基于可觀性分析的高精度空間目標跟蹤方法 *

周 琳， 刁偉峰， 王 祎

(南京電子技術研究所， 江蘇南京 210039)

0 引言

隨著各國航天技術迅速發展，地球周圍空間產生了包括航天器、火箭末級和空間碎片等在內的大量人造物體，對空間目標態勢的感知和掌握，是人類不斷開拓視野、不斷進步的過程[1-2]。空間態勢感知包括對空間目標的探測、跟蹤、識別，對空間事件的評估和預報等[3],空間態勢感知是人類開展航天活動的基礎。空間態勢感知按照信息源的部署位置劃分，主要分為地基和天基兩類，與地基相比，天基不會受到天氣、環境和地緣條件的限制，可長時間對空間目標進行觀測。同時，諸多實踐證明，天基觀測平臺對于監視空間目標很有優勢，能夠很好地彌補地基觀測設備的不足[4]。因此，天基態勢感知受到了廣泛關注。

空間目標跟蹤是天基空間態勢感知的關鍵技術之一。目前，空間目標跟蹤主要分為測距跟蹤和測角跟蹤[3]。測距跟蹤主要是采用有源、主動式的工作方式，利用微波雷達、激光雷達等傳感器獲取到的目標測距信息進行跟蹤定軌。測距跟蹤具有較高的跟蹤精度，但傳感器功耗較大，且有源主動工作方式使其隱蔽性較差。測角跟蹤是空間目標中更常見的跟蹤方式，利用光電傳感器獲取到的測角信息進行定軌，采用無源、被動式的工作方式。此外，為了進一步提升空間目標跟蹤性能，獲取更加精確的狀態估計結果，可以使用多顆觀測衛星對同一個目標進行跟蹤[5],并使用非線性的濾波算法[6]，進一步提升空間目標跟蹤能力。

空間目標跟蹤系統的可觀測性是能通過濾波估計獲得較好跟蹤精度的先決條件。因此，研究跟蹤系統可觀測性有助于選擇相應的策略提升系統的可觀測性，進一步改善系統的跟蹤性能。本文針對傳統空間目標跟蹤精度不高的問題，提出一種基于可觀測性分析的高精度空間目標跟蹤方法。首先，基于Fisher信息矩陣法定義了一種新型可觀性指標，并以空間目標跟蹤為背景，針對采用天基雷達，天基紅外或地基雷達所得到的不同量測模型系統分別給出了可觀性指標值，并選出一種可觀性指標值最大的空間目標量測模型。接著，基于無跡卡爾曼濾波和選擇的量測模型，實現空間目標跟蹤。本文基于可觀性指標篩選出觀測值較高的空間目標跟蹤測量方案，進而提高空間目標跟蹤精度。

1 空間目標動力學模型與測量模型

本文采用地心固連坐標系OXYZ，大地坐標系和傳感器本體坐標系，分別如下所示。

1) 地心固連坐標系OXYZ坐標原點O位于地心，OX軸為格林尼治子午線與赤道面正向交線的方向，OZ軸垂直于赤道面并指向地球的北極，OY軸由OZ軸與OX軸根據右手螺旋定律確定。

2) 大地坐標系包括大地緯度Be、經度Le以及高度He。大地緯度Be為赤道平面與地球橢球面法線的夾角，向北為正，大地經度Le為在赤道面內從格林尼治向東度量的角度，大地高度He為從地球橢球表面量起的法向距離。

3) 傳感器本體坐標系OSXSYSZS的坐標原點OS為傳感器的中心位置，OSXS軸為地心O與傳感器的中心OS連線的延長線，OSZS軸為在OSXS軸與地球自轉軸組成的平面內并垂直于OSXS軸，OSYS由OSZS軸與OSXS軸根據右手螺旋定律確定。

在OXYZ坐標系下，假設空間目標的位置r和速度v分別為

(1)

式中：x，y，z表示在OXYZ坐標系3個方向的位置；vx，vy，vz表示在OXYZ坐標系3個方向的速度矢量。

根據文獻[7]，可得在OXYZ坐標系下，考慮J2項攝動的影響，空間目標的軌道動力學方程為

(2)

(3)

