在概率統計教學中培養學生的探究能力

江蘇省運河中學 葉貴朋

統計學是研究如何收集、整理、分析數據的科學，它可以為人們制訂決策提供依據。概率是人們判斷一件事情發生的可能性大小的重要依據，它是一個確定的數。統計與概率的概念、原理都十分重要。

一、指導學生提出問題，激發探究的欲望

引導學生提出問題，可以很好地培養學生的質疑精神。學生在課堂上大膽地提出自己的疑惑，老師可以及時解決，防止問題越積越多，這不僅會影響學生的學習效率，還會降低學生的學習興趣。

例如，《古典概型和幾何概型》的教學，老師向學生給出了兩個概念，首先，具有以下兩個特點的試驗稱為古典概型：第一個特點是有限性，試驗的樣本空間只含有有限個樣本點；第二個特點是等可能性，即試驗中每個基本事件發生的可能性相同。其次，具有以下這兩個特點的試驗稱為幾何概型：第一，隨機試驗的樣本空間為某可度量的區域；第二，任意區域出現的可能性的大小與該區域的幾何度量成正比，而與該區域的位置和形狀無關。最后，老師需要做的就是幫助學生擺正提問題的心態，提問題是一件好事。很多學生羞于提問題，擔心自己提的問題過于簡單，會遭到其他同學的恥笑，導致問題不斷積累，和其他同學拉開差距。老師首先需要構建一個平臺，促使學生提出問題。比如，對于上述兩個概念，有的學生就會提出以下問題:“我覺得古典概率在生活中比較常見，那我們在判斷的時候，是否可以用排列或者是組合的方式來考慮呢？”“古典概率是否存在某些缺陷？如果存在，是什么呢？”“在談到幾何概型的概念時，出現了‘幾何度量’這四個字，我們應該如何理解這四個字呢？”通過構建提問題的平臺，學生想提問題的心愿就能得到滿足，就能進一步促進學生對知識的探索和思考。

二、提倡學生自主探索，經歷探究的過程

在高中數學中，概率和統計算不上難度系數比較高的知識，因此幾何和概率類的題目可以嘗試讓學生自主探究、自主完成。

例如，有這樣一道數學問題：“在體育課堂上開展了這樣一個體育活動，要求同學們向邊長為一米的正方形沙坑內隨機投球，如果投在正方形一條對角線上，可以獲得額外的小獎勵。試求球投在正方形的一條對角線上的概率。”這道題目中涉及正方形這個圖形，因此它屬于幾何概型。第一步要做的就是確定樣本的空間，題目中的樣本指的就是這個邊長為一米的正方形沙坑。可以建立直角坐標系，然后在x 軸和y 軸上分別找到顯示為“1”的點，連線組成一個正方形。接著，確定這道題目所要求的事件就是“球投在正方形的對角線上”，用數學語言表達即A={（x,y）|x=y}。這時就需要用對角線段的面積除以正方形的面積。但是通過之前學習的知識可以得知對角線段的面積為零，那么這個事件的概率就為零。很多學生可能會感到非常疑惑：“為什么算出來的概率會為零呢？”其實概率為零的事件未必是不可能事件，只是說這個事件發生的概率無限小，無法用具體的數字把它表現出來，但它是有可能發生的，這一點需要學生重點記憶和理解。

三、引領學生談論交流，激活探究的思維

在教學的過程中，老師可以有選擇地拋出一些問題，通過這些問題引領學生進行思考和討論。思考和討論是學生學習數學時兩種常見的學習形式，思考是一種思維活動，討論是一種語言活動。

比如上述自主學習活動結束之后，老師就可以開展交流討論活動：“請同學們思考如何判斷一個試驗是否為幾何概型？例如，牛奶售貨員會在早上八點到八點半給小明家送牛奶。但小明每天八點十分就從家里出發，最晚也只能延遲到八點二十，請問，售貨員送牛奶時小明恰好在家的概率是多少？這道題目是幾何概型還是古典概型呢？”學生討論之后得到了結論：如果通過分析題目可以得出樣本空間和數學表達式，就可以找到各自的幾何度量，而幾何度量是幾何概型的重要因素，那么我們就可以判斷這個事件為幾何概型。在這道題目中，牛奶售貨員送牛奶的時間段和小明同學上學的時間段分別構成了各自的幾何度量，因此我們可以判斷這道題目為幾何概型。討論具有很多有利的因素，許多學生表示：“討論能夠形成一種良好的學習氛圍，能夠讓我們在快樂中學習，可以大膽地提出自己的問題，同時還培養了我們勤思考、大膽創新的好習慣。”

四、鼓勵學生發散思維，拓寬探究的范圍

探究的目的是培養學生解決在日常學習中遇到的問題，進而學會自主解決學習中的其他問題。因此，在學生遇到問題時，教師應當鼓勵學生盡可能地發散思維，思考相關問題的解決方式，拓寬研究的范圍，借此更好地達到探究的效果。

例如，在教材上的閱讀內容中，提到了我國宋朝時期著名數學家楊輝所著的《詳解九章算術》中的隨機數表，它描述了這樣一個問題：有一個三角形樣的通道及下方相互隔離的儲槽，若把一粒球形小珠隨機放入最上方的通道入口，那么小珠落入每個儲槽的概率有什么規律？因為在上方的入口箭頭處隨機投入2n粒球形小珠，當每粒小珠落下時，每到一層的分隔處都以二分之一的概率向左邊或向右邊的下一層垂直通道下落，所以在任何一層的兩個通道都只有一種可能情況，我們可以由此得到小球落入每個儲槽的概率公式。這時我們就會發現，這樣的模型我們很熟悉，因為在介紹正態分布的函數時，我們就引用了這樣一個模型：從高處隨機拋下一個小球，小球落在每個區間的概率是多少？因此，老師可以問學生：“由該規律數表，你們能夠得到什么結論？你們能夠聯想到其他什么知識？”教師通過引導學生，讓學生從概率數表聯想到二項分布的函數圖像，其實就是在相關知識點上拓展學生的研究范圍，幫助學生聯想擴展，由已學知識進一步解決更多的問題。

五、加強學生思維訓練，增強探究的效能

學生探究思維的培養并非一日之功。在學生日常的學習中，教師鼓勵學生多加思考，更好地加強和鞏固學生的探究思維。

高中課本中的概率統計學，其實就是從隨機現象出發，推導這些現象發生的概率，形成一定的數學模型，得到一般的總結性規律，最后再將這些規律運用到其他數學問題中去。因此，無論是隨機現象中的概率事件分類中，還是在對立事件的講解中，又或是在古典概型和幾何概型的學習中，教師都可以在每一堂課的學習過程中向學生提出一些探究式問題，如：“古典概型和幾何概型有哪些具體的應用？”“概率事件能與哪些其他內容聯系起來？”這類問題需要學生去自主學習、研究和探索，鼓勵同學之間相互交流。在經過這樣長期的、持續的訓練之后，探究性思考才能成為學生的一個習慣，而學生的自主學習能力也將因此得到很大的提高。

總之，統計和概率這部分內容有利于培養學生的辯證性思維。學生會根據統計和概率中相關知識的特點去判定事件的類型，之后運用相關的數學知識去解決問題，求出概率或者得出統計的最終報告。