靜電負剛度諧振式加速度計的非線性振動特性研究

吳天豪，張 晶，蘇 巖

(南京理工大學機械工程學院，南京 210096)

0 引言

20世紀70年代，Roylance研究團隊發表了有關微加速度計的文章。時至今日，微機電系統(Micro-Elec-tro-Mechanical System，MEMS)加速度計已經發展了近半個世紀。隨著應用范圍的拓寬，MEMS加速度計也從最早的軍事、航空航天領域[1-3]，慢慢延伸到了電子器件、定位導航和醫療設備等領域[4-5]。其中基于靜電負剛度敏感原理的靜電負剛度諧振式加速度計(Electrostatic Negative Stiffness Resonant Accelerometer，ENSRA)受到廣泛關注。由于其本質為頻率調制的電容式MEMS加速度計，使得ENSRA一方面避免了電容式MEMS加速度計因電路噪聲導致零偏穩定性較差的問題,另一方面也規避了振梁式MEMS加速度計受殘余應力影響而產生諧振頻率誤差的問題。在目前已報道的靜電負剛度加速度計中，首爾大學研究團隊在2004年報道了一種面內靜電負剛度加速度計，靈敏度為128Hz/g,相對靈敏度為5470×10-6[6]；并在2005年報道了一種面外靜電負剛度加速度計，靈敏度為70Hz/g，相對靈敏度為5833×10-6[7]。2013年，美國加利福尼亞大學歐文分校A.M.Shkel團隊報道了一種靈敏度為4.4Hz/g的加速度計，實現了大于3×105的品質因數和6μg的零偏穩定性[8]。除此之外，中國的清華大學、東南大學和南京理工大學等研究團隊也在此方向做了相關研究[9-10]。隨著應用領域的不斷拓寬，對于MEMS加速度計性能的要求日益提高，研究者們往往通過加入靜電力來軟化機械剛度，從而提高靈敏度等關鍵指標[11-12]。但是隨著靜電力的增大和器件靈敏度的提高，非線性振動效應卻愈加明顯，反而制約著整體性能的進一步提升。

本文以ENSRA作為研究對象，探究機電耦合下敏感結構的動力學振動模型，分析了高階非線性剛度的產生原理，并結合實驗結果探討了靜電力與非線性振動的一般關系，最終給出了優化方案。

1 ENSRA非線性振動模型

1.1 靜電負剛度的形成及動力學原理

基于靜電負剛度調諧的諧振式加速度計其本質是頻率檢測的電容式MEMS加速度計，利用平板電容產生的靜電力作用在敏感結構的質量塊上而產生等效負剛度的原理來改變振動的諧振頻率。不僅如此，ENSRA非線性振動的本質也是平板電容產生的靜電力導致的，所以討論靜電負剛度的原理及其應用到ENSRA中的影響是至關重要的。

本文研究的基于ENSRA的敏感結構由上、下2個諧振器組成，如圖1[10]所示。

圖1 ENSRA敏感結構結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of ENSRA sensitive structure

每個質量塊由4個U型梁和錨點相連接，同一個諧振器的2個質量塊由4個L型梁相連。每一個質量塊內部分為三部分，分別是差分梳齒驅動電容、靜電調諧的變間距平板電容和差分梳齒檢測電容，質量塊中間黑色部分為固定極板。靜電調諧的變間距平板電容中，大間距為d1，小間距為d2，上下2個諧振器平板電容所放置的位置相反。也就是說，當外界輸入加速度時，整個敏感結構的質量塊向一個方向移動，但是一個諧振器的平板電容極板間距變大，另一個極板間距變小，使得上下2個諧振器的諧振頻率一個變大一個變小，最后通過頻差計算較精確的諧振頻率。

在ENSRA工作時，敏感結構中差分梳齒驅動電容決定了每個諧振器的工作模態，分別有同向工作模態和反向工作模態，圖2所示為一個諧振器在ANSYS下的模態仿真。其中，反向工作模態是運行模態，當外界輸入加速度時，每個諧振器的2個質量塊沿中線鏡像反方向振動，在此工作模態下，通過電路設計達到諧振頻率下的穩定狀態；同向工作模態為檢測模態，當敏感結構穩定時，改變差分梳齒驅動電容的電壓，使得2個質量塊同向振動，再由差分梳齒檢測電容檢測諧振器的諧振頻率。

