基于近似模型的海底光纜穩態運動仿真研究?

孫云鵬 舒 暢 林海濤

（海軍工程大學電子工程學院 武漢 430000）

1 引言

伴隨著信息全球化進程的日益加劇，人們對信息的需求隨之增加，為海底光纜的發展提供了廣闊的市場背景。目前，全球95%以上的國際數據通過海底光纜進行傳輸［1］，其作為信息傳遞的重要載體，在全球通信中扮演著重要的角色。而海底光纜的安全性和可靠性與敷設質量的好壞有密切關系，海底纜線技術作為海洋工程的關鍵技術，對保證海底光纜在海上敷設時的安全性具有重要意義。

海底光纜敷設過程中的穩態數學模型通常通過對作用在海纜上的荷載進行分析，運用牛頓運動定律建立微分形式的控制方程，并采用經典的龍格庫塔或牛頓迭代法等方法進行求解［2～6］。目前，上述文獻中已經分析單一參數改變對海底光纜敷設過程中張力變化的影響，但其僅限于對各參數的影響進行定性分析。因此，本文以海底光纜為研究對象，建立穩態數學模型，在此基礎上進行張力計算，通過試驗設計的方法進行皮爾遜相關系數分析，并構建海底光纜穩態運動的近似模型，為張力求解提供快速計算方法。

2 海底光纜敷設過程中的穩態模型

2.1 穩態模型建立

采用如圖1所示的兩種坐標系進行標度，分別為慣性坐標系O-XY和局部坐標系o-tn。慣性坐標系為笛卡爾坐標系，單位矢量方向I、J，局部坐標系位于光纜微段上，單位矢量方向t、n，其中矢量t沿光纜切線方向。坐標系間的轉化關系表示為

圖1 敷纜運動坐標系

局部坐標系中海底光纜上任一微元段相對流體的速度Vcs：

式中：Vs為敷纜船速度，Vc為海流速度，Vpo為海底光纜的布放速度。

取海底光纜的任一微段dr進行受力分析，受力情況如圖2所示。考慮附加質量的影響，根據受力平衡關系得到在局部坐標系下的切向和法向上的平衡方程：

圖2 纜線微元受力示意圖

式中：V為剪力，M為彎矩，FHt和FHn分別為切向和法向拖曳力，ε為纜線伸長形變量，ρ'為單位長度的等效質量，ρw為海水密度，ρc為海底光纜單位長度質量，Vcst和Vcsn為海底光纜相對于流體速度在局部坐標系下的分量，Ca為附加質量系數。

2.2 仿真結果對比

為驗證模型準確性，將本文模型與文獻［3］中的二維半解析法進行對比分析。仿真結果如圖3、4所示。可以看出，兩種模型仿真所得水下位形曲線基本一致，彎曲剛度對海底光纜的位形曲線影響較小，但仍然能看出在彎曲剛度的影響下其位形曲線較為平緩；本文模型較文獻［3］中的頂端張力值約偏大0.468%，存在偏差的主要原因在于該文獻忽略了切向拖曳力的影響，采用對傾角進行求平均值處理的方法來考慮到流體切向拖曳力的影響，而本文使用的方法直接將切向拖曳力考慮在控制方程中進行計算。

圖3 水下位形曲線對比

3 試驗設計

試驗設計是分析多因素與響應變量之間關系的一種方法，能夠通過少量的試驗獲取各個因素對響應值的影響規律，在工程優化中應用廣泛。常用的試驗設計方法包括：Box-Behnken試驗設計［8］、正交試驗設計［9］、中心組合試驗設計［10］、LHD［11］等。其中，LHD是一種為大試驗空間仿真提供均勻分布樣本點的試驗方法，能夠通過少量樣本點的選取反映整個設計空間的特點，其核心步驟為多維分層抽樣和打亂排序。因此，本文選擇拉丁超立方試驗設計作為試驗方法進行抽樣，試驗參數變量及其取值范圍如式（9）所示：

