腐蝕管道極限彎矩計算的理論和方法

李思源,李逸軒

(1.蘭州石油機械研究所,蘭州 730050;2.蘭州理工大學 工程技術學院，蘭州 730300)

0 引言

近半個世紀以來，國內外對管道剩余強度的評估開展了許多研究工作，其中BOUWKAMP等[1-2]對無缺陷管道在聯合載荷下極限承載力進行了大量的數值分析和試驗研究。基于塑性失效理論，采用理想彈塑性本構模型，MOHAREB等[3-8]提出了無缺陷管道在內壓、軸向力和彎矩聯合載荷下的極限承載力解析解，并與試驗結果進行比較，得出該簡化方法能很好地預測管道極限承載力；其后，BAI等[9-12]將這部分工作擴展到了腐蝕管道，將管道腐蝕形狀簡化為減薄深度在環向不發生變化，分別針對4種不同工況的等深減薄管道，提出了極限彎矩計算方法。該方法被ABS[13]采用，評估腐蝕海底管道剩余強度。文獻[14-15]采用Hill屈服準則，推導了不規則腐蝕缺陷管道在內壓、軸向力和彎矩聯合作用下極限承載力廣義計算公式。文獻[16]證明了文獻[9-15]中極限彎矩計算式的理論依據不充分，并對承受內壓p、軸向力F和彎矩聯合作用下的局部減薄管道建立了極限彎矩計算的新公式。文獻[9-15]對腐蝕管道在內壓、軸向力和彎矩聯合作用下推導的極限彎矩計算式只有在純彎曲載荷下才成立；當內壓p>0時，文獻[9-12]中定義的環向應力在管道未減薄區不一定滿足屈服準則，文獻[14-15]采用的環向應力σθ=pRm/t在管道腐蝕區不一定滿足屈服準則。實例計算結果表明[16]：當內壓p>0時，文獻[9]中極限彎矩計算式的計算值都比文獻[16]中新公式的計算值??；文獻[14-15]中極限彎矩計算式的計算值都比文獻[16]中新公式的計算值大。因此，文獻[9-15]尚未解決腐蝕管道在內壓、軸向力和彎矩聯合作用下極限承載力的計算問題。文獻[16]也是將管道腐蝕形狀簡化為減薄深度在環向不發生變化的情況下得到的，這種簡化模型一般會使極限彎矩的計算結果偏于保守。因此，進一步研究腐蝕管道極限承載力的計算方法很重要。

本文對承受內壓p、軸向力F和彎矩聯合作用的多級等深減薄管道,應用屈服準則，推導出管道橫截面彎曲壓縮側和彎曲拉伸側應力極限值的計算式；采用理想彈塑性本構模型，建立了多級等深減薄管道在聯合載荷作用下的極限彎矩計算理論和計算公式；提出腐蝕管道在聯合載荷作用下極限彎矩的工程計算方法。

1 基本理論

1.1 基本假定和簡化

(1)管道鋼材不考慮應變強化作用，采用理想彈塑性應力-應變本構關系；

(2)管道在達到全塑性狀態前，管道的橫截面形狀不發生改變；

(3)在管道達到極限狀態時，塑性中性軸將管道橫截面分為彎曲壓縮和彎曲拉伸兩個區域，管道截面達到相應的全塑性狀態。

1.2 局部減薄管道的屈服準則

設管道的外半徑為Ro，管壁厚度為t，平均半徑Rm=Ro-t/2；設管道內壁存在深度為dj，環向截面夾角為βj(j=1,2，…，n)的n級對稱等深減薄缺陷(見圖1)，其軸向長度很長。且：

dk=max{d1,…，dn}

(1)

dh=min{d1,…，dn}

(2)

(3)

圖1 n級對稱等深減薄管道橫截面幾何尺寸和塑性中性軸示意Fig.1 Schematic diagram of the geometric dimensions andplastic neutral axis of the cross section of the n-level symmetricalequal-depth thinned pipe

對于各向異性材料的管道，在內壓p、軸向力F和彎矩M聯合作用下發生屈服時，采用屈服準則可以得到：

(4)