1.2 非線性模型的推導

本文研究的是運行模態下的非線性振動問題，因此對該加速度計在反向工作模態下的敏感結構進行理論分析與仿真驗證。由于上下諧振器不同的諧振頻率變化對非線性的研究沒有影響，因此選取敏感結構的一個諧振器作為研究對象。

在反向工作模態中，2個質量塊在每一時刻的移動位移相反，在連接L型梁的對稱面保持靜止，使得整個諧振器的諧振頻率和其中單個質量塊的諧振頻率相同，等效質量是單個質量塊的2倍，等效剛度也是單個質量塊的2倍。因此，對于非線性模型的建立，選取其中二分之一諧振器作為研究對象。

1.2.1 諧振器等效模型受力分析

以單個諧振器的二分之一為研究對象,由于質量塊本身變形非常小近似剛體，一端由4個U型梁并聯成等效剛度為KU的彈性約束，另一端與2個L型梁相連。在反向工作模態中，L型梁可近似看成一端固定，另一端與質量塊相連，因此可等效成一個諧振梁，如圖3(a)所示。當敏感結構處于工作模態時，質量塊受到變間距平板電容的靜電力，可建立修正后的諧振梁力學模型，如圖3(b)所示。

(a)ENSRA單個諧振器等效力學模型圖

根據圖3所示，作如下定義：

1)敏感結構的材料密度為ρ，厚度為b，諧振梁長度為L，寬度為h，橫截面積為A=bh，面內彎曲的慣性矩為I=bh3/12；

3)諧振梁振動的軸向位移為ux(x,t)，橫向位移為uy(x,t)；

4)任取一微段dx，其受到軸向力F(x,t)、剪切力T(x,t)和彎矩M(x,t)。

由此可見，分析諧振器受力的關鍵在于靜電力P、軸向力F、剪切力T和彎矩M。

首先討論L型梁的軸向力、剪切力和彎矩，設L型諧振梁在上述作用下的彎曲應變為γ，則可得

(1)

同理可設L型諧振梁的軸向應變為η，可得

(2)

通過化簡式(1)和式(2)，可求解L型諧振梁所受的彎矩和軸向力為

(3)

(4)

根據L型諧振梁的振動特性，可以將軸向力F(x,t)視作僅與時間有關的函數而忽略隨空間的變化，即F(x,t)=F(t)。將式(4)從0到L積分，并且添加邊界條件ux(0,t)=ux(L,t)=0，則可得到

(5)

1.2.2 變間距平板電容靜電力P求解

如圖1所示，對其中諧振器的二分之一進行計算，靜電調諧的平板電容采用變間距電容檢測方式，其電容可以表示為

(6)

式中，ε為真空介電常數；b為變間距平板電容寬度即敏感結構厚度；Ne為變間距平板電容個數；le為變間距平板電容兩極板重合面長度；d1為變間距平板電容大間距，d2為變間距平板電容小間距；x為變間距平板電容移動極板位移即敏感結構位移。

可得變間距平板電容產生的靜電力為

(7)

式中，V為兩極板之間的電壓差。

式(7)在圖3中，其移動極板位移可表示為

(8)

則有

(9)

(10)

1.2.3 機電耦合的非線性動力學方程

哈密頓原理(Hamilton Principle)又稱最小作用原理，通常用來建立連續質量分布和連續剛度分布系統(彈性系統)的動力學模型。設系統動能為KT，系統勢能為U，系統所耗散的能量為Wc，則有耗散系統的廣義哈密頓原理可表示為

(11)

根據1.2.1節分析的該敏感結構中L型諧振梁單自由度振動的力學模型可得，該系統的動能為

KT=KL梁+KM

(12)

系統勢能包括L型諧振梁的軸向應變能、彎曲應變能、U型梁彈性勢能和變間距平板電容產生的靜電勢能，結合式(3)與式(5)，可推導L型諧振梁的勢能為

U=Ubend+Uaxial+UK+Ue

(13)

