基于框架理論的最小陣元數稀疏陣綜合算法研究 *

陶海紅, 郭晶晶

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室, 陜西西安 710071)

0 引言

天線陣列綜合問題包括陣型優化和綜合權值優化。在天線重量、體積和成本有限時如衛星平臺、導航、飛機等，要獲得大孔徑天線，最小陣元設計是首要考慮的方法[1-7]。

文獻[8]的貝葉斯壓縮感知 (BCS)[9-10]算法通過將對稱陣列優化問題轉換為稀疏約束優化框架,并通過貝葉斯壓縮感知 (BCS)算法求解,可以有效地減少陣列中的天線元件數量。但文中假設陣元加權只有實部，且陣元分布對稱。針對這一問題，文獻[11]提出了基于多任務貝葉斯壓縮感知算法(multi-task BCS)[12]的最小陣元稀疏陣綜合方法，適用于權值為復數，陣列不對稱的線陣最小陣元稀疏陣綜合問題；文獻[13-15]將單任務貝葉斯壓縮感知(ST-BCS)以及多任務貝葉斯壓縮感知(MT-BCS)應用于最小陣元稀疏面陣、最小陣元稀疏共形陣以及最小陣元稀疏同心圓環陣中，仿真結果都較為理想，但超參數的選擇對不同陣元規模的方向圖綜合問題影響不同，針對不同問題需要做多次實驗得到一組適用的超參數，不具有普遍適用性。且在處理面陣問題時，陣元稀疏率只能達到0.64。而本文采用的算法，同一組參數可用于任意規模的線陣與面陣。

本文采用框架理論，將備選陣元位置稀疏化，利用權值的模值大小表示該位置陣元的選擇與否，通過次優反饋的零空間追蹤硬閾值算法[16]得到滿足近似條件的最小l0范數權值解，即得到最小陣元的稀疏陣以及該位置陣元的加權值。線陣與平面陣的仿真結果說明了算法的有效性。

1 陣型的稀疏框架建模

1.1 線陣的稀疏框架問題建模

不失一般性，假設目標為遠場窄帶信號,模型示意圖如圖1所示。

圖1 線陣示意圖

若來波方向θ如圖1所示，對于N個陣元的任意線陣，陣列導向矢量可表示為

a(θ)=[a1,a2,a3,…,aN]T

ai=exp(j2πdisinθ/λ),i=1,2，…,N

(1)

式中，λ為波長，di為第i個陣元與參考點之間的距離。

當期望來波方向為θp時，陣列方向圖P(θ)可表示為

P(θ)=a(θp)H*a(θ)

(2)

為實現低副瓣要求，一般會在陣元后加權值W，則加權后陣列方向圖P(θ)可表示為

(3)

式中,⊙表示矩陣點乘。

(4)

最小化陣元稀疏陣綜合問題即可簡化為

(5)

1.2 平面陣的稀疏框架問題建模

陣列放置于y0z平面，參考位置為原點，方位角φ和俯仰角θ的定義如圖2所示。

圖2 面陣示意圖

與線陣類似，N陣元平面陣的普通波束形成方向圖可表示為

P(θ，φ)=(a(θp,φp)⊙W)H*a(θ,φ)

(6)

式中,

(7)

其中θp,φp分別為目標俯仰角與方位角，W為陣列加權值，pos為N個陣元在笛卡爾坐標系下的三維坐標矩陣。

假設方位角與俯仰角都取M個值，即P是M*M的復矩陣。

(8)

(9)

最小化陣元稀疏面陣綜合問題即可簡化為

(10)

1.3 問題模型簡化

由于本文算法適用于實數問題，而陣列方向圖優化一般為復數問題。只有當參考陣元位置對稱時，陣列方向圖只有實部，可直接使用第三部分的算法優化得到陣元位置與陣元加權值。其他情況下需將復數問題實數化。

(11)

其中,real(·)表示取實部，imag(·)表示取虛部。

實數化后，問題可重新表示為

(12)

(13)

2 次優反饋的零空間追蹤硬閾值算法

針對問題

(14)

由于矩陣A是列滿秩，行稀疏的，可用針對非凸問題的帶反饋的零空間追蹤硬閾值算法來實現稀疏約束。

一個零空間追蹤基本算法的框架為[16]

(15)

證明：

(16)

(17)

常規硬閾值算法的解為

(18)

(19)

其最優解為

(20)

算法為

(21)

由于矩陣逆運算的復雜度較高，可將以上算法改進為

(NST+HT+subFB)

(22)

NST+HT+subFB算法流程：

循環B外循環:當H1?ε1成立，

令H2=1,s=s+1;

內循環: 當H2?ε2成立，

利用公式(20),計算[wk+1,uk]

內循環結束

外循環結束

將|wk+1|降序排列，取前s個值及其所在位置，得到對應的陣元位置；

由于算法NST+HT+subFB需要在外循環中將稀疏陣元數s從1開始遞增，適用于稀疏率較低的問題，即稀疏陣元數目較少。在處理稀疏陣元數目較多或參考陣元數目較多的問題時，計算復雜度高、耗時長且最終效果不太理想。

NST+HT+subFB+cumS算法流程：

循環A: 當H2?ε2成立，

利用公式(20),計算[wk+1,uk]

若K-s>=s_step

s=s+s_step

循環結束

循環B 外循環:當H1?ε1成立，

令H2=1,s=s+1;

內循環： 當H2?ε2成立，

利用公式(20),計算[wk+1,uk]

