“操作”讓學(xué)生在矛盾沖突中提升數(shù)學(xué)思維
——以《三角形的三邊關(guān)系》為例

江蘇省蘇州市吳中區(qū)郭巷實驗小學(xué) 張麗娟

《三角形的三邊關(guān)系》是在學(xué)生初步了解三角形定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形邊的特征。受已有知識經(jīng)驗的支撐，學(xué)生對于怎樣的三條線段才能圍出三角形是模糊的，需要通過觀察、操作、對比、驗證、歸納等探索過程逐步去把握本質(zhì)。而在這一探索過程中，對于兩邊之和等于第三邊的這種情況的判斷，無論是在得出了三邊關(guān)系之前研究還是之后研究，都不可避免會受操作思維的影響。同樣的，掌握了三角形三邊關(guān)系后，更進(jìn)一步對于“只要兩條較短的邊的長度之和大于最長邊”也就符合了任意兩邊之和大于第三邊的推導(dǎo)，對四年級學(xué)生來說也是比較抽象的。因此，在學(xué)習(xí)的過程中需要學(xué)生帶著問題，在活動操作中將數(shù)和形有機(jī)融合、借形頓悟、以數(shù)釋形，才能抓住圖形的本質(zhì)，增進(jìn)對三角形三邊關(guān)系的本質(zhì)理解。

一、實驗操作，促進(jìn)理解

蘇教版四年級上冊學(xué)生已經(jīng)知道了“兩點之間線段最短”，那么為什么不能直接利用這一結(jié)論讓學(xué)生理解“三角形任意兩邊長度和大于第三邊”？看似緊密聯(lián)系，學(xué)生接受起來簡單易懂，但他們往往難以洞悉結(jié)論背后隱藏的數(shù)學(xué)推理。因此，在教學(xué)過程中得還原數(shù)學(xué)的思考過程，巧妙地化數(shù)為形、以形觀數(shù)，將枯燥的推理形象化、直觀化。

本節(jié)課，從學(xué)生動手操作、收集實驗數(shù)據(jù)、觀察比較起始，通過任意選三根不同長度的小棒圍三角形，引導(dǎo)學(xué)生操作實驗并判斷“能否圍成三角形”，再觀察三根小棒的長度和圍的結(jié)果，說說有什么發(fā)現(xiàn)。

【教學(xué)片段一】

談話：3cm、4cm、8cm這三根小棒大家一致認(rèn)為是圍不成的，想一想：究竟是什么原因圍不成三角形呢？

學(xué)生交流：黃色和藍(lán)色小棒的長度和小于紅色小棒的長度。

談話：黃色和藍(lán)色小棒的長度和小于第三根小棒，三根小棒不能首尾相接，所以不能圍成三角形。（課件演示）

提問：你能用一個式子表示圍不成三角形的原因嗎？（結(jié)合回答板書“3+4＜8”）

學(xué)生通過親身體驗，發(fā)現(xiàn)“3厘米、4厘米、8厘米”這三根小棒不能圍成三角形，雖然只是學(xué)生操作的直觀感受，卻為學(xué)生探究三角形三邊關(guān)系提供了方向支持。進(jìn)而產(chǎn)生質(zhì)疑“為什么圍不成”，由此展開思考。這些直觀的表象和感受為學(xué)生進(jìn)一步探索知識積累了豐富的活動經(jīng)驗，為進(jìn)一步理解三角形三邊的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。

二、沖突思辨，深入理解

【教學(xué)片段二】

談話：3cm、5cm、8cm這三根小棒有的小組認(rèn)為可以圍成，有的小組認(rèn)為不可以圍成，認(rèn)為不能圍成的，你們是怎么想的？

表4和表5是實證結(jié)果的穩(wěn)健性檢驗。本文根據(jù)人均工資水平來判斷哪些企業(yè)受到了最低工資規(guī)定的影響。據(jù)Draca 等(2005，2011)[18,19]以及Rebecca Riley等(2017)[20]的研究，最有可能受到最低工資規(guī)定影響的是那些勞動力成本較低的企業(yè)。雖然無法基于本文的研究樣本對其進(jìn)行檢驗(需要企業(yè)員工個體工資數(shù)據(jù)，本文樣本并不具備)，但是根據(jù)穩(wěn)健性檢驗結(jié)果來看，這種判斷方式具有一定的合理性。

學(xué)生交流：兩根小棒的長度和正好等于最長的小棒，那么這三根小棒就會重合在一起。

談話：你能借用生活經(jīng)驗進(jìn)一步說明為什么圍不成三角形嗎？

生1：彎路肯定比直路長。

生2：兩根小棒加起來等于下面的小棒，那么直路和彎路肯定會重合在一起。

生3：既然重合在一起了，不能圍成一個三角形。

小結(jié)：是的，當(dāng)兩根小棒的長度和等于第三根小棒時，它們首尾相接時必定會重合。（課件動態(tài)演示）

在探究3厘米、5厘米、8厘米這三根小棒能否圍成三角形時，為了減少圍時產(chǎn)生的誤差，很多課例為選取合適的實驗材料動足了腦筋，但始終不能保證每個孩子在實驗過程中都能避免誤差。

按照教材的設(shè)計意圖，在剛開始的教學(xué)過程中，我遇到了這樣幾種情況。第一，通過前面的探索、驗證，學(xué)生已經(jīng)知道“三角形任意兩邊之和一定要大于第三邊才能圍成三角形”，由此學(xué)生順理成章地想到“兩邊之和等于第三邊肯定圍不成三角形”。既然規(guī)律已經(jīng)得出并得到了驗證，再要求學(xué)生想象、證明，意義何在？第二，為了避免操作的影響，教學(xué)中讓學(xué)生通過想象理解“當(dāng)兩邊之和等于第三邊時，三邊正好重合，是圍不成三角形的”。但實際課堂中還是有部分學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑，并生出了想動手操作來證實的欲望。繞開錯誤就是繞開認(rèn)知過程的豐富性，既然始終不能讓每個學(xué)生信服，為什么不在一開始就將問題暴露出來呢？