系統所消耗的能量可以表示為

(14)

(15)

式中，Фi代表雙端固支梁在第i階模態下的振型;qi為廣義坐標，代表在第i階振動模態下諧振梁隨時間變化的位移。

對于本文研究的L型諧振梁，將圍繞一階模態進行研究，其振動模態如圖4所示。

圖4 雙端固支梁一階模態振型圖Fig.4 Diagram of double end fixed beam in first-order mode

其對應的振型方程為

Φ1(x)=C1[coshβ1x-cosβ1x+

α(sinhβ1x-sinβ1x)]

(16)

表1 雙端固支諧振梁一階模態各項參數計算

將上述能量式代入有耗散系統的廣義哈密頓原理方程中，通過變分的方式，利用哈密頓原理得到廣義拉格朗日方程

(17)

將式(15)代入上述能量式進行變量分離，只考慮一階振型，共同代入式(17)，在不考慮驅動力的情況下，得到L型諧振梁橫向振動的運動微分方程

(18)

將靜電項泰勒展開，并省略高階項得

(19)

由此，可以對L型諧振梁建立機電耦合的非線性動力學方程

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

該機電耦合模型中，K1為一階剛度項，包含機械剛度和靜電力產生的靜電負剛度；K2為二階剛度項，是由靜電力產生的非線性負剛度項；K3為三階剛度項，是由L型梁軸向應變與靜電力產生的三階非線性剛度項，其中軸向應變為主要因素占比95.3%；Ce為靜電力產生的恒力。

由此可見，靜電力的引入對于ENSRA來說，不僅提供了敏感加速度的靜電負剛度，還產生了二階和三階的高階非線性剛度項，對驅動力產生一個直流偏量，使得整個敏感結構處于非線性振動狀態，對后續器件的檢測性能產生影響。

前文中涉及的關鍵結構尺寸如表2所示。

表2 ENSRA關鍵結構尺寸

2 實驗結果

2.1 靜電力對非線性振動的影響

由第1節的非線性動力學模型可知，除了L型梁軸向應變帶來的部分三階非線性剛度項之外，靜電力的引入對結構的非線性振動起著決定性作用。在開環測試下，掃頻結果和不同加速度下輸出頻差的關系如圖5所示。

(a)ENSRA單個諧振器正反掃頻實驗結果

(b)0～10g下ENSRA差分輸出結果圖5 非線性振動試驗現象Fig.5 Phenomenon of nonlinear vibration test

一方面，高階非線性剛度項的引入使得掃頻諧振峰發生左偏現象，導致諧振器頻率的減小，等效為剛度軟化，在器件處于低阻尼高Q值的情況下，其幅頻響應曲線存在雙穩態區域，諧振峰發生左偏，導致同一個諧振頻率對應多個振幅出現多值共振情況，這種現象可劃分出穩態區域和非穩態區域，曲線在峰值會發生跳變現象，對后續閉環電路鎖定諧振頻率帶來困難，從而影響加速度計的正常工作；另一方面，與梳齒電容不同的是，變間距平板電容改變靜電力的本質是兩極板間距的變化，這種方式使得平行極板的吸附效應大大增加，因此隨著輸入加速度的增大，敏感結構內可移動極板向固定極板不斷靠近，兩極板之間的吸附效應不斷上升，使得輸入輸出存在非線性關系，一定程度上制約了量程的設置。

2.2 非線性振動優化方案及實驗驗證

2.2.1 高階非線性剛度項優化

由式(19)可知，影響高階非線性剛度項K2和K3的關鍵因素為靜電力、L型梁軸向應變和振動幅值，這里將多值共振區大小作為衡量非線性振動程度的指標。驅動電壓決定著振動幅值的大小，當驅動力較小，振動幅值q與極板間距d1、d2相差1個數量級以上時，在非線性振動方程中高階項可以近似被省略，所帶來的非線性效應相對較小；但當驅動力增大到一定程度時，振動幅值q與極板間距d1、d2處于同一個量級，高階項無法被忽視，非線性效應明顯。而靜電力的大小影響著高階非線性剛度項，因此可通過調節驅動電壓和調諧電壓來一定程度上抑制非線性振動。

