龍伯透鏡天線的原理及其研究進展

臧雅丹，朱永忠，宋曉鷗，陳軍峰

(武警工程大學 a.信息工程學院;b.裝備管理與保障學院，西安 710086)

0 引 言

龍伯透鏡是基于幾何光學理論提出的一種折射率漸變的特殊透鏡[1]，最初為球形結構。隨著電磁理論的發展，變換光學理論應運而生，目前有坐標變換理論[2]、保角變換理論[3]和準保角變換理論[4]。球形透鏡在此基礎上演變為變形透鏡，分別是橢圓透鏡天線、半球透鏡天線和平面透鏡天線。

由于自然界中不存在折射率漸變的天然材料，制備梯度折射率分布的龍伯透鏡天線成為主流。通過分層或打孔可以實現梯度折射率分布：現有的分層方法有折射率增量恒定法、介電常數增量恒定法、折射率比或介電常數比恒定法、等厚度分層法以及最大最小優化分層法[5-7]；現有的打孔方法有垂直入射波開孔法和平行入射波開孔法[8-10]。

龍伯透鏡天線的制備技術不斷發展，目前主要有主要有發泡技術、超材料技術、3D打印技術。饋源的性能對透鏡天線的性能起決定性作用。龍伯透鏡的饋源隨著需求的增多也有了很大發展，由傳統的單個喇叭天線和微帶天線向帶有極化特性和寬帶特性的介質桿天線、相控陣天線、圓弧陣列天線拓展，有利于透鏡天線實現更高增益、更低的副瓣電平、更廣的波束掃描范圍和更好的波束切換控制能力。

如今，龍伯透鏡天線的應用多集中在軍用戰機、軍用艦艇、遙感遙測、衛星通信、電子對抗和雷達反射器，隨著5G技術與毫米波的發展，龍伯天線也在無線通信基站中得到了廣泛應用。

本文介紹了龍伯透鏡天線的原理和研究進展，給出了發展建議，可供相關人員參考。

1 龍伯透鏡天線理論基礎

龍伯透鏡天線相關理論起源較早，經過近80年的發展衍化出包括幾何光學理論、變換光學理論、分層理論、開孔理論在內的復雜理論體系，這些理論均為龍伯透鏡天線的設計與制備提供了依據。

1.1 幾何光學理論與變換光學理論

1.1.1 幾何光學理論

幾何光學理論可以看作麥克斯韋方程的零波長近似，基本原理包括費馬原理、等光程定律、斯涅爾定律。1944年，物理學家Luneburg在其著作《光的數學理論》中提出了一種折射率漸變的球形透鏡，被命名為龍伯透鏡[1]。理想龍伯透鏡具有幾何軸對稱特性和良好的波束聚焦性能，可以將任意方向的入射波匯聚在球面上，也可以將從球面或近球面某點輻射出的球面波轉化為平面波，出射波束一致性好，光程圖如圖1所示。

圖1 理想龍伯透鏡光程圖

該透鏡因其特殊的光學性能被引入電磁領域，用于電磁波的發送或接收。理想龍伯透鏡的折射率n滿足

(1)

式中：R是球形透鏡的最大半徑，r是透鏡內一點到球心的距離，n是透鏡在該點的折射率，εr是透鏡在該點處的相對介電常數。

1.1.2 變換光學理論

變換光學理論是通過計算和控制物理空間中的介電常數與磁導率分布，從而人為操縱電磁波的傳輸路徑的理論。根據變換光學理論可以改變龍伯透鏡天線形狀和介電常數分布而不影響天線的性能，目前主流的方法有坐標變換法、保角變換法和準保角變換法[11]。

坐標變換法產生于英國教授Pendry在2006年提出的一種變換光學理論[2]。根據麥克斯韋方程的形式不變性，可以將三維笛卡爾坐標下的電磁場變換至任意形狀，并根據變換前的電場矢量E、磁場矢量H和波印廷矢量B計算出變換后的介電常數ε和磁導率μ。通過在非均勻電磁材料中引入呈梯度分布的折射率達到控制光線的方法，可以用來設計透鏡和其他光學元件，如電磁斗篷、隱身材料和變形透鏡等。