式中,σz為管道軸向應力;σzl為管材軸向屈服應力;α為各向異性系數,一般可取α=σθl/2σzl；σθ為管道環向應力;σθl為管材環向屈服應力。

求解式(4)得到軸向應力σz的解：

(5)

(6)

1.3 管道彎曲屈服的軸向極限應力

含n級等深減薄管道(見圖1)在內壓p、軸向力F和彎矩聯合作用下,管道的環向應力σθ由內壓p產生；內壓p對該管道產生的軸向力Fp作為軸向力F的組成部分。管道的軸向應力σz只由軸向力F和彎矩產生。

在管道減薄深度為dj(j=1,2，…，n)的部位，管道的環向應力σθj由內壓p產生，且近似為:

σθj=p(Rm+0.5dj)/(t-dj) (j=1,2,…，n)

(7)

(1)當管道減薄深度為dj的部位(見圖1)處于彎曲壓縮側時，將式(7)代入式(6)得到，該部位屈服的軸向應力極限值σcj用式(8)計算。

(j=1,2，…，n) (8)

(2)當管道減薄深度為dj的部位(見圖1)處于彎曲拉伸側時，將式(7)代入式(5)得到，該部位屈服的軸向應力極限值σtj用式(9)計算。

(j=1,2，…，n) (9)

1.4 極限應力不等式

(1)第一極限應力不等式。

當管道的內壓p>0，管道等深減薄深度di和dj有di>dj時，則屈服的軸向極限應力σci和σcj滿足不等式：

σci>σcj

(10)

由式(7)，并計及di>dj得到：

σθi-σθj>0

(11)

計及式(11)，則有vj-vi>0。因此有：

(12)

將式(8)代入計算式(σci-σcj)/σzl，并利用式(11)(12)得到：

(13)

由此得到不等式(10)成立。

由第一極限應力不等式可直接推出第二極限應力不等式。

(2)第二極限應力不等式。

當管道的內壓p>0，管道等深減薄深度dj>0(j=1,2，…，n，j≠h)時，則屈服的軸向極限應力σcj和σch滿足不等式:

σcj>σch(j=1,2，…，n，j≠h)

(14)

2 多級等深減薄管道極限彎矩計算理論

2.1 多級等深減薄管道承載彎矩載荷的條件

含n級對稱等深減薄管道(見圖1)橫截面的面積S用下式計算：

(15)

管道在內壓p和軸向力F聯合作用下，管道的軸向應力σz(F)近似為：

σz(F)=F/S

(16)

令:

Fl=Sσzl

(17)

(1)承載彎矩載荷的條件。

含n級對稱等深減薄管道(見圖1)在內壓p和軸向力F聯合作用下，用式(7)計算管道最大減薄為dk部位的環向應力σθk和最小減薄為dh部位的環向應力σθh，用式(17)計算Fl。該管道能承載彎矩載荷的條件為：

(18)

且

(19)

(20)

(2)在承載彎矩載荷的條件下。

σch<σcj<σz(F) (j=1,2，…，n)

(21)

σtj>σz(F) (j=1,2，…，n)

(22)

驗證如下。

(1)含n級對稱等深減薄管道(見圖1)在內壓p和軸向力F聯合作用下，管道產生的軸向應力σz可用式(16)近似計算，再應用式(17)得到：

利用上式和式(7)計算的環向應力σθj得到，在管道減薄深度為dj(j=1,2，…，n)的部位都有：

(j=1,2，…，n) (23)

①由式(1)得到dj≤dk，因此由式(7)計算得到σθj≤σθk。

σθj/σθl≤σθk/σθl(j=1,2，…，n)

又利用式(19)得到:

(j=1,2，…，n)

由上式推出：

(24)

②由式(2)得到dj≥dh,因此由式(7)計算得到σθj≥σθh。

σθj/σθl≥σθh/σθl(j=1,2，…，n)

再利用式(20)得到:

(j=1,2，…，n)

由上式推出:

