本科學生對抽象代數教學改革的反思

宇文韜 彭振赟 李詠徽 王佐鴻 李美美

摘要：抽象代數是數學里十分重要的一門課程，它總結歸納了前人對代數學研究的理論精髓，又為后人研究更復雜的數學知識提供理論基礎。然而掌握抽象代數的知識對學生而言卻并非易事。本文從本科學生的角度討論抽象代數的知識難點和在學習抽象代數過程中會遇到的困惑與阻礙。并且從教學的整體觀念和關鍵章節的局部理解上分別進行討論，對初學者如何更容易理解抽象代數的問題給出可能的方法與建議。

關鍵詞：抽象代數;課堂教學;教學方法;教學改革反思

1. 引言

抽象代數已存世百年之久，從伽羅瓦引入群的概念起，更有近兩百年歷史[1]。其間，抽象代數讓數學家感到精神上的愉悅;讓數學體系更為完善嚴謹，體現了數學的內在美[2]。更是總結了一切舊代數學的成果，繼而開代數幾何、代數數論、代數拓撲之先河，也為費馬大定理、尺規作圖、多項式的解等世紀難題提供了解答，甚至在晶體學、信息、力學等領域大放異彩。然而對初學抽象代數的本科生而言，抽象晦澀的內容卻使他們望洋興嘆。另一方面，當代大學生更喜愛快餐式學習，厭倦系統沉悶的教學方式，也更擅長瀏覽性的獲取知識[3]。生活節奏的加快，課時縮短，業余興趣的多元化等也擠壓了學習時間[4]。本文將從學生角度反思學習抽象代數時遇到的問題，并給出可能的解決方法。

2. 抽象代數學習時會遇到的困難

第一，抽象代數本身過于抽象，許多理論在引入時無法給學生足夠時間和例子用來輔助理解。但除了顯而易見的“過于抽象”外，還有一個容易被忽視的問題：學生在接受陌生理論時，往往會對知識本身有質疑心理。這本來有利于學生的能力培養，但學生質疑一個新理論時，往往同時產生抗拒心理。

過于抽象還體現在命題的陳述化或符號化的表達上，有的是符號表達簡單卻用陳述法表達，但有的則相反。如以下兩個對Jordan-H?lder定理的描述：

定理1：任一有限群的所有合成群列的長度均相等，且它們的合成因子在不計順序的意義下對應同構。

定理2：設G是一個有限群，下面兩個群列都是G的合成群列：

則r=s且存在（1，2， …，r）上的置換σ，使：

第二，學生無法快速掌握學習的脈絡和內容的關系，分不清重難點。有時候可能會囿于次要的內容之中。正所謂“一葉障目，不見泰山”，學生課堂上和自學期間的注意力是有限的，一旦書本中和課堂上過于困難和無意義的東西太多，那么這些東西就不僅會浪費學生的時間，更會消磨學生的學習積極性。而書籍為了嚴謹，必須要有大量的引理和證明等次要內容。然而初學者不可能快速把握教材的行文脈絡和重點內容，因此學生在閱讀這些時感到疲倦也不足為奇。

第三，抽象代數定義和命題過多，名詞易混淆，以至于十分容易遺忘。

例如：循環群，置換群，交換群，交錯群，輪換，對換，對稱群。

再如：同構，自同構，恒等自同構，自然同態，內自同構，內自同構群。

又如：Galois群，Galois域，Galois擴域，Galois對應。等。

這些名稱對教師而言是顧名思義的，循環群就是一個元素的若干次冪會變成其本身，是一個循環;交換群就是滿足交換律的群。但對于初學者而言，他們很難在初學時就掌握這些的內涵;即使掌握，也并不能熟練的區分和應用。而在后續的學習中，學生們很可能會忘記一個名詞的含義，也可能把多個名詞、對應的性質混淆，以致感到混亂。

