一種基于模觀測法的離心機加速度計組合標定方法研究

王世明，李夢真

(天津科技大學電子信息與自動化學院，天津 300222)

0 引言

加速度計在慣性導航系統中處于核心地位，用于精確給出運載體相應的位置信息。因此，提高加速度計的標定精度是提高慣導系統導航精度的必要條件[1]。目前，針對慣導系統中加速度計的標定方法主要為分立法且大部分在重力場下進行，通過在拆卸安裝儀表的過程中引入安裝誤差角來影響標定精度；重力場下可提供加速度計的最大輸入比力為1g，不足以有效激勵加速度計的高階項誤差參數，不滿足高加速度飛行的導航條件[2-4]。因此，大激勵且整體標定加速度計是慣性儀表標定研究的主流。

整體法標定旨在標定加速度計組合全部誤差模型系數的同時，降低測試設備誤差對系數標定精度的影響。荷蘭學者J.C.L?tters等[5]提出了一種利用模觀測標定方法很好地解決過度依賴轉臺的問題，大大降低了轉臺誤差對誤差模型系數標定結果的影響；董春梅等[6]在此基礎上利用模觀測法在重力場下標定了單一陀螺儀和加速度計的零偏、一階標度因數，重點分離了安裝誤差在標定過程中的影響；戴邵武等[7]將導航姿態解算引入微慣性測量單元(Micro Inertial Measurement Unit，MIMU)的標定中，提出了在MIMU轉動過程中采用四元數進行姿態解算，靜止時列寫MIMU標定模觀測非線性方程的方法，實現了待標定參數的完全激勵，并將基于Logistic函數的改進粒子群優化(Particle Sw-arm Optimization，PSO)算法應用于MIMU的標定；王世明等[8]引入了一種無轉臺標定中高精度慣導系統的方法，依據正交軸上加速度計輸出的矢量和等于重力的原理，標定出加速度計輸出模型中的相關參數；張紅良等[9]推導了基于高精度轉臺的慣性測量單元(Inertial Measurement Unit，IMU)標定方法的誤差解析式，提出了一種抑制轉臺誤差的標定編排改進方案，建立了IMU標定參數模型，并研究了靜態多位置IMU模觀測標定方法。上述模觀測法仍在重力靜力場或轉臺低轉速模式下進行研究，誤差模型中不包含高次項系數，無法適應慣導系統高加速度飛行的應用環境。

精密離心機能夠持續提供大于1g的高精確度的加速度，通常用于辨識加速度計的高階系數模型[10-11]，為得到帶有高階項的加速度計系數模型奠定了良好的基礎。但是，標定方法的差異對標定精度產生了一定的影響，實際標定過程中常需要設計相應的測試方法[12-14]對其產生的誤差進行補償、規避、抑制甚至消除。

基于模觀測法的標定思想，以高速旋轉的精密離心機作為標定設備，研究加速度計組合的整體標定方法，重點研究模觀測法對加速度計二次項系數的標定原理，借助Tylor級數展開和最小二乘法[15-16]等數學方法，給出誤差模型系數標定結果的數學表達，同時考慮安裝誤差角和桿臂誤差對標定結果精度的影響，為提高慣性組合標定精度打下基礎。

1 標定設備

為準確標定各項系數，選用帶有反轉平臺的高精度離心機作為標定設備，建立此系統的坐標系及結構圖如圖1所示。此系統的地理(主軸)坐標系為OnXnYnZn，主軸軸套坐標系為O0X0Y0Z0，水平軸坐標系為O2X2Y2Z2，水平軸軸套坐標系為O2tX2tY2tZ2t。

圖1 加速度計組合結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of inertial assembly structure for centrifuge calibration

加速度計組合內部加速度計各軸的取向如圖2所示。

圖2 加速度計組合內部示意圖 Fig.2 Internal schematic diagram of accelerometer combination

2 標定設備離心機模觀測法標定原理

IMU在重力場靜態條件下的輸入比力滿足[7]

(1)

應用模觀測法，對式(1)兩邊分別取模，得

(2)

類似地,在離心機上進行加速度計標定時輸入比力滿足

(3)

應用模觀測法，對式(3)兩邊分別取模，得

(4)

由式(4)可知，在離心機標定加速度計組合時，3個方向加速度計輸入比力的合成等于向心加速度和重力加速度的合成，可用式(5)進一步表示

(5)

其中，A=ω2R，ω為離心機旋轉角速度，R為半徑標稱值。

由于加速度計的輸出值與輸入比力正相關。因此，只要獲得加速度計輸出值，就可以通過取模的方式構建辨識加速度計誤差模型系數的條件。

3 加速度計的模型

考慮一階及二階誤差模型系數，則加速度計的誤差模型如式(6)所示

Na=Ka[fb+Da(fb)2]+ba+na

(6)

其中，Ka=SaΦa，代入即可建立加速度計的誤差模型分解形式

SaΦa[fb+Da(fb)2]=(Na-ba-na)

(7)

Naz]T為加速度計輸出值；ba=[baxbaybaz]T為零偏；na=[naxnaynaz]T為測量誤差。

4 模觀測法標定加速度計組合方法

對式(7)進行化簡，并忽略高階無窮小項，可得

(8)

式中

(9)