如圖6(a)所示，隨著驅動電壓的減小，振動幅值相應減小，使得相較于極板間距來說，振動幅值可以忽略；高階非線性剛度項影響因子變小，導致雙穩態區域減小，多值共振區從3.84Hz降低到1.95Hz，非線性振動優化了49%。因此，通過減小驅動力的優化方案以降低幅值從而縮小多值共振區，達到優化非線性的目的。

圖6(b)中，調諧電壓的降低表示靜電力的減小，導致以靜電力為主要影響變量的高階非線性剛度項K2減小而K3相對增大，整體振動非線性降低，諧振峰左偏程度減小，雙穩態區域明顯縮小，多值共振區從3.84Hz降低到2.12Hz，非線性振動優化了44%。這一方面證明了調節靜電力方案的可行性，從根本上降低了二階非線性剛度項，使得整體非線性振動效應降低；另一方面可以看出，諧振峰的左偏現象受二階非線性剛度項的影響，二階非線性剛度項的減小有效優化了諧振器等效剛度的軟化現象。

(a)不同驅動電壓下ENSRA掃頻結果

(b)不同調諧電壓下ENSRA掃頻結果圖6 高階非線性剛度優化實驗圖Fig.6 Experimental diagram of high order nonlinear stiffness optimization

2.2.2 吸附效應優化

平板電容最主要的特性在于當兩極板電壓差保持不變時，隨著兩極板間距的變化，其兩端的電容也會發生變化，導致產生的靜電力發生變化。但是這種變化存在一個臨界值，靜電力過大會使得敏感結構提前到達臨界值。

由式(9)可知，決定變間距平板電容靜電力大小的因素有調諧電壓、極板間距和極板重合面積。實驗通過控制調諧電壓大小，改變敏感結構調諧部分產生的靜電力，觀察輸入輸出非線性變化情況，如圖7所示。通過給變間距平板電容施加不同的調諧電壓(6V，5V，3.9V)以改變兩極板的電壓差，在開環的情況下測試其在0～10g下的輸出頻差。

圖7 不同調諧電壓下的加速度-頻差曲線圖Fig.7 Acceleration frequency difference curves under different tuning voltages

由圖7可以清晰直觀地看出，隨著調諧電壓的減小，輸出頻差與輸入加速度的線性度越來越高，當調諧電壓從6V降低到3.9V時，輸出非線性從3.4×106ppm降低到 4.95×102ppm，輸出非線性優化了將近4個數量級，因此驗證了調整調諧電壓優化方案的可行性。這是由于當調諧電壓減小時，兩極板的電壓差減小，在兩極板間距相同的情況下靜電力減小，即在相同加速度輸入的情況下，調諧電壓較小的平板電容可移動極板的位移較小，因此可以通過延長平板電容吸附效應的臨界點，使得ENSRA的量程增長。

3 結論

本文以ENSRA作為研究對象進行動力學建模和實驗分析，通過分析其高階非線性剛度的來源可知，影響非線性效應的主要因素為靜電力和驅動力。經過開環掃頻實驗可得以下結論：

1)驅動力從100mV降低到60mV，非線性振動優化了49%，調諧電壓從10V降低到6V，非線性振動優化了44%，輸出非線性降低了將近4個數量級，器件整體性能大幅提升。

2)通過調節調諧電壓發現，二階非線性剛度項使得諧振器剛度軟化，導致諧振峰的左偏現象，而降低靜電力可有效減小二階非線性剛度項，并改善諧振器剛度軟化導致的諧振峰左偏現象。

3)然而降低驅動和調諧電壓不可避免地導致系統靈敏度下降、信噪比降低，對系統的部分性能造成負優化，因此需權衡各項性能指標，找到最優驅動電壓和調諧電壓值。

本文針對ENSRA非線性振動特性的研究，對后續研究靜電力在MEMS傳感器領域的應用以及ENSRA非線性效應優化提供了理論指導。