保角變換法產生于英國教授Leonhardt在2006年提出的一種變換光學理論[3]。保角變換的概念來自復變函數論。對于一個復變函數，

w=g(z)=g(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) 。

(2)

它可以看作復平面z到另一個復平面w的映射，當此映射滿足柯西-黎曼方程時即為保角映射。保角映射具有兩條曲線變換前后夾角不變的性質，Leonhardt將其用于變換光學之中，提出了一種引導光傳播的方法。使用保角變換法設計得到的電磁參數是各向同性的，使透鏡制備變得更加容易。

雖然坐標變換法和保角變換法使龍伯透鏡形態多樣化，進一步推廣了其在實際中的應用，但仍存在電磁參數要求高和保角變換實現困難的問題。2008年，Li和Pendry在兩者的基礎上提出了準保角變換法，兼具前者設計靈活簡單和后者電磁參數各向同性的優點[4]，是目前應用最廣泛的透鏡天線設計方法。此方法首先根據麥克斯韋方程計算得出坐標變換后的介電常數ε和磁導率μ，然后代入柯西-黎曼方程和拉普拉斯方程得出具有各向同性的電磁參數。

1.2 分層理論與開孔理論

由于自然界中不存在介電常數連續變化的電磁材料，所以在設計和制備龍伯透鏡過程中常利用梯度介電常數分布等效連續介電常數分布，以達到相同的改變電磁波傳播路徑的效果。實現介電常數梯度分布理論包括分層理論和開孔理論。

1.2.1 分層理論

分層理論出現較早且理論簡單，應用更為廣泛。文獻[12]從分析徑向分層介質中的電磁場出發，利用電磁場全波分析理論和球面矢量波函數分析了在饋源任意的情況下球形或三維龍伯透鏡的電場分布和磁場分布，并求出了嚴格的解析表達式。文獻[5]認為可以通過將球體分層以逼近理想透鏡的折射率分布，提出了折射率增量恒定法、介電常數增量恒定法、折射率比或介電常數比恒定法三種分層方法。文獻[6]在文獻[12]的理論基礎上計算得出饋電點處的電流和磁流以及輻射方向圖的特性，并提出等厚度分層法，同時指出分層層數增加對透鏡輻射性能的改善作用是有限的。文獻[13]依據幾何光學法和分層理論制備了實際中的龍伯透鏡，采用聚苯乙烯、石英、聚四氟乙烯作分層介質實現兩層形式。文獻[27]提出最大最小優化分層法，使得球形透鏡的增益更高、旁瓣電平更低。

1.2.2 開孔理論

除分層理論外，開孔理論也可以實現梯度介電常數分布。文獻[8-9]提出了一種開孔方法，即在垂直入射電場的方向或相近的方向上開孔，通過控制孔密度實現控制介電常數，進而實現透鏡層的匹配，但是這種方法但是這只能在較窄的頻率內實現，不利于天線實現寬帶化。與前一種方式不同，文獻[10]認為在平行于電場的方向開孔有利于實現寬波束特性，并且可以在單層透鏡上通過開孔密度改變介電常數，提出介電常數與孔隙率公式，并將圓盤分為打孔密度控制區和厚度控制區。隨著超材料技術和3D打印技術的發展，透鏡天線的開孔變得更為簡易[14-15]。

2 龍伯透鏡天線分類

龍伯透鏡天線包括球形龍伯透鏡天線和變形龍伯透鏡天線，其中變形龍伯透鏡天線產生于變換光學理論，目前主要有三種不同結構的變形透鏡天線，即橢圓龍伯透鏡天線、半球龍伯透鏡天線和平面龍伯透鏡天線。

2.1 球形龍伯透鏡天線

由幾何光學理論可得球形龍伯透鏡天線中心處εr=2，球殼處εr=1，整體介電常數低，目前在5G通信基站中得到了實際應用。文獻[15]設計出六層球形龍伯透鏡天線，通過控制每層的孔隙率實現梯度介電常數，如圖2(a)所示。文獻[16]設計了一個五層球形龍伯透鏡天線，通過控制每層的厚度實現梯度介電常數。文獻[17]使用錐削狀介質單元設計出在介電常數1.5～1.98區間內具有與理想龍伯透鏡天線相同介電常數分布的球形龍伯透鏡，如圖2(b)所示。但是球形龍伯透鏡天線存在口徑效率偏低的客觀缺陷[18]，將直接影響天線的增益，故部分學者著手研究口徑效率更高的變形透鏡天線。

