幾何圖形中的整式乘法

楊金林

把整式的乘法運算和圖形相結合，能充分體現數形結合思想在整式乘法中的作用，下面舉例說明.

例1 圖1①是一個長為2a、寬為2b（a>b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖1②那樣拼成一個正方形，則中間空余部分的面積是（ ）.

A. ab? ? ? B. （a + b）2? ? ? C. （a - b）2? ? ? D. a2 - b2

解析：中間部分的四邊形是正方形，邊長是a + b - 2b = a - b，則面積是（a - b）2.

故應選C.

例2 如圖2，在長方形ABCD中放入一個邊長為8的大正方形ALMN和兩個邊長為6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）. 3個陰影部分的面積滿足2S3 + S1 - S2 = 2，則長方形ABCD的面積為（ ）.

A. 100 ? ? B. 96 ? ? ? C. 90 ? ? ? ? D. 86

解析：設長方形ABCD的長為a，寬為b，則由已知條件可得：

面積為S1的陰影部分的長為8 - 6 = 2，寬為b - 8，則S1 = 2（b - 8），

面積為S2的陰影部分的長為8 + 6 - a = 14 - a，寬為6 + 6 - b = 12 - b，則S2 = （14 - a）（12 - b），

面積為S3的陰影部分的長為a - 8，寬為b - 6，則S3 = （a - 8）（b - 6），

∵2S3 + S1 - S2 = 2，∴2（a - 8）（b - 6） + 2（b - 8） - （14 - a）（12 - b） = 2，

∴2（ab - 6a - 8b + 48） + 2b - 16 - （168 - 14b - 12a + ab） = 2，∴ab - 88 = 2，∴ab = 90.

故應選C.

同類演練

如圖3①，將邊長為x的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成如圖3②所示的長方形. 這兩個圖能解釋下列哪個等式（ ）.

A. x2 - 2x + 1 = （x - 1）2? ? ? ? ? ? ? B. x2 - 1 = （x + 1）（x - 1）

C. x2 + 2x + 1 = （x + 1）2 D. x2 - x = x（x - 1）

答案：B