從上半平面Hardy空間到一類解析函數空間的加權微分復合算子

秦春

（懷化學院初等教育部，湖南懷化418008）

1 引言

設C為復平面，∏+={z∈C，Im z＞0}為復平面C上的上半平面，H（∏+）為上半平面∏+上的全純函數全體，S（∏+）為上半平面∏+上的全純自映射全體.

對任意的0≤p＜∞，定義

稱為Hardy空間，易知在范數||g||Hp（∏+）下為Banach空間.

對任意的f∈H（∏+），若滿足

則稱為n次加權型空間.

當n=0時，稱為Bers型空間，記為A∞（∏+）.易知Bers型空間在范數

下為Banach空間.

當n=1時，稱為Bloch型空間，記為B（∏+）.Bloch型空間上的函數滿足

其中，b（f）為Bloch型空間的半范數.易知Bloch型空間在范數

下為Banach空間.

當n=2時，稱為Zygmund型空間，記為Z（∏+）.

Zygmund型空間上的函數滿足

其中，bZ（f）為Zygmund型空間的半范數.易知Zygmund型空間在范數

下為Bananch空間.

令φ∈S（∏+），u∈H（∏+），定義H（∏+）上的加權微分復合算子Dnφ，u為：

文[2-7]中研究了單位圓盤上一類解析函數空間上加權微分復合算子的有界性和緊性.Sam Elliott在文[8]中研究了上半平面Hardy空間上復合算子Cφ的有界性.StevoStevic＇在文[9]中研究了上半平面從Hardy空間到Zygmund-型空間復合算子Cφ的有界性.姬小斌，于濤在文[10]中研究了上半平面從經典的Hardy空間到增長型空間及Bloch型空間加權復合算子Dφ，u的有界性.胡清孝、葉善力、劉慧琴在文[11]中研究了上半平面從Hardy空間到增長型空間及Bloch型空間加權復合算子Dφ，u的有界性.其他與上半平面相關的內容見文[12].

2 主要結果

本文研究上半平面從Hardy空間到Bers型空間和Bloch型空間的加權微分復合算子的有界性，結論如下：

定理2.1令n∈N*，u∈H（∏+），φ∈S（∏+），則∶H（p∏+）→A∞（∏+）為有界算子的充分必要條件是

定理2.2令n∈N*，u∈H（∏+），φ∈S（∏+），則∶Hp（∏+）→B（∏+）為有界算子的充分必要條件是

定理2.3令n∈N*，u∈H（∏+），φ∈S（∏+），則Hp（∏+）→Z（∏+）為有界算子的充分必要條件是

3 定理的證明

在證明之前，給出所需的引理.

引理1[9]假設p≥1，n∈N并且w∈∏+，那么

并且

引理2[13]如果f∈Hp（∏+），那么

定理2.1的證明：充分性證明.對任意的f∈Hp（∏+），結合（1）式及引理2，可得

固定w∈∏+，任意的p≥1，m∈N，做檢驗函數

由引理1，可得fw，m（z）∈Hp（∏+）.通過簡單的運算，可得

結合（8）式，可得

則（1）式成立.從而定理2.1成立.

定理2.2的證明：充分性證明.對任意的f∈Hp（∏+），結合（2）式、（3）式及引理2，可得

固定z∈∏+，做檢測函數

由引理1可知，fz（w）∈Hp（∏+）.結合（9）式并通過簡單的運算，可得

可得

結合（12）式，可得

從而（2）式成立，再做檢驗函數

同理可得（3）式成立.從而定理2.2成立.

定理2.3的證明：充分性的證明.對任意的f∈Hp（∏+），結合（4）式、（5）式、（6）式及引理2，可得

固定Z∈∏+，做檢測函數

由引理1可知，fz（w）∈Hp（∏+）.結合（14）式并通過簡單的運算，可得

可得

結合（18）式，可得

從而（4）式成立.再做檢驗函數

同理可得，（5）式和（6）式成立，從而定理2.3成立.