因此，我在之后的教學(xué)過程中做了調(diào)整，讓學(xué)生仍然經(jīng)歷圍的過程，產(chǎn)生矛盾沖突，通過思辯、想象、說理，結(jié)合公理“兩點之間線段最短”與生活中的路線問題，通過兩點之間“彎路”肯定比“直路”長的常識，引導(dǎo)學(xué)生溝通兩根較短小棒的長度和就相當(dāng)于“彎路”，較長的小棒長度就相當(dāng)于“直路”。如果兩邊之和等于第三邊，那就必定是重合在一起，是拱不起來的。以此讓學(xué)生深刻感悟數(shù)學(xué)知識的探索不僅需要舉例驗證，也需要說理驗證，實驗操作可以輔助我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但同時也不能忘記用數(shù)學(xué)的眼光更深入地思考問題，而這兩者本身并不矛盾。

三、激發(fā)需求，主動理解

【教學(xué)片段三】

提問：那能圍成三角形的三根小棒的長度間又有什么關(guān)系呢？

學(xué)生交流：兩邊之和大于第三邊。

追問：你指的是哪兩條邊與哪條邊相比？

生1交流。

追問：還有補(bǔ)充嗎？

生2補(bǔ)充。

提問：你能用式子表示出你的發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生交流：3＋4＞5，3＋5＞4，4＋5＞3。

追問：在這個三角形中，你也能得出這樣的式子嗎？

學(xué)生交流：4＋5＞8，4＋8＞5，5＋8＞4。

提問：觀察這兩組式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生交流：能圍成三角形的三根小棒，任意兩根小棒的長度之和都大于第三根小棒。

提問：是不是所有的三角形三邊之間都有這樣的規(guī)律呢？我們需要進(jìn)一步驗證！怎樣驗證呢？

通過前面兩種情況的認(rèn)知與理解，學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)需求與欲望，即究竟“怎樣的三根小棒才能圍成三角形”？接下來的探索即是學(xué)生的“再創(chuàng)造”過程。同時，“能圍成三角形的三根小棒長度間有什么關(guān)系”是本節(jié)課學(xué)生理解三角形三邊關(guān)系所需要探索的核心問題。但在實際教學(xué)過程中，學(xué)生往往不能主動想到只有當(dāng)三根小棒中任意兩根長度的和大于第三根時，才能圍成一個三角形。可能一開始學(xué)生考慮的都是兩根較短的小棒長度大于較長的小棒就能圍出三角形，但此時的認(rèn)知恰巧是因為“兩根較短邊長度和大于較長邊也就符合任意兩邊之和大于第三邊”產(chǎn)生的錯誤表象，沒有真正意義上理解什么是任意兩邊之和大于第三邊。因此，在組織學(xué)生討論、交流時，可以適時引導(dǎo)學(xué)生“你發(fā)現(xiàn)這兩根小棒的長度和大于這一根小棒，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎”？引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)：三角形任意兩邊的長度和大于第三邊。進(jìn)而再產(chǎn)生質(zhì)疑“是不是所有的三角形三邊之間都有這樣的關(guān)系呢”？這個問題讓學(xué)生進(jìn)一步產(chǎn)生探索需求，在眾多的實例中順理成章地得出結(jié)論。

用“數(shù)”分析“形”，使直觀的圖形更形象，凸顯圖形的本質(zhì)特征，又促進(jìn)學(xué)生有效理解知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的條理性和嚴(yán)密性。

四、全面認(rèn)知，有效理解

在實際教學(xué)過程中，往往還會出現(xiàn)這樣的情況：根據(jù)三邊數(shù)據(jù)，學(xué)生觀察、比較、思考后，部分學(xué)生很自然地歸納出“三角形兩短邊之和大于最長邊就能圍成三角形”這個結(jié)論。如果直接利用這個結(jié)論繼續(xù)下面的學(xué)習(xí)活動，不向?qū)W生揭示“任意”也沒帶來什么學(xué)習(xí)上的困擾和麻煩。那么，在這樣的結(jié)論出來后，是否一定要再引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察其他兩邊和第三邊的關(guān)系，從而得出“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”，突出“任意”一詞？況且，學(xué)生利用自己歸納出的結(jié)論也能比較順利地開展接下去的學(xué)習(xí)活動。教材何不遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)的演進(jìn)邏輯，直接出示“三角形兩短邊之和大于長邊”這一結(jié)論，而非要舍近求遠(yuǎn)、棄易求難？

隨著教學(xué)研究的深入，我逐步感悟到：“三角形兩短邊之和大于長邊”這種說法有它的局限性，如等腰三角形、等邊三角形，而數(shù)學(xué)講究知識的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性。另外，這兩者本身并不矛盾與沖突，“三角形兩短邊之和大于長邊”，也就保證了“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”，即：短邊＋長邊＞短邊。反之，理解了“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”，就能發(fā)現(xiàn)判斷時只要看“兩短邊之和大于長邊”即可。因此，在練習(xí)中則需要引導(dǎo)學(xué)生把“任意兩邊之和大于第三邊”延伸到“只要判斷兩條短邊之和大于第三邊”上。當(dāng)然，這里的延伸并不是回到學(xué)生認(rèn)知的原初，而恰恰是認(rèn)知的升華，是進(jìn)一步邏輯推理的呈現(xiàn)。

總之，一節(jié)數(shù)學(xué)課應(yīng)最大限度地引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)全過程，在知識的探索過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。