式(8)為3個加速度計輸入比力的二元一次方程，利用求根公式并根據輸入比力的值為正，舍去數值為負的一項，計算輸入比力的表達式為

(10)

從式(10)可知，3個加速度計的輸入比力與(1-4DaΔ)0.5相關，該項表達式在參數辨識過程中不易于參數分離，因此考慮將式(10)用Tylor級數展開式展開。通過數值仿真可知，Tylor級數展開至第二項后，輸入比力的誤差與真值偏差小于10-4量級，滿足加速度計輸出精度要求，故以展開至二次項系數為輸入比力關系表達式，可得

(11)

若以g為計量單位，將式(11)代入式(5)中，忽略高階無窮小項，同時忽略安裝誤差角的影響，可得

(12)

(13)

式中

(14)

根據式(13)可知，若標定過程中給予加速度計組合不同的測試位置，則可以獲得若干個加速度計的輸出，通常測試位置數N≥4n+2，n為擬辨識系數個數。式(13)中,C為待辨識參數，共13項，故測試位置數N至少為54個。則可得出N個方程，可表示為

(15)

式中

進而利用最小二乘法，可得13項待辨識參數的計算公式為

(16)

通過觀察式(15)系數之間的關系,可知

(17)

(18)

則可解得

(19)

進而可求得3個加速度計的標度因數為

(20)

3個加速度計的二次項系數為

(21)

3個加速度計的零偏為

(22)

至此，誤差模型(5)中的待標定系數的表達式如式(20)～式(22)所示。實際標定過程中，通過設定多位置，采集3個加速度計在不同位置的輸出，按照式(16)～式(22)的計算過程即可完成對加速度計組合的整體標定，特別實現了模觀測法對加速度計二次項系數的標定。

5 實驗仿真與誤差分析

設置仿真條件：假設如圖1所示離心機標稱半徑為1m，g為9.8 m/s2，實驗當地緯度為北緯39°。

擬選用的加速度計標度因數分別為

Sax=1.29，Say=1.21 ，Saz=1.26

加速度計零偏分別為

bax=0.213g，bay=0.256g，baz=0.516g

加速度計二次項系數分別為

Dax=0.57 ×10-4g/g2，Day=0.31×10-4g/g2，Daz=0.45×10-4g/g2

加速度計測量噪聲為10-5V 。采集測試位置數N為60個，此時N>54，故滿足要求。加速度計的三軸轉向具體示意圖如圖3所示，仿真過程中各加速度計具體輸出如表1所示。

根據式(8)～式(22)，在不考慮安裝誤差角和桿臂誤差的情況下，可得出3個加速度計零偏、標度因數以及二次項系數的具體數值。仿真標定結果如表2所示。

圖3 20位置下3個加速度計的輸入軸指向示意圖Fig.3 Schematic diagram of the input axis of the three accelerometers at 20 positions

表1 20位置下3個加速度計不同離心機轉速下的實際輸出

續表

表2 仿真標定結果(不考慮安裝誤差與桿臂誤差)

1)考慮安裝誤差角

將式(9)代入式(10)～式(12)中，可得帶誤差項且校正過的輸入比力表達式，如式(23)所示

(23)

其中

由此可知，安裝誤差角主要影響式(14)中的C11、C12和C13項，而應用式(17)～式(22)計算各誤差模型系數時對各系數標定結果均有影響。設3個加速度計安裝誤差角的變化范圍從2×10-4rad～10×10-4rad，計算安裝誤差角對標度因數、二次項系數以及零偏的影響，如圖4所示。

由圖4中可知，隨著安裝誤差角的增大，其對所有誤差模型系數標定精度的影響也隨之增大。其中，誤差角的存在對3個加速度計的標度因數影響最大，對零偏的影響次之，對二次項系數的影響最小。從影響大小的角度分析，安裝誤差角的影響遠小于誤差模型系數的精度要求。因此，實際標定過程中，可以忽略安裝誤差角對誤差模型系數標定精度的影響。

2)考慮桿臂誤差

圖4 安裝誤差角對于二次項系數、標度因數和零偏的影響Fig.4 The influence of installation misalignment on quadratic term coefficient, scale factor and bias

表3 桿臂誤差對誤差模型系數的影響

由表3可知，在標定誤差系數時，桿臂誤差對3個加速度計的零偏系數、標度因數和二次項系數都會產生一定的影響。其中，對加速度計A的誤差模型系數影響相對較大。從影響大小的角度分析，桿臂誤差的影響遠小于誤差模型系數的精度要求。

綜上，安裝誤差角與桿臂誤差對加速度計誤差模型系數標定的影響很小，實際標定過程中可以忽略。

6 結論

采用模觀測法的標定思想，以精密離心機作為標定設備，實現了對加速度計組合的整體標定，重點實現了對加速度計二次項系數的標定，通過仿真驗證了該方法的有效性。其創新性在于：

1)應用Tylor級數對加速度模型的解進行多項式展開，并利用最小二乘法實現了模觀測對非線性系數的標定，給出了加速度計的二次項系數、標度因數以及零偏的計算公式。

2)設計了20位置法標定加速度計組合誤差模型系數，通過仿真驗證了該方法的有效性。

3)分析了安裝誤差角和桿臂誤差對誤差模型系數的影響，仿真驗證了安裝誤差角和桿臂誤差對誤差模型系數標定的影響很小，實際標定過程中可以忽略。