式中：μe為地球引力常數，且μe=3.986 006 4×1014m3/s2；ωe為非慣性坐標系的角速度，根據文獻[7]中的WGS-84模型，ωe=7.292 115×10-5rad/s；J2為參考地球模型的J2項攝動常數，且J2=1.082 626 836×10-3；r為空間目標到地心的距離；Re為地球赤道半徑且Re=6.378 14×106m；ce為

(4)

選取狀態變量X=[rT,vT]T，且假設太陽光壓力攝動等未建模攝動的影響為零均值高斯白噪聲，根據式(2)和式(3)，得到空間目標的連續狀態方程為

(5)

式中：w為未建模系統誤差，是零均值高斯白噪聲，且E(wwT)=Q。

根據式(5)，空間目標的連續狀態方程在變量Xk-1處采用四階Runge Kutta方法展開，得到如下空間目標的非線性離散狀態方程：

Xk=f(Xk-1)+wk-1

(6)

假設衛星i(i=1, 2) 在OXYZ坐標系下的位置矢量為ri(i=1, 2)，衛星的緯度和經度分別為φ和θ，則空間目標在OSXSYSZS坐標系下的位置矢量rSi為

rSi=MOXYZ→OSXSYSZS(ri-rS) (i=1, 2)

(7)

式中，MOXYZ→OSXSYSZS為OXYZ坐標系到OSXSYSZS坐標系的轉移矩陣，且

(8)

圖1表示傳感器本體坐標系。如圖 1所示，rSi=(xSi,ySi,zSi)表示空間目標在OSXSYSZS坐標系下的位置矢量，α和β分別為方位角和俯仰角，且

(9)

圖1 傳感器本體坐標系

本文是基于天基雷達傳感器，在雙星觀測情況下，采用測角測量和測距測量，根據式(9)，考慮到測角誤差和測距誤差，測量方程為

Z=g(X)+v=

[α1,β1,rS1,α2,β2,rS2]T+v

(10)

式中：rSi(i=1,2)表示位置矢量rSi(i=1,2)的模；v為測量誤差，是零均值高斯白噪聲，且E(vvT)=R；Z為某一時刻空間目標在兩顆衛星的傳感器本體坐標系下測角和測距的測量值。

根據式(10)，得到非線性離散觀測狀態方程：

Zk=g(Xk)+vk

(11)

2 無跡卡爾曼濾波

根據式(6)與式(11)，可得空間目標的雙星天基雷達測量的離散化數學模型為

(12)

由于當系統非線性程度較高時，傳統卡爾曼濾波及其改進型擴展卡爾曼濾波算法精度會降低甚至會引發濾波發散。因此本文采用Julier和Uhlman[8]提出的無跡卡爾曼濾波方法。相比傳統卡爾曼濾波及其改進型[9]，UKF法不需要解析求解雅克比矩陣，且易工程實現。而且，由于UKF法采用確定性采樣的方法，其在處理非線性估計時具有較高精度[10]。

無跡卡爾曼濾波過程如下：

1) 初始條件設置

(13)

(14)

2) 采樣點確定

(16)

3) 計算時間更新

(17)

(18)

(19)

4) 計算觀測更新

(20)

(21)

(22)

(23)

5) 計算濾波增益和濾波更新

(24)

(25)

(26)

上述為UKF濾波算法的詳細步驟，該算法針對非線性高斯系統，采用無跡變換對稱采樣的方式得到的狀態估計值能夠精確到Tayor展開級數3階[11]。針對任意非線性系統，狀態估計值逼近精度到Tayor展開級數2階[11]。本文測量方程的非線性程度較高，因此采用UKF算法進行空間目標的狀態估計。

3 Fisher信息矩陣法

空間目標跟蹤系統可觀性是能通過濾波估計獲得較好的跟蹤精度的先決條件。因此，研究跟蹤系統可觀性有助于選擇相應的策略提升系統的可觀性，進一步改善系統導航性能。非線性系統可觀性計算矩陣判斷方法比線性系統更為復雜，本文通過線性化假設近似計算非線性系統可觀性矩陣的Fisher信息矩陣法[12]。

首先對系統狀態方程(6)和觀測方程(11)進行線性化，得到線性化的系統模型：

(27)

式中，Φk和Hk分別表示狀態轉移矩陣和觀測轉移矩陣，且

(28)

