圓航線與恒向線航線不同，恒向線航線計算時可以根據(jù)兩點間經(jīng)差和緯差來判斷航向所在象限，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為圓周航向。在大圓航線上，緯度的變化規(guī)律比較復(fù)雜，不能用緯差來判斷航向所在象限，需借助人工判斷，為克服此項弱點，模型引入“正弦公式”進(jìn)行計算：

由于大圓航程D是個未知量，需通過計算獲得，不但徒增計算誤差，而且無法判斷航向所在象限。可以考慮用余切函數(shù)的絕對值來求出象限法航向值，同時根據(jù)航向的余切值和正弦值來判斷航向所在象限，規(guī)則是：

若ctgC、sinC均為正，為NE象限；

若ctgC、sinC均為負(fù)，為NW象限；

若ctgC為負(fù)、sinC為正，為SE象限；

若ctgC為正、sinC為負(fù)，為SW象限。

以上判斷方法全球適用。

4 分點坐標(biāo)計算模型

傳統(tǒng)的分點坐標(biāo)計算方法巧妙運用了球面直角三角形計算簡便的特點，利用大圓航線頂點來計算分點坐標(biāo)［6］，降低了三角函數(shù)計算難度，具有很大的實踐優(yōu)越性。但是，計算步驟過多，需要首先計算頂點坐標(biāo)才能求得分點坐標(biāo)，而且不能根據(jù)航程間隔進(jìn)行分點。為了適應(yīng)航海自動化的發(fā)展，需要建立更有利于計算機(jī)編程實現(xiàn)的分點坐標(biāo)計算模型［7］。

4.1 按經(jīng)差分段時分點坐標(biāo)計算

按經(jīng)差對大圓航線進(jìn)行分段是制定大圓航行計劃時較常用的方法［8］，其中大圓航線起點坐標(biāo)已知，確定了用于分段的經(jīng)差，相當(dāng)于給出了各個分點的經(jīng)度，需要求解的就是各分點的緯度。

如圖3所示，已知A點緯度φ1，初始大圓航向C，設(shè)E點為第n個分點，根據(jù)分點原則求得E點與A點間的經(jīng)差?λn，即可采用“余切公式”，計算出E點的緯度φn：

圖3 大圓航線分點計算原理示意圖

重復(fù)使用以上函數(shù)，即可計算出所有分點的坐標(biāo)。

4.2 按航程分段時分點坐標(biāo)計算

采用弦線法按航程間隔對大圓航線進(jìn)行分段時，為了保證分點坐標(biāo)在大圓弧上，航程間隔應(yīng)是大圓航程，而在一般的大圓航法仿真計算軟件中，通常是按照恒向線航程進(jìn)行迭代運算，逐次逼近［9］，這樣處理計算量增大，而且不符合圖上作業(yè)過程，不能通過圖上作業(yè)來檢驗?zāi)Ｐ偷恼_性，也不能把計算結(jié)果作為教學(xué)訓(xùn)練中的考核標(biāo)準(zhǔn)使用。

1）分點緯度的計算

假設(shè)分點E與A點之間大圓航程為?D，根據(jù)已知條件初始大圓航向C、A點緯度φ1，采用“余弦公式”，可求得E點的緯度φn：

2）分點經(jīng)度的計算

與緯度計算一樣，根據(jù)初始大圓航向C、A點緯度φ1、E與A點之間大圓航程為?D，采用“余切公式”即可求得E與A點之間的經(jīng)差?λn：

5 計算效能分析

5.1 軟件計算流程設(shè)計

根據(jù)航海實踐中實際執(zhí)行大圓航線的基本原理，可以分三種情況構(gòu)建大圓航線計算流程：指定經(jīng)差弦線法、指定航程間隔弦線法、指定航程間隔切線法［9］，前文已經(jīng)給出了全部計算模型。指定經(jīng)差弦線法的計算流程如圖4所示，根據(jù)該流程圖和計算模型即可編寫大圓航線設(shè)計軟件，輸出分點坐標(biāo)和實際執(zhí)行的恒向線航向航程［10］。

圖4 指定經(jīng)差弦線法計算流程

5.2 計算結(jié)果分析

以遠(yuǎn)洋船舶經(jīng)常采用的一條橫跨北太平洋的東行大圓航線為例：起航點為東京附近的A點（φ35°00'.0N，l143°00'.0E），到達(dá)點為美國舊金山附近的B點（φ38°00'.0N，l125°00'.0W），若采用弦線法擬定大圓航行計劃，分別按照經(jīng)差10°和航程間隔600'計算，結(jié)果如表1、表2所示。在航海實踐中采用給定經(jīng)差的弦線法時，為了方便計算，通常第一個轉(zhuǎn)向點的經(jīng)度取到整5°或整10°，設(shè)計軟件時可進(jìn)行同樣的處理。

表1 經(jīng)差10°按弦線航行的航線計劃表

表2 航程間隔600'按弦線航行的航線計劃表

通過與大圓航法海圖作業(yè)結(jié)果比對，計算出的分點均位于大圓航線上，且經(jīng)差間隔或航程間隔完全符合要求，與圖上作業(yè)結(jié)果一致。計算結(jié)果，兩點之間的恒向線航程4459'.2，大圓航程4241'.7，按照經(jīng)差10°進(jìn)行分點時總航程為4257'.4，比大圓航程增加0.37%，比恒向線航程縮短4.53%；按照600'航程間隔進(jìn)行分點時總航程為4259'.5，比大圓航程增加0.42%，比恒向線航程縮短4.48%。從以上結(jié)果還可以看出，實際執(zhí)行大圓航線時，分點越多，實際航程越短，越接近大圓航程，但會增加轉(zhuǎn)向次數(shù)。

6 結(jié)語

立足于航海工作實際，系統(tǒng)研究了大圓航線計算模型，從計算機(jī)編程實現(xiàn)的角度進(jìn)行了細(xì)化和補(bǔ)充［11］，重點解決數(shù)學(xué)模型在實用中的細(xì)節(jié)問題，使模型更加完善、更加實用［12］，在近幾年海軍訓(xùn)練艦編隊出訪南太平洋、鄭和艦單艦環(huán)球行等遠(yuǎn)洋航海實習(xí)任務(wù)中進(jìn)行了大圓航法教學(xué)和訓(xùn)練時，依據(jù)此模型設(shè)計的軟件成功運用于艦船跨洋航線航行計劃的擬定，同時用于航海專業(yè)教學(xué)中，有效提高了教學(xué)訓(xùn)練效果，有較高的實用價值。