關(guān)于初中幾何試題的研制對(duì)策探究

郭國(guó)盛 王亞坤

摘 要：初中數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，特別初中幾何是初中數(shù)學(xué)的重要部分，對(duì)數(shù)學(xué)技能要求較高。文章對(duì)數(shù)學(xué)能力、技能、焦虛及初中幾何教學(xué)與探索進(jìn)行了論述。通過(guò)幾何教學(xué)的案例及2021年福建省中考幾何綜合試題的解題分析，進(jìn)行初中幾何試題研制及應(yīng)用研究。

關(guān)鍵詞：初中幾何;數(shù)學(xué)能力;數(shù)學(xué)技能;數(shù)學(xué)焦虛

作為初中數(shù)學(xué)老師的我們，已任教多年，談一談初中幾何教學(xué)之我見：

數(shù)學(xué)是一門古老而常新的工具學(xué)科，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念。數(shù)學(xué)有七大能力，包括：抽象概括能力、空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)，其中運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力是數(shù)學(xué)的三大基本能力。

初中數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，特別初中幾何是初中數(shù)學(xué)的重要部分，屬于平面幾何，對(duì)數(shù)學(xué)技能要求較高，其中解題過(guò)程經(jīng)常要做好幾條輔助線，遇到解決問(wèn)題困難會(huì)產(chǎn)生“數(shù)學(xué)焦虛”。

數(shù)學(xué)技能是指通過(guò)學(xué)習(xí)而形成的合法則的數(shù)學(xué)活動(dòng)方式，屬于動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)。它所要解決的是完成活動(dòng)所要求的動(dòng)作會(huì)不會(huì)與熟不熟練的問(wèn)題，一般分為操作性技能（如使用運(yùn)算工具的技能、測(cè)量技能、作圖技能等）和心智技能（如審題技能、解析技能、運(yùn)算技能、檢驗(yàn)技能等）。

數(shù)學(xué)焦慮是指學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中產(chǎn)生的一種憂慮等緊張狀態(tài)，主要源于對(duì)數(shù)學(xué)的錯(cuò)誤認(rèn)知以及過(guò)去的消極經(jīng)驗(yàn)。實(shí)際教學(xué)中應(yīng)首先從矯正學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知偏差入手，并貫穿教材選編、教學(xué)活動(dòng)安排，教學(xué)成效評(píng)估等各方面。

作為數(shù)學(xué)教師具有專業(yè)知識(shí)后，還要學(xué)習(xí)了解最新的學(xué)科研究成果，懂得教育規(guī)律，研究學(xué)生的心理狀況。教學(xué)中還要做到語(yǔ)言幽默和正確運(yùn)用教育理論，關(guān)注教材知識(shí)點(diǎn)的變化與更新，及時(shí)學(xué)習(xí)和掌握新知，充實(shí)豐富本學(xué)科的專業(yè)知識(shí)。

其次，師者，所以傳道授業(yè)解惑也。顧名思義，在數(shù)學(xué)教學(xué)中首先培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，與學(xué)生打成一片，通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活實(shí)例來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究初中幾何。授課中要循循善誘，給學(xué)生一定的思考時(shí)間，比如以案例一進(jìn)行授課。以北師大七年級(jí)下冊(cè)第四章第3節(jié)第1課時(shí)探索三角形全等條件（SSS）為例：

提出幾個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生思考并解決。問(wèn)題1：什么是全等圖形？問(wèn)題2：全等三角形有什么性質(zhì)？問(wèn)題3：對(duì)兩個(gè)三角形來(lái)說(shuō)，以下六個(gè)條件中至少要滿足幾個(gè)條件，才能確保△ABC≌△A′B′C′呢？

AB=A′B′;BC=B′C′;AC=A′C′;∠A=∠A′;∠B=∠B′;∠C=∠C′。（此處的問(wèn)題設(shè)置非常到位，目標(biāo)精準(zhǔn)明確，有的放矢。）

讓學(xué)生思考幾分鐘并解決問(wèn)題：?jiǎn)栴}1答案：能夠完全重合的兩個(gè)圖形，是全等圖形。問(wèn)題2答案：全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等。