圖2 球形龍伯透鏡天線[15,17]

2.2 變形龍伯透鏡天線

變形龍伯透鏡天線基于變換光學理論改變了透鏡的形狀與介電常數，為龍伯透鏡天線提供了更多可供選擇的電磁材料。它既具有傳統球形透鏡高方向性、低旁瓣、寬波束的特點，又具有口徑效率高、搭載方便、易于共形、便于制備的優勢。

2.2.1 橢圓龍伯透鏡天線

橢圓透鏡天線既具有球形透鏡的寬波束掃描能力，又具備低剖面特性，是較為接近球形透鏡性能的變形透鏡，它由變換光學法[2-4]衍生。文獻[19]最早提出用橢圓透鏡代替球型透鏡，利用坐標變換法[2]和介電常數增量恒定法[5]設計了一個六層橢圓透鏡，如圖3(a)所示，并研究了饋源天線和透鏡天線之間距離對天線功率和方向性的影響：當饋源中心與透鏡中心距離約等于λ時，天線性能達到最佳。文獻[20]根據廣義龍伯透鏡折射率公式提出一種橢圓龍伯透鏡折射率公式，研究了可調參數δ對透鏡焦距的影響，利用分層部分介質填充平行板波導的方法制作了一個由喇叭天線饋電的橢圓透鏡天線。文獻[21]利用3D打印技術制作了五層打孔的橢圓透鏡天線，饋源為九元相控陣，如圖3(b)所示。文獻[22]提出了一個由橢圓龍伯透鏡組成的1×2陣列，較好地解決了解決透鏡遮擋造成的反射缺失問題，如圖3(c)所示，并使用局部波束轉移法[23]使饋源數量和耦合程度減少的同時保持天線掃描特性不變。但橢圓結構不具備穩定性，在工程中需加設穩定裝置，增加了制備的復雜程度，因此實際應用并不廣泛。

圖3 橢圓龍伯透鏡天線[19,21-22]

2.2.2 半球龍伯透鏡天線

半球龍伯透鏡天線由變換光學法[2-4]衍生，目前在多頻段衛星通信中取得實際應用。通常半球透鏡的饋源有兩種放置方式：上方放置與側面放置。文獻[24]指出，使用半球透鏡加反射板的結構可以等效為整個球形透鏡的性能，能有效降低天線剖面高度。文獻[25]對比不同形狀(圓形、正三角形、正方形和正六邊形)開孔的透鏡天線介電性能后，提出一種徑向開六邊形孔的半球狀龍伯透鏡天線，天線Ku/Ka頻段中能夠實現收發雙工，雙層喇叭饋源放置于透鏡兩側，如圖4(a)所示。文獻[26]設計出三層半球透鏡天線，Vivaldi天線作為饋源置于半球上方，如圖4(b)所示。文獻[27]中的半球透鏡天線在側面搭載改進的介質桿天線后，在Ku頻段和Ka頻段內實現了線極化和圓極化，饋源置于半球透鏡的側面，如圖4(c)所示。

圖4 半球透鏡的饋源天線[25-27]

2.2.3 平面龍伯透鏡天線

平面龍伯透鏡是基于變換光學法[2-4]提出的變形龍伯透鏡。文獻[28]研究了在使用同一微帶天線作饋源條件下球形龍伯透鏡天線和變形龍伯透鏡天線的性能，通過仿真實驗證明平面龍伯透鏡可以在實現最低剖面的同時實現最高增益，明顯優于其他類型的龍伯透鏡天線。同時，使用變換光學法設計的平面龍伯透鏡可以提高介電常數并壓縮剖面，改善了體積龐大、重量重、表面彎曲、不易制備等問題，應用前景最為廣泛。