第四，由于學習順序，學生對后續較為簡單的理論也會產生畏難心理。

第五，其它原因。如學生在第一次接受集合的元素也是集合的或者集合的元素是映射的情況時會感到較難理解或分辨不清，手機及其它誘惑源的影響等等。

3. 以學生角度對教學進行反思

3.1教學順序的反思

當下教材主要是按照群環域的順序教授的。這樣的確會使書籍編寫嚴謹，后面的內容也可借鑒前面的知識，環環相扣。但對學生而言更熟悉、更易接受的反而是域。但從域論講起勢必使教學過程顯得過于臃腫。所以最好在第一課就引導學生對全書做鳥瞰，從熟悉的知識中總結環和域，進一步抽象出群的特點，然后以講解群論內容為主。

3.2教學方式的反思

抽象代數知識繁多冗雜，極易記混遺忘。因此復習已經學過，且下節課要用到的知識比預習更重要：教師最好以作業形式復習下節課所需的知識，或在上課前幾分鐘復習本節課需要的理論。遇到名稱相似，內容類似的理論時注意辨析。

授課時未必要線性地講解每一節課的內容，或者說在提出一個定理后不用立刻給出證明，而是可以先講解完所有與該定理有關的命題后再做證明。這樣有利于學生整體把握知識的結構，了解知識的連貫性。先對知識做概覽，用后面的知識幫助理解前面的理論也是一個較好的選擇。

對于翻轉課堂，也可借用上似順序。但鑒于抽象代數難度大課時緊，很多學生并不完全理解這種新的教學模式，因此翻轉課堂必然會受到阻力，且效果可能不會十分明顯。這也決定了教師的主導作用必須較強。

4. 教學建議

等價類與等價關系的是不重不漏的分類，這種思想貫穿整個抽象代數，所以一定要盡早告訴學生。

群環域的概念的引出可通過線性空間進一步簡化得到：線性空間數乘改為乘法，抽象為環，對乘法添加條件變為域，對域的加法與乘法分別研究，抽象為群。

群和群同態理論的名詞含義很多，對名詞含義辨析和區分十分重要，混淆詞舉例在第二節已經提到。同構兩定理在后續很少用到，所以不需要太多介紹。

本科階段理想的定義只需要理解交換幺環的理想，而交換幺環的理想內元素與生成子空間內元素在形式上是一致的。同時，費馬大定理與代數數論的建立是一個很好的數學史內容。

域擴張與正規擴域中，維數的概念（若E在F上是線性空間，則維數記為[E：F]）可能會令一部分初學者無法理解，因為學生在學習高等代數時常常會忽略F的意義，在學習抽象代數中就會帶來困難。另一個是對“域擴張”的理解，域擴張是一個主謂短語，但許多人初學時會將之理解為偏正短語。但如果按照后者理解，那么域擴張就成了一個動詞——這會使學生感到奇怪。

Galois理論的主要難點是學生不理解Galois群的元素也是映射的事實，初學者也容易被復雜的映射關系搞混。

以上是從本科生角度對抽象代數教學進行的反思與總結，并在文章中提出了一些可能有用的教學方法與方式。更希望本文能夠拋磚引玉，為教師的教學與學生的理解提供建議和新的觀點。

參考文獻

[1]杜宛娟.數學史融入抽象代數教學的思考[J].教育現代化，2018，5（48）： 246-247，250.

[2]王保紅，魏屹東.對抽象代數的哲學審視[J].自然辯證法研究，2008（09）： 26-31.

[3]王致蘭.淺析高職學生厭學心理及輔導對策[J].才智，2012（11）：285-286.

[4]劉曉芬，常青，甘棠.論學習態度對90后大學生英語學習的影響[J].中國校外教育，2010（16）：38.

作者簡介

1.宇文韜（1998～），男，河北石家莊人;學士、桂林電子科技大學學生;研究方向：數學與應用數學

2.彭振赟（1963～），男，湖南邵東人;博士、桂林電子科技大學教授;研究方向：數值代數

3.李詠徽（2000～），女，吉林吉林人;學士、桂林電子科技大學學生;研究方向：數學與應用數學

國家自然科學基金項目：2020，桂林電子科技大學，多重約束條件下矩陣最優化問題的有效算法研究（11961012）

桂林電子科技大學 數學與計算科學學院 廣西壯族自治區桂林 541010