一組幾何不等式的解析函數形式

馬 磊， 賓 芮， 董 旭

（1.廣東茂名幼兒師范專科學校理學院，廣東茂名525200；2.重慶師范大學數學科學學院，重慶400047）

1 引言

等周不等式源于等周問題，是幾何中著名的不等式之一，對數學諸多分支的發展起到了重要的促進作用.平面上的等周不等式等價于分析中著名的Wirtinger不等式和一維的Poincare不等式[1-3]；高維空間中的等周不等式與分析中的Sobolev不等式等價[4]；仿射不變性的Sobolev型不等式等價于著名的Petty投影不等式[5，6].目前，研究具有幾何背景的分析不等式已經成為凸幾何分析中的熱點問題[7，8]，另外部分分析不等式也與算子類不等式密切相關[9].

設為平面上的簡單閉曲線所圍成的閉凸區域，則其邊界周長，面積，最大內接圓半徑，最小外接圓半徑，滿足如下形式的幾何不等式[10-12]

設p（θ）為平面上包含原點的具有光滑邊界的閉凸區域K的支撐函數（即p（θ）是以2π為周期的C2（二階連續可微）函數），則p＞0，曲率半徑ρ=p+p″＞0，周長面積參見[1]，[3]）.特別地，當K關于原點對稱時，p（θ）=p（θ+π）.故當K關于原點對稱時，p（θ）為以π為周期的函數.設K的最大內接圓半徑與最小外接圓半徑分別是r=min{p∶0≤θ≤π}，R=max{p∶0≤θ≤π}.因此，當K關于原點對稱時，不等式（1）等價于下面一組分析形式的不等式.

設p（θ）是以π為周期的C2（二階連續可微）函數，且p（θ）＞0，p（θ）+p″（θ）＞0，若m=min{p∶0≤θ≤π}，M=max{p∶0≤θ≤π}.本文的主要目的是證明幾何不等式（1）的分析形式：

2 主要引理

下面的引理由Green-Osher在文獻[13]中利用傅里葉（Fourier）級數的方法得到，這里我們應用Scheeffer在文獻[14]中的方法給出一種不同形式的證明.

引理1設a＞0，u（x），u′（x）∈L2[0，a]，且u（0）=u（a）=0，則

證明由于

而u（0）=u（a）=0，且

所以

引理2設v（x），v′（x）∈L2[a，b]，其中b＞a＞0，v（a）=v（b）=0，則

證明令u（x）=v（x+a），因為v（a）=v（b）=0，則v（0）=v（b-a）=0.由引理1可知

作變量替換y=x+a，則故dy=dx.故

即

引理3設w（x）是以T＞0為周期的連續函數，則對于任意的a都有

證明設x=t+T，有dx=dt，則

因而

3 主要結論

定理1設p（θ）是以π為周期的C2（二階連續可微）函數，則

證明令v（θ）=p（θ）-p（θ0），因為p（θ）是以π為周期的函數，則

由引理2可知

即

由p（θ）是以π為周期的函數，結合引理3可知

因此

又因為

故

推論1設p（θ）是以π為周期的C2函數，則

定理2設p（θ）是以π為周期的C2函數，且p（θ）＞0，p（θ）+p″（θ）＞0，若m=min{p∶0≤θ≤π}，M=max{p∶0≤θ≤π}，則

證明因為m=min{p∶0≤θ≤π}，M=max{p∶0≤θ≤π}，則存在θm，θM∈[0，π]使得，m=p（θm）≤p（θ）≤p（θM）=M.又因為p（θ）＞0，p（θ）+p″（θ）＞0，則

所以

由推論1可知

由于m=min{p∶0≤θ≤π}，則存在θM∈[0，π]使得，p（θm）=m.在定理1中取θ0=θm可得

又由于M=max{p∶0≤θ≤π}，則存在θM∈[0，π]使得，p（θM）=M.在定理1中取θ0=θm，可得

綜上，可知不等式（7）成立.