(29)

線性化后的信息的遞推更新過程為

(30)

由于Fisher信息矩陣的逆代表著無偏估計的所能達到的誤差下線，因此可以利用該矩陣來衡量跟蹤系統的狀態估計性能。通常，可以使用Fisher信息矩陣的行列式或跡來度量系統可觀性，行列式或跡的值越大，空間目標跟蹤系統可觀性更好。本文基于Fisher信息矩陣的跡，定義Ω表示可觀測性因子，選取所有離散時刻中Fisher信息矩陣的跡的最大值來定義可觀測性因子Ω的值，并利用該參數描述空間目標跟蹤系統的可觀測性，且

Ω=logζ1{max[det(F)]-ζ2}

(31)

式中,det(F) 表示Fisher信息矩陣的行列式，ζ1，ζ2表示可觀測性因子參數，且ζ1=10，ζ2=9.996 999 71×1047。

4 仿真與分析

對近地軌道飛行衛星編隊進行仿真，考慮到地球J2項攝動的影響，以地球WGS-84模型為參考對象，采用如式(6)所示的動力學模型，比較三種不同的測量模型：①雙星均攜帶天基紅外傳感器；②一星攜帶天基雷達傳感器一星攜帶天基紅外傳感器；③雙星均攜帶天基雷達傳感器。基于雙星編隊對空間目標的跟蹤數據，采用UKF算法實現空間目標在OXYZ坐標中精確定位。本文所采用的參考衛星，伴隨衛星和空間目標的初始狀態矢量如表 1所示。

表1 初始狀態矢量

本文初始狀態估計誤差ΔX，初始協方差矩陣P0，初始Fisher信息矩陣F0和系統狀態方程噪聲協方差矩陣Q如下所示：

(32)

(33)

F0=inv(P0)=

(34)

(35)

測量模型1為雙星均攜帶天基紅外傳感器，則測量模型1為

Z1=g1(X)+v1=[α1,β1,α2,β2]T+v1

(36)

測量模型1的測量方程噪聲協方差矩陣R1為

(37)

測量模型2為一星攜帶天基雷達傳感器一星攜帶天基紅外傳感器，則測量模型2為

Z2=g2(X)+v2=

[α1,β1,α2,β2,rS2]T+v2

(38)

測量模型2的測量方程噪聲協方差矩陣R2為

(39)

測量模型3為雙星均攜帶天基雷達傳感器，測量模型3如式(10)所示。測量模型3的測量方程噪聲協方差矩陣R為

(40)

基于上述參數和式(31)，得出三種不同的測量模型情況下可觀測性因子值如表2所示。測量模型3的可觀測性因子值最高，測量模型1的可觀測性因子值最低。因此雙星編隊上攜帶天基雷達傳感器時，可觀測性因子值最好，此時該空間目標跟蹤系統的跟蹤性能最好。圖2表示三種不同的測量模型情況下空間目標跟蹤精度。在圖2中，橫坐標為時間，縱坐標為位置估計標準差以10為底的對數。如圖2所示，測量模型3的空間目標跟蹤精度最高，測量模型1的空間目標跟蹤精度最低，因此，雙星編隊上攜帶天基雷達傳感器時，空間目標跟蹤精度最高，與采用可觀測性因子的分析結果一致，驗證了可觀測性因子的有效性。

表2 三種不同的測量模型情況下可觀測性因子值

圖2 三種不同的測量模型情況下空間目標跟蹤精度

5 結束語

針對傳統空間目標跟蹤精度不高的問題，提出一種可觀測性分析的高精度空間目標跟蹤方法。首先，基于Fisher信息矩陣法定義了一種新型可觀性指標，并以空間目標跟蹤為背景，針對采用天基雷達，天基紅外或地基雷達所得到的不同量測模型系統分別給出了可觀性指標值，并選出一種可觀性指標值最大的空間目標量測模型。接著，基于無跡卡爾曼濾波和選擇的量測模型，實現高精度的空間目標跟蹤。相對于僅天基紅外，天基紅外與天基雷達相結合兩種方案，僅天基雷達的空間目標跟蹤測量方案具有較大的可觀測性指標值，進而具有較高目標跟蹤精度。最后，數值仿真驗證了該方法的有效性。