將式(24)和上式代入式(23)得到，在n級等深減薄管道的各等深減薄部位都有：

因此，含n級對稱等深減薄管道(見圖1)在內壓p和軸向力F聯合作用下沒有屈服，該管道還可以承載一定的彎矩載荷。

(3)在承載彎矩載荷的條件下，含n級對稱等深減薄管道由內壓p產生的環向應力σθj和軸向力F都滿足不等式(24) 。

采用反證法證明式(21)和式(22)都成立。

2.2 多級等深減薄管道極限彎矩的計算公式

根據承載彎矩的條件，計算n級對稱等深減薄管道在內壓p、軸向力F和彎矩聯合作用下的極限彎矩時，內壓p產生的環向應力σθk,σθh和軸向力F必須同時滿足不等式(18)～(20)。

當管道在彎矩作用下達到全塑性狀態時，設塑性中性軸的夾角為ψ。考慮塑性中性軸的位置，可按兩種工況計算管道的極限彎矩：工況1——塑性中性軸下方的管壁區域位于彎曲壓縮側，塑性中性軸上方的管壁區域位于彎曲拉伸側；工況2——塑性中性軸下方的管壁區域位于彎曲拉伸側，塑性中性軸上方的管壁區域位于彎曲壓縮側。

(1)工況1的極限彎矩計算公式。

在工況1條件下，當塑性中性軸位于面積為As(s∈{1,2,…，n})區域中時，則面積為A1,…，As-1的區域都在彎曲壓縮側，面積為As+1,…，An的區域都在彎曲拉伸側。當管道在彎矩作用下達到全塑性狀態時，管道的軸向力F可近似表示為：

(25)

式中，σcj用式(8)計算；σtj用式(9)計算；Aj分別為圖1中對應區域的面積，且：

k1j=(1-dj/t)[1+dj/(2Rm)] (j=1,2，…，n)

Aj=2k1jβjRmt(j=1,2，…，n)

將上面諸式代入式(25),得到塑性中性軸夾角的一次方程式，當s∈{1,2,…，n}時，塑性中性軸的夾角ψ=ψs用式(26)計算。

且0<ψ1<β1。

當s∈{2,…，n-1}時：

(26)

當s=n時：

且π-βn<ψn<π。

設：

k2j=(1-dj/t)[1+dj/(2Rm)]2(j=1,2，…，n)

(j=1,2，…，s-1)

(j=s+1,2，…，n)

當塑性中性軸位置用式(26)篩選確定為ψ=ψs后，n級對稱等深減薄管道極限彎矩M(p,F)為:

(27)

將諸參量代入式(27)得到式(28)～(30)。

當s=1時:

(28)

當s∈{2,…，n-1}時:

(29)

當s=n時:

+[sinψn-sin(π-βn)]k2nσcn-sinψnk2nσtn

(30)

(2)工況2的極限彎矩計算公式。

在工況2的條件下，當塑性中性軸位于面積為As的區域中時，則面積為A1,…，As-1的區域都在彎曲拉伸側；面積為As+1,…，An的區域都在彎曲壓縮側。當管道在彎矩作用下達到全塑性狀態時,軸向力F可近似表示為：

式中，σtj用式(9)計算，σcj用式(8)計算；Aj為圖1中對應區域的面積。

類似于上面工況1的方法可以得到工況2的極限彎矩計算公式。

3 腐蝕管道極限彎矩的計算方法

許多壓力管道，由于輸送介質的腐蝕性和重力作用，在管道橫截面內壁6點鐘位置兩側產生腐蝕缺陷，腐蝕形狀沿腐蝕區中心線(6點鐘處)近似于對稱分布(見圖2),且缺陷的軸向長度很長。

