整式乘法中的數(shù)學(xué)思想

鄒興平

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的金鑰匙. 在整式乘法的計(jì)算過(guò)程中，同學(xué)們應(yīng)注意多種數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用.

一、方程思想

例1 若多項(xiàng)式（x2 + mx + n）（x2 - 3x + 4）展開(kāi)后不含x3項(xiàng)和x2項(xiàng). 試求m，n的值.

解析：展開(kāi)式不含x3項(xiàng)和x2項(xiàng)，說(shuō)明x3項(xiàng)和x2項(xiàng)的系數(shù)都為0，由此列方程組即可.

（x2 + mx + n）（x2 - 3x + 4） = x4 + （m - 3）x3 + （n - 3m + 4）x2 + （4m - 3n）x + 4n，

由展開(kāi)后不含x3項(xiàng)和x2項(xiàng)，得[m - 3 = 0，n - 3m + 4 = 0，]解得[m = 3，n = 5.]

二、整體思想

例2 已知2a2 + 3a - 6 = 0， 求代數(shù)式3a（2a + 1） - （2a + 1）（2a - 1）的值.

解析：化簡(jiǎn)所求式后，把已知等式變形后整體代入求值即可.

由2a2 + 3a - 6 = 0，得2a2 + 3a = 6，原式 = 6a2 + 3a - 4a2 + 1 = 2a2 + 3a + 1 = 6 + 1 = 7.

三、數(shù)形結(jié)合思想

例3 如右圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積為 （用含x的代數(shù)式表示）.

解析：觀(guān)察并利用圖形中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合長(zhǎng)方形面積公式即可解答.

（x + 2）（x + 3） = x2 + 5x + 6.故應(yīng)填x2 + 5x + 6.

四、特殊與一般相互轉(zhuǎn)化的思想

例4 請(qǐng)你計(jì)算：（1 - x）（1 + x），（1 - x）（1 + x + x2），…，猜想（1 - x）（1 + x + x2 + … + xn）的結(jié)果是（ ）.

A. 1 - xn + 1 B. 1 + xn + 1 C. 1 - xn D. 1 + xn

解析：利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算已知各項(xiàng)，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，即可得到結(jié)果.

（1 - x）（1 + x） = 1 - x2，（1 - x）（1 + x + x2） = 1 + x + x2 - x - x2 - x3 = 1 - x3，…，

依此類(lèi)推（1 - x）（1 + x + x2 + … + xn） = 1 - xn + 1.故應(yīng)選A.

同類(lèi)演練

1.先化簡(jiǎn)（a + b）（a - b） + b（a + 2b） - b2，再求值，其中a = 1，b = - 2.

2.已知3a + 2b = 2，ab = 5，求[23]ab[（3a + 2b）2 + a2b2]的值.

3.若單項(xiàng)式 - xyb + 1與[12]xa - 2y3是同類(lèi)項(xiàng)，則（a - b）2021等于 .

答案：1. - 1 2. 96[23] 3. 1