選擇定余量敷纜的方式，使布纜速度略大于船速，保持敷設余量為4%。針對本文的6個變量選擇30組樣本點，如表1所示。

表1 試驗設計樣本點

圖4 張力分布對比

為評估各參數變量與張力之間的關系，采用皮爾遜相關系數來衡量兩者的相關程度。通過抽樣得到的樣本點數據，利用上節中建立的穩態數學模型進行張力求解并計算各參數變量與張力之間的皮爾遜相關系數，可以得到參數變量與張力的相關性熱圖，如圖5所示。

圖5 皮爾遜系數熱圖

通過熱圖的顏色可以反映各個變量之間的相關程度。根據熱圖左邊第一列可以看出，參數變量w、Vs與張力之間呈正相關，且相關性非常高；d、Cf與張力之間呈負相關；而Cn、μs與張力的相關系數很小，說明它們的相關性較小。經過進一步數據處理可以得到各參數變量對張力的影響比例，如圖6所示。可以看到，w和Vs對張力的影響程度最大，分別為41.39%和28.91%，μs和Cn對張力的影響程度非常小，在實際分析中可以忽略不計。

圖6 各變量對張力的影響比例

4 多項式響應面近似模型

二階多項式響應面近似模型［12］表達式為

式中，xi、xj為設計變量，α0為常數項系數，αi、αii、αij分別為設計變量回歸系數、設計變量二次方回歸系數、不同變量間回歸系數，共(p+1)(p+2)/2個，p為變量數目。

通過上一節分析得到影響張力大小的主要變量為w、Vs、d、Cf，將這四個參數和對應的響應值進行二階多項式響應面擬合，得到張力的近似計算公式為

為了判斷擬合后的多項式響應面近似模型的準確性和有效性，采用決定系數（Multiple Determi?nation，R2）和修正的決定系數（Adjusted Multiple Determination，）來衡量，檢驗結果如表2所示。

表2 多項式響應面擬合精度檢驗結果

表3 隨機抽樣點

圖8 仿真值和預測值誤差百分比

由圖7、8可以看到，仿真值與預測值非常接近，最大誤差不超過0.8%，所以對于任意取樣點多項式響應面模型都有較好的擬合結果。因此，可以判斷使用二階多項式響應面近似模型可以擬合海底光纜敷設過程中的張力大小，為海底光纜張力的計算提供高效的求解方法。

圖7 抽樣點的仿真值和預測值

5 多目標優化分析

為確保海底光纜在敷設過程中能夠快速安全的敷設到海底，需要同時對布纜速度和張力進行多目標優化分析，本文采用NSGA-II［13］算法對擬合后的多項式響應面模型進行優化，參數設置為種群規模Npop為100，最大迭代次數Gen為100，交叉概率pc為0.9，變異概率pv為0.1，設置參數變量的取值范圍，得到張力與布纜速度的Pareto解集如圖9所示。

圖9 Pareto前沿

由圖可以看出，當迭代次數為30時各目標變化范圍較大，隨著迭代過程的進行，當到達最大迭代次數時，得到Pareto的最優解集。可以看到，當Vs=2.5m/s，Vpo=2.6m/s和Vs=1m/s，Vpo=1.04m/s，張力最小值分別為8218N、8383N，張力的變化范圍較小，僅為2%。采用定余量敷纜的方式時，船速與布纜速度同步變化，但張力并不隨船速的增加而增加，而是隨著船速的增加略有減小，說明布纜速度的增加會使張力變小，且對張力的影響比重大于船速。為進一步分析敷設余量對張力的影響，選擇不同的敷設余量得到結果如圖10所示。可以看到，不同敷設余量下，張力都隨船速的增加而略有減小，且敷設余量越大張力值越小。

圖10 不同余量下的Pareto前沿

6 結語

本文研究并建立了海底光纜敷設過程中的穩態模型，并與前人的模型進行對比，證明了模型的準確性。在此基礎上，通過試驗設計的方法分析各參數對張力大小的影響比重。同時，利用近似模型的方法對建立的穩態模型進行近似擬合，得到二階多項式響應面模型，為海底光纜敷設過程中的張力分析提供快速計算方法。