教師引導(dǎo)探究：?jiǎn)栴}4：?jiǎn)栔辽傩枰獛讉€(gè)條件，我們應(yīng)該從幾個(gè)條件開始探究呢？問(wèn)題5：探究哪個(gè)呢，怎么分類探究呢？問(wèn)題6：只滿足一個(gè)條件時(shí)，能否保證兩個(gè)三角形全等？（讓學(xué)生黑板上畫圖演示，加深理解和記憶）問(wèn)題7：接下來(lái)該怎樣探究呢？問(wèn)題8：兩個(gè)條件怎么選取和分類呢？問(wèn)題9：只滿足兩個(gè)條件時(shí)，能否保證兩個(gè)三角形全等呢？（讓學(xué)生黑板上畫圖演示，加深理解和記憶）

讓學(xué)生思考幾分鐘并解決問(wèn)題：?jiǎn)栴}4答案：一個(gè)。問(wèn)題5答案：一組角相等或一組邊相等。問(wèn)題6答案：一組角相等或一組邊相等。問(wèn)題7答案：探究只滿足兩個(gè)條件時(shí)，能否保證兩個(gè)三角形全等？問(wèn)題8答案：一組角對(duì)應(yīng)相等，一組邊對(duì)應(yīng)相等;兩組角對(duì)應(yīng)相等;兩組邊對(duì)應(yīng)相等。問(wèn)題9答案：不能。

教師引導(dǎo)探究：?jiǎn)栴}10：接下來(lái)該怎樣探究呢？問(wèn)題11：三個(gè)條件怎么選取和分類呢？問(wèn)題12：三組角對(duì)應(yīng)相等兩三角形全等嗎？

讓學(xué)生思考幾分鐘并解決問(wèn)題：?jiǎn)栴}10答案：探究滿足三個(gè)條件時(shí)，能否保證兩個(gè)三角形全等？問(wèn)題11答案：三組角對(duì)應(yīng)相等;三組邊對(duì)應(yīng)相等;兩組角對(duì)應(yīng)相等，一組邊對(duì)應(yīng)相等;兩組邊對(duì)應(yīng)相等，一組角對(duì)應(yīng)相等。問(wèn)題12答案：不能。教師：你能舉出反例嗎？學(xué)生：老師的大三角板和學(xué)生的小三角板。

教師引導(dǎo)探究：?jiǎn)栴}13：三組邊對(duì)應(yīng)相等，能否保證兩個(gè)三角形全等？（學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐：將課前準(zhǔn)備的小紙條分折成三段長(zhǎng)，并將其圍成三角形，并觀察與同桌之間的三角形存在什么樣的關(guān)系。）

最后教師引導(dǎo)：1）你能把你的發(fā)現(xiàn)和同學(xué)們分享一下嗎？2）能夠把這一事實(shí)用文字語(yǔ)言準(zhǔn)確描述出來(lái)嗎？學(xué)生回答（教師幫助解決）：學(xué)生1：會(huì)全等。學(xué)生2：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。可簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”。

以上是幾何教學(xué)探索過(guò)程。這樣學(xué)生通過(guò)理解后，會(huì)牢固掌握知識(shí)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)后，教師要求學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)表示初中幾何的定理且熟練掌握數(shù)學(xué)符號(hào)表示的內(nèi)容和寫好初中幾何的證明格式。

學(xué)生學(xué)好初中幾何知識(shí)后，要教會(huì)學(xué)生怎么運(yùn)用所學(xué)初中幾何知識(shí)去分析及解決問(wèn)題。以2021年福建省中考試卷第24題的幾何題為例分析如何解決初中幾何問(wèn)題。下面文章從不同的角度來(lái)解析問(wèn)題：

24. 在正方形ABCD中，E、F為邊AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為A′，AA′的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G。

（1）求證：DE∥A′F;

（2）求∠GA′B的大小;

（3）求證：A′C=2A′B。

方法一：

先分析：（1）根據(jù)已知條件中正方形ABCD可推出四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為A′，則根據(jù)對(duì)稱的知識(shí)可得DE⊥AA′于點(diǎn)T，AT=A′T;E、F為AB的三等分點(diǎn)，則可推出AE=EF=FB，由平行線等分線段性質(zhì)可推出DE∥A′F。

（2）要求∠GA′B的大小，看圖預(yù)測(cè)其角度大約為45度，題中又有好幾個(gè)直角，作BM⊥AG于M（先試下不行再用其他路徑，作輔助線要先用鉛筆畫下，若行不通再更改），若能證明A′M=BM，又由∠A′MB=90°，問(wèn)題就解決了，因?yàn)镈E∥A′F，可證DE∥A′F∥BM，由平行線等分線段性質(zhì)可得AT=TA′=A′M，由證明△DAT≌△ABM可得AT=BM=TA′=A′M，又由∠A′MB=90°可得△A′BM為等腰直角三角形，∠GA′B=45°，則就解決問(wèn)題了。