文獻[29]認為通過改變兩平行波導板間不同位置處電介質柱的分布及其半徑來實現龍伯透鏡的介電常數變化，在兩個平行板波導之間激發兩個相位恒定的正交模來實現圓極化，如圖5(a)所示。文獻[30]中設計的平面透鏡天線以空氣作為主材料，由10個E形微帶貼片天線進行饋電，外設2個平行板、內設491根半徑3 mm的環氧樹脂柱，通過調整平行板之間環氧樹脂柱的位置和數量來實現三層等效介電常數，如圖5(b)所示。文獻[31-34]采用部分填充介質的方法。文獻[31]認為整個平行板波導中的介電常數是徑向位置的連續函數，并通過在平行板波導之間填充厚度隨圓柱半徑變化的均勻介質制備出平面透鏡天線。文獻[32]提出了一種以空氣作為填充材料的平面龍伯透鏡天線，該天線通過變換兩個空氣填充的平行平板波導的間距來逼近龍伯透鏡的介電常數分布。文獻[33-34]通過3D打印技術在兩平行波導板間堆疊了六層電磁材料，圖5(c)為文獻[33]中平面透鏡天線二維平面圖。文獻[35]使用超材料技術上實現了梯度介電常數分布。此外，平面龍伯透鏡天線在降低旁瓣電平方面也取得一定進展，如圖5(d)所示。文獻[36]在透鏡兩側平面加設一對蝕刻金屬網格的PCB降低了旁瓣電平。

圖5 平面龍伯透鏡天線[29-30,33,36]

3 龍伯透鏡天線的制備技術

自龍伯透鏡天線被提出以來，如何制備龍伯透鏡成為一個橫亙在學術界的難題。經過不斷探索，目前最常用的龍伯透鏡制備有三種，分別是熱發泡技術、3D打印技術、超材料技術，另有其他非典型技術已在前文中提到。

利用熱發泡技術制備龍伯透鏡是向塑料樹脂材料中加入高介電常數添加劑并進行發泡、熟化和塑形。此技術最早開始實用，其產品密度低、質量輕，但工藝流程繁瑣。常見發泡劑有高密度聚乙烯(High Density Polyethylene,HDPE)、聚四氟乙烯(Poly Tetra Fluoroethylene,PTFE)、聚苯乙烯(Polystyrene,PS)等。工藝中加入添加劑(如鈦酸鍶鋇、鈦酸銅鋇)提高介電常數，加入金屬或導電非金屬微量元素降低材料密度[37-38]。

利用3D打印技術制備龍伯透鏡是根據設計好的天線模型在單位體積內填充介質材料以實現不同的電磁參數，其中使用最廣泛的是熔融沉積工藝(Fused Deposition Modeling,FDM)，文獻[15，39]通過控制聚乳酸(Polylactic Acid,PLA)和尼龍(Nylon,PA)的單位體積填充率實現了介電常數的改變。但FDM中廣泛使用的丙烯腈-丁二烯-苯乙烯共聚物(Acrylonitrile Butadiene Styrene Copolymers,ABS)、PLA和PA難以達到變形龍伯透鏡的高介電常數，因此學者針對介電常數改性進行了大量研究。文獻[40]向PLA中添加不同重量百分率的鈦酸鋇粉末制成了BaTiO3/PLA復合材料，使介電常數由2.3變為2.35、2.79和3.02。

利用超材料技術制備龍伯透鏡是通過改變非諧振單元的孔徑大小以實現在一定頻率范圍調控電磁波的折射率，此技術重在對單元結構的設計。

4 龍伯透鏡天線的分析對比

從四種結構的龍伯透鏡天線中選取11個天線進行性能分析比較，如表1所示。不同結構的龍伯透鏡天線應用領域各有不同，但整體而言都可以實現寬波束掃描、波束切換控制、高增益和低旁瓣電平。球形透鏡與橢圓透鏡結構穩定性較差、剖面高、不易共形，但透鏡的焦點區域與饋源的相位中心容易重合，與饋源的匹配程度較好；半球透鏡天線結構穩定性強，兩種饋源放置方式致使半球透鏡可搭載的饋源種類多樣，但未實現小型化和低剖面；平面透鏡天線剖面最低，結構穩定性最強，饋源搭載較為容易，其波束掃描范圍與形狀密切相關。