圖2 腐蝕管道橫截面尺寸示意Fig.2 Schematic diagram of the corroded pipe cross section

以下采用簡便的方法將圖2中的腐蝕管道簡化為n級對稱等深減簿管道，然后采用以上多級等深減薄管道極限彎矩計算理論和公式，即可導出腐蝕管道極限彎矩的工程計算方法如下。

(1)已知參數。

①管道的平均半徑Rm，壁厚t，管材軸向屈服應力σzl，環向屈服應力σθl；

②管道內壁腐蝕缺陷的環向夾角為2β(見圖2)，軸向腐蝕長度很長；

③管道承受內壓p和軸向力F。

(2)構建n級對稱等深減薄管道。

在腐蝕管道的橫截面上(見圖2)，給定n(n∈{6,8,10})，用通過圓心O的n+1條線段O0，O1，…，On將β角分成n等份，各等份的角度為β/n。又沿線段O0，O1，…，On測量得到管壁對應的腐蝕深度分別為a0，a1,…，an-1,an=0；取d1=(a0+a1)/2，…，dj=(aj-1+aj)/2,…，dn=an-1/2,將圖2中的腐蝕管道簡化為圖3中減薄深度為dj、夾角為β/n的n級等深減薄管道。

圖3 腐蝕管道簡化為 n級對稱等深減薄管道橫截面尺寸和塑性中性軸示意Fig.3 Schematic diagram of the geometric dimensions andplastic neutral axis of the cross section of the n-level symmetricalequal-depth thinned pipe which is simplified from the corroded pipe

(3)計算腐蝕管道的極限彎矩。

① 計算參量：

d=max{a0，a1,…，an-1,d1,…，dn}

σθj=p(Rm+0.5dj)/(t-dj) (j=1,2，…，n)

σθd=p(Rm+0.5d)/(t-d)(σθ0=pRm/t)

k1j=(1-dj/t)[1+dj/(2Rm)] (j=1,2，…，n)

k2j=(1-dj/t)[1+dj/(2Rm)]2(j=1,2，…，n)

②驗證不等式成立。

且：

③計算管道彎曲屈服的軸向極限應力σcj，σc，σtj，σt。

(j=1,2，…，n)

(j=1,2，…，n)

④計算腐蝕區全部或者部分在彎曲壓縮側的極限彎矩。

a.計算:

當ψn+1>β時，確定塑性中性軸的ψ=ψn+1，管道的極限彎矩用下式計算：

+(sinψn+1-sinβ)σc-sin(ψn+1)σt}

b.當ψn+1<β時，計算:

+n(π/β-1)σt]β/n}÷[2Rmtk1s(σcs-σts)]

⑤計算腐蝕區全部或者部分在彎曲拉伸側的極限彎矩。

a.計算：

當ψn+1>β時，確定塑性中性軸的ψ=ψn+1，管道的極限彎矩用下式計算：

+(sinψn+1-sinβ)σt-sin(ψn+1)σc}

b.當ψn+1<β時，計算：

+n(π/β-1)σc]β/n}÷[2Rmtk1s(σts-σcs)]

4 腐蝕管道極限彎矩算例

4.1 純彎曲載荷下的算例

文獻[15]研究了腐蝕缺陷管道的極限承載力；文獻[16]指出，在內壓、軸向力和彎矩聯合作用下，文獻[15]中的極限彎矩計算公式的理論依據是不充分的，但在純彎曲下仍然成立。因此文獻[15]采用數值方法計算的等深腐蝕、橢圓腐蝕和拋物線腐蝕管道在純彎曲下的極限彎矩值是有效的。

現以文獻[15]表1中工況3試件TP3為例，采用腐蝕管道極限彎矩的工程計算方法，計算工況3試件TP3的極限彎矩值，并和數值解極限彎矩值進行比較，驗證工程計算方法的計算精度。

TP3試件管的平均半徑Rm=52.85 mm，管壁t=8.6 mm，管材鋼軸向屈服應力σzl和環向屈服應力σθl為：σzl=σθl=408 MPa，各向異性系數α=0.5；管子橫截面腐蝕區中心線位置的最大深度a0=6.9 mm，腐蝕夾角2β=π；腐蝕深度函數a(θ)計算如下。

半橢圓腐蝕：

(31)

拋物線腐蝕：

a(θ)=6.9(1-2θ/π)2(0≤θ≤π/2)

(32)

(1)取n=6，用射線O0，O1，…，O6將管子橫截面腐蝕區分成6等份，各等份的角度為π/12 (或15°)。計算射線Oj對應的腐蝕角度θj和腐蝕深度aj=a(θj) (j=0，1，…，6)。