（3）要證明A′C=2A′B，要運(yùn)用（1）第題和第（2）題的結(jié)論當(dāng)成已知條件來(lái)輔助證明，因?yàn)椤螱A′B=45°，聯(lián)想到正方形的對(duì)角線平分對(duì)角且平分的兩個(gè)角都為45°，就做輔助線連接AC，可證：△TAE≌△MBG則可得∠TAE=∠MBG，則∠CAA′=45°-∠TAE，∠A′BA=∠ABG-∠MBG=90°-45°-∠MBG，則∠CAA′=∠ABA′，其中A′C與A′B分別是△CAA′和△ABA′的兩條邊，△CAA′與△ABA′形狀相似，若能證明△CAA′∽△ABA′且相似比為2，問(wèn)題就解決了。

由（2）的證明可知并設(shè)AT=AA′=A′M=BM=t，則由勾股定理可得，A′B=2t，AB=10t，AC=25t，則利用兩邊成比例且夾角相等的判定，ACAB=25t10t=2，AA′A′B=2t2t=2，又因?yàn)椤螩AA′=∠ABA′，則△CAA′∽△ABA′且相似比為2，∴CA′AA′=ACAB，CA′2t=25t10t，則CA′=22t。又∵A′B=2t，∴CA′=2A′B（解題過(guò)程不寫出來(lái)了）

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高地各不同。”分析的角度不同解法就不同，就有方法二（中考試卷的標(biāo)準(zhǔn)答案），解題分析：

第（2）題（如上圖）連接FG，先利用正方形的性質(zhì)證明△DAE≌△ABG，可得AE=BG，又FB=BG可得△FBG是等腰直角三角形，∠GFB=45°，取FG的中點(diǎn)O，連接OA′，OB，在Rt△A′FG和Rt△BFG中，由斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OA′=OF=OG=12FG，OB=OF=OG=12FG，則OA′=OF=OG=OB，所以點(diǎn)A′，F(xiàn)，B，G都在以FG為直徑的⊙O上，即四點(diǎn)同圓，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠GA′B=∠GFB=45°。

第（3）題設(shè)AB=3b，則AD=BC=3b，AF=2b，AE=BF=b。

由（2）得BG=AE=b，利用三角函數(shù)可求∠BAG=∠A′AF且正切值為13，可得A′FAA′=13，設(shè)A′F=t，則AA′=3t，在Rt△A′AF中，由勾股定理，得AF=10t，則10t=2b，t=10b5，A′F=10b5，在Rt△ABG中，由勾股定理AG=10t。利用兩邊成比例且夾角相等的判定，A′FA′G=BFCG=12，∠A′FB=∠A′GC，可證△A′FB∽△A′GC則A′BA′C=BFCG=12，所以A′C=2A′B。（利用三角函數(shù)、勾股定理和證明△A′FB∽△A′GC相似來(lái)解決問(wèn)題。）

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是使自己掌握一項(xiàng)技能，為祖國(guó)的建設(shè)做貢獻(xiàn)，應(yīng)該滿懷信心奮發(fā)拼搏，為祖國(guó)貢獻(xiàn)自己的力量。我們通過(guò)不斷學(xué)習(xí)、實(shí)踐、反思、總結(jié)，形成具有獨(dú)特的教育教學(xué)風(fēng)格，有效提高自己的課堂教學(xué)效率，掌握最新教學(xué)理念和方法，在課堂實(shí)踐中努力提高駕馭課堂能力和親和力，與學(xué)生打成一片，提高反思能力。加強(qiáng)個(gè)人修養(yǎng)，提高個(gè)人師德水平，做一個(gè)學(xué)生喜歡，家長(zhǎng)滿意、領(lǐng)導(dǎo)放心的好教師——“三尺講臺(tái)，志樹十萬(wàn)英才”。

參考文獻(xiàn)：

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[2]宋宜樺.韓愈《師說(shuō)》的當(dāng)代教育啟示[J].品位·經(jīng)典，2021（17）：9-11+28.

作者簡(jiǎn)介：

郭國(guó)盛，福建省漳州市，漳州臺(tái)商投資區(qū)華僑中學(xué);

王亞坤，福建省廈門市，廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)。