表1 龍伯透鏡天線性能對比

5 饋源對龍伯透鏡的性能影響分析

在工程中，電磁波由饋源天線輻射后產生經龍伯透鏡天線折射后向自由空間傳遞，故龍伯透鏡天線必定搭載饋源天線。對于同一透鏡天線而言，饋源天線輻射出的電磁波極化特性影響透鏡天線輻射出的電磁波極化特性,饋源天線產生的波束數目與透鏡天線的掃描范圍正相關,饋源天線與透鏡天線的距離影響透鏡天線的增益、方向性和旁瓣電平。

5.1 饋源的極化特性

一般而言，饋源天線決定透鏡天線的極化特性：若饋源天線產生線極化波，則透鏡天線輻射圓極化波；若饋源天線產生圓極化波，則透鏡天線輻射圓極化波。文獻[41]設計了4×4陣列天線作饋源，陣列單元是加設隔板的圓孔徑喇叭天線，如圖6所示，可以同時在兩個端口分別輻射左旋圓極化波和右旋圓極化波。但對于部分具有平行波導板的變形透鏡天線，當饋源天線產生線極化波時，可在兩個平行板波導之間激發兩個相位恒定的等幅正交模來實現圓極化[29]。

圖6 加設隔板的喇叭饋源天線[41]

5.2 饋源的波束數目

一般而言，饋源天線的波束數目還決定透鏡天線的波束數量、掃描范圍和波束切換控制能力。通常透鏡輻射波束數目與陣列天線的單元數目相等，波束越多掃描范圍越大。通常相控陣天線更適用于寬波束掃描，且具有更好的波束切換控制能力。文獻[22]設計了由21個微帶縫隙天線組成的圓弧相控陣，每個天線都放在圓柱透鏡的焦點位置，如圖7(a)所示。文獻[24]設計了由15個E型微帶貼片天線組成的直線相控陣，如圖7(b)所示，在饋源輻射下透鏡能夠產生15個波束，掃描范圍達到±50°。但為了便于制備，文獻[42]提出了局部波束轉移法，認為可調整兩個相鄰天線元的輻射振幅產生額外振幅而龍伯透鏡天線增益保持不變，這樣就可以用較少天線元產生較多波束。研究表明，對于陣列饋源天線，當單元數目相同時，直線饋源陣列與圓弧饋源陣列兩者在增益和旁瓣電平方面沒有太大區別，但后者能實現更高的角度覆蓋[43]，如圖7(c)所示。文獻[32]使用的就是圓弧饋源陣列。

圖7 陣列饋源天線[22,24,32]

5.3 饋源與透鏡的距離

在天線設計完成后，整體的方向性、增益、副瓣電平與饋源天線和透鏡天線間的距離d密切相關，若要提高透鏡天線的性能，則需使饋源中心與透鏡的焦點區域相重合，即控制焦徑比。工程中，通過調節饋源中心與透鏡中心距離以得出饋源的最佳位置，此過程通常需要仿真計算。對于不同的天線需具體問題具體分析：文獻[16]經CST仿真分析得出當圓錐喇叭天線與球形透鏡天線相距1.1R時天線增益最高,方向性最強,旁瓣電平最低，達到最佳性能；文獻[19]經HFSS仿真分析得出當微帶貼片天線與橢圓透鏡天線相距λ時天線增益最高,方向性最強,旁瓣電平最低。

6 結束語

龍伯透鏡天線能夠控制電磁波的傳播路徑，可將入射波由球面波轉化為平面波，在軍用和民用方面均有廣闊的應用前景。本文介紹了龍伯透鏡天線理論、制備技術，對比了11個天線，指出除透鏡天線自身的結構會對性能產生影響外，饋源也會對龍伯透鏡天線的頻帶范圍、極化特性、掃描角度、增益和旁瓣電平等性能產生至關重要的影響。

總體來說，以下兩個方面有待進一步研究：一是針對龍伯透鏡的介電常數分布，優化實際工程中介電常數與半徑的函數關系，設計出能實現介電常數連續分布的龍伯透鏡天線；二是針對波束掃描技術，通過優化透鏡形狀和設計多波束形成網絡提高龍伯透鏡天線的波束掃描性能。