(2)取dj=(aj-1+aj)/2計算6級等深減薄深度d1，…，d6。構建6級對稱等深減薄dj，βj=π/12計算模型(見圖3)。

(3)半橢圓腐蝕試件TP3極限彎矩計算結果。

在純彎曲下，p=0,F=0,因此,由第3節工程計算方法中(3)③計算得到彎曲屈服的軸向極限應力：

σcj=σc=-σzl=-408 MPa

σtj=σt=σzl=408 MPa

利用半橢圓腐蝕管道6級等深減薄模型數據d1，…，d6，計算k1j和k2j；在彎曲拉伸側，由第3節工程計算方法中(3)⑤a.的ψ7計得ψ7=0.649 5π>β。因此塑性中軸的ψ=ψ7=0.649 5π，半橢圓腐蝕試件TP3的極限彎矩Me(0,0)=21.76 kN·m。

(4)拋物線腐蝕試件TP3的極限彎矩Mp(0,0)=31.56 kN·m。

(5)從文獻[15]表2中查得：半橢圓腐蝕工況3試件TP3極限彎矩的數值解Mecpc=21.4 kN·m，拋物線腐蝕試件TP3極限彎矩的數值解Mpcpc=31.7 kN·m。由此得到：半橢圓腐蝕的Me(0,0)和Mecpc=21.4 kN·m的誤差為 -1.68%，拋物線腐蝕的Mp(0,0)和Mpcpc=31.7 kN·m的誤差為 0.44%。

4.2 聯合載荷下的算例

設管道的平均半徑Rm=500 mm，管壁t=20 mm，管材鋼軸向屈服應力σzl和環向屈服應力σθl為:σzl=σθl=500 MPa，各向異性系數α=0.5；管子橫截面腐蝕區中心線位置的最大深度a0=10 mm，腐蝕夾角2β=π；腐蝕深度函數a(θ)計算如下。

半橢圓腐蝕：

(33)

拋物線腐蝕：

a(θ)=10(1-2θ/π)2(0≤θ≤π/2)

(34)

管道承受內壓p=10 MPa,軸向力F=20 000 kN。

(1)對半橢圓腐蝕管道和拋物線腐蝕管道，取n=6，用射線O0，O1，…，O6將管道橫截面腐蝕區分成6等份，各等份的角度為π/12(15°)。計算射線Oj對應的腐蝕角度θj和深度aj=a(θj) (j=0，1，…，6) 。

(2)取dj=(aj-1+aj)/2，計算半橢圓腐蝕管道6級等深減薄深度d1，…，d6。構建6級等深減薄dj，βj=π/12計算模型(見圖3)。利用橢圓腐蝕管道6級對稱等深減薄模型數據d1，…，d6，計算k1j和k2j；計算管道彎曲屈服的軸向極限應力σcj,σc,σtj,σt。

(3)驗證半橢圓腐蝕管道在內壓p=10 MPa和軸向力F=20 000 kN聯合作用下，滿足承載彎矩載荷的條件。

(4)在彎曲壓縮側，由第3節工程計算方法中(3)④a，取s=5，計算ψ5=0.396 1π，因此塑性中性軸的ψ=ψ5=0.396 1π，半橢圓腐蝕管道的極限彎矩為:

Me(10,20 000)=5 855.8 kN·m

采用和上面相同的方法，得到含拋物線腐蝕(見式(34))管道的極限彎矩為：

Mp(10,20 000)=6 515.3 kN·m

5 結語

(1)對在內壓p、軸向力F和彎矩聯合作用下的n級對稱等深減薄管道,建立了承載彎矩載荷的條件,應用很簡便。

(2)對n級對稱等深減薄管道在內壓p、軸向力F和彎矩聯合作用下，應用屈服準則和理想彈塑性本構模型，分兩種工況建立了該管道極限彎矩的計算理論和計算公式。

(3)對承受內壓p、軸向力F和彎矩聯合作用的腐蝕管道，建立了管道極限彎矩的工程計算方法。