內循環結束

外循環結束

將|wk+1|降序排列，取前s個值及其所在位置，得到對應的陣元位置；

將NST+HT+subFB算法與NST+HT+subFB+cumS算法統一用流程圖即圖3表示。

圖3 算法框圖

3 仿真實驗與性能分析

仿真1 不同陣元規模的切比雪夫權值均勻線陣方向圖稀疏陣綜合

a) 40陣元的切比雪夫權值均勻線陣方向圖稀疏陣綜合

參考方向圖為40陣元切比雪夫權值均勻線陣方向圖；備選陣元位置間隔均勻排列為[-25*λ/2:λ/10:25*λ/2]，方向圖角度θ∈[-45,45](單位：rad)，仿真結果如圖4、圖5所示，與參考算法的性能比較如表1所示。

圖4 仿真1 a)的方向圖

圖5 仿真1 a)的陣元位置

表1 仿真1 a)的4種算法對比

針對參考方向圖陣元數目較少情況，所提算法與基于稀疏貝葉斯學習的最小陣元位置優化算法相同，可優化得到符合要求的陣元位置。NST-HT-cum與NST-HT相比，由于首先計算了初始選取元素的數目，加快了算法的速度，誤差更小。

b) 300陣元的切比雪夫權值均勻線陣方向圖稀疏陣綜合

參考方向圖為300陣元切比雪夫加權均勻線陣的方向圖；備選陣元位置間隔均勻排列為[-150*λ/2:λ/10:150*λ/2]，方向圖角度θ∈[-45,45](單位：rad)，仿真結果如圖6、圖7所示，與參考算法的性能比較如表2所示。

圖6 仿真1b)的方向圖

圖7 仿真1b)的陣元位置

表2 仿真1b)的4種算法對比

對于參考方向圖的陣元數目較大情況，仿真證明了所提算法也可以優化得到滿足要求的方向圖。與基于稀疏貝葉斯學習的最小陣元位置優化算法相比，在陣元數目增多時，所提算法優勢顯現。

仿真2 任意方向圖的線陣稀疏陣綜合

a) 平頂主瓣方向圖的稀疏陣綜合

參考方向圖為給定的平頂主瓣方向圖；備選陣元位置間隔均勻排列為[-25*λ/2:λ/10:25*λ/2]，方向圖角度θ∈[-90,90](單位：rad)，仿真結果如圖8、圖9所示，與參考算法的性能比較如表3所示。

圖8 仿真2a)的方向圖

圖9 仿真2a)的陣元位置

表3 仿真2 a)的4種算法對比

對于給定的非對稱方向圖，仿真證明了算法NST-HT與NST-HT-cum的有效性。與基于BCS的優化算法相比，所提算法優化后的陣元數目更少；與基于MT-BCS的優化算法相比，所提算法更加吻合給定的方向圖。

b) 雙平頂主瓣方向圖的稀疏陣綜合

參考方向圖為給定的雙平頂主瓣方向圖，主瓣位置為[-45,-35]∪[35,45]；備選陣元位置間隔均勻排列為[-30*λ/2:λ/10:30*λ/2]，方向圖角度θ∈[-90,90]，仿真結果如圖10、圖11所示，與參考算法的性能比較如表4所示。

圖10 仿真2 b)的方向圖

圖11 仿真2 b) 的陣元位置

表4 仿真2 b)的4種算法對比

對于給定的雙平頂主瓣方向圖，算法NST-HT與NST-HT-cum同樣有效。與基于BCS的優化算法相比，所提算法的方向圖增益更高；與基于MT-BCS的優化算法相比，所提算法更加吻合給定的方向圖；算法NST-HT與算法NST-HT-cum的結果相類似。

仿真3 8*8面陣的切比雪夫方向圖稀疏陣綜合

參考方向圖為 8*8的面陣，加權方式為切比雪夫權值；y0z平面備選陣元位置呈柵格分布y∈[-10*λ/2:λ/10:10*λ/2],z∈[-10*λ/2:λ/10:10*λ/2]，方位與俯仰角：θ∈[-45,45],φ∈[-45,45](單位：rad)，仿真結果如圖12～圖15所示，與參考算法的性能比較如表5所示。

圖12 仿真3的方向圖

圖13 仿真3俯仰維方向圖

圖14 仿真3方位維方向圖

圖15 仿真3陣元位置圖

表5 仿真3的4種算法對比

針對給定的8*8平面陣的方向圖，所提算法優化結果可在降低陣元數目的情況下，實現低旁瓣方向圖綜合。基于BCS的算法在處理面陣問題時效果較差。基于MT-BCS的算法可以實現陣元數目的降低，但與所提算法相比誤差較大、陣元數目較多且增益低。在備選陣元位置多的情況下，算法NST-HT-cum比算法NST-HT所用時間有明顯減少，且優化后陣元數目更少。觀察優化得到的4張陣元位置圖，不難發現陣元位置似乎是呈現圓形或六邊形分布。正如我們所知，圓形或六邊形分布陣元的方向圖主副比更低。

4 結束語

基于NST-HT的最小陣元方向圖綜合算法適用于線陣或面陣陣元位置和陣元加權優化問題，可實現符合誤差要求的任意給定方向圖綜合。相比基于BCS和MT-BCS方向圖綜合算法，所提算法在備選陣元位置較多時，所綜合得到的陣元位置更少，誤差更小。仿真實驗證明了算法的有效性。