冪的運算中考題展播

劉家良

冪的運算是整式乘（除）法運算的基礎(chǔ)，也是歷年中考試題的高頻考點，多以選擇、填空的形式呈現(xiàn)，主要考查冪的三個運算法則的正確運用.

一、同底數(shù)冪的乘法：底數(shù)不變，指數(shù)相加

例1（2021·江蘇·鹽城）計算a2·a的結(jié)果是（ ）.

A.? a2 B. a3 C. a D. 2a2

解：a2·a = a2·a1 = a3.

故應(yīng)選B.

點評：將a視為a1，化為同底數(shù)冪積的形式. 理解同底數(shù)冪的乘法法則的條件（冪的底數(shù)相同，冪與冪之間為相乘關(guān)系）是正確使用公式作答的關(guān)鍵.

二、冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘

例2（2021·四川·瀘州）已知10a = 20，100b = 50，則[12]a + b + [32]的值是（ ）.

A. 2 B. [52] C. 3 D. [92]

解：∵10a × 100b = 10a × （102）b = 10a × 102b = 10a + 2b，1000 = 103，

∴10a + 2b = 20 × 50 = 103，∴a + 2b = 3，∴[12]a + b + [32] = [a+2b+32] = 3.

故應(yīng)選C.

點評：解題關(guān)鍵是將100b化成（102）b，即冪的乘方形式，再由冪的乘方法則得到102b，這種對公式的逆用是冪運算中經(jīng)常用到的技巧. 同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，都是底數(shù)不變，不同之處是同底數(shù)冪的乘法是指數(shù)相加，冪的乘方是指數(shù)相乘，計算之前一定要看清是哪種運算形式.

三、積的乘方：先把積的每一個因式分別乘方，再把所得冪相乘

例3（2021·浙江·麗水）計算（-a）2·a4的結(jié)果是（ ）.

A. a6 B. -a6 C. a8 D. -a8

解：（-a）2·a4 = （-1 × a）2·a4 = （-1）2a2·a4 = a6.

故應(yīng)選A.

點評：求積的乘方，需分兩步走：一是把各因式分別乘方，二是把所得冪相乘. 此題將-a視為-1 × a，這樣求（-a）2則轉(zhuǎn)化為積的乘方.

注：負(fù)數(shù)的乘方，要注意其指數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)，以確定冪的符號.

四、同底數(shù)冪的除法：底數(shù)不變，指數(shù)相減

例4（2021·重慶）計算x4 ÷ x結(jié)果正確的是（ ）.

A. x4 B. x3 C. x2 D. x

解：x4 ÷ x = x4 - 1 = x3. 故應(yīng)選B.

點評：將x視為x1，這樣所求式子就轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的除法.

五、從冪的乘除運算中選擇正確的運算結(jié)果，需要留意法則的條件和準(zhǔn)確記憶法則的結(jié)論

例5（2021·湖南·衡陽）下列運算結(jié)果為a6的是（ ）.

A. a2·a3 B. a12 ÷ a2 C. （a3）2 D. [12a32]

解：選項A的結(jié)果是a5，選項B的結(jié)果是a10，選項D的結(jié)果是[14]a6，只有選項C的結(jié)果是a6.

故應(yīng)選C.

點評：數(shù)的乘方不是將數(shù)與指數(shù)相乘，如[12a32]= [122a6]，而[122]≠ [12] × 2，還要將冪的乘法運算法則與整式加減運算法則即合并同類項的法則區(qū)別開來.

例6（2021·新疆）下列運算正確的是（ ）.

A. 2x2 + 3x2 = 5x2 B. x2·x4 = x8

C. x6 ÷ x2 = x3 D. （xy2）2 = xy4

解：2x2 + 3x2 = （2 + 3）x2 = 5x2;x2·x4 = x2 + 4 = x6;

x6 ÷ x2 = x6 - 2 = x4;（xy2）2 = x2y4.

故應(yīng)選A.

點評：同底數(shù)冪的乘法法則與合并同類項法則容易混淆，注意法則條件的對比是解題的關(guān)鍵.

對于相近或易混淆的法則、公式，同學(xué)們在把握相同點的同時，還要留意不同點，這樣方能做到正確運用法則、公式解題.

（作者單位：天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué)）

同類演練

1. （2021·湖北·宜昌）下列運算正確的是（ ）.

A. x3 + x3 = x6 B. 2x3 - x3 = x3 C. （x3）2 = x5 D. x3·x3 = x9

2. （2021·湖南·長沙）下列計算正確的是（ ）.

A. a3·a2 = a5 B. 2a + 3a = 6a C. a8 ÷ a2 = a4 D. （a2）3 = a5

3. （2021·湖南·常德）下列計算正確的是（ ）.

A. a3·a2 = a6? ? B. a2 + a2 = a4? ? C. （a3）2 = a5? ? D. [a3a2] = a（a ≠ 0）

4. （2021·浙江·臺州）下列運算中，正確的是（ ）.

A. a2 + a = a3? B. （-ab）2 = -ab2? C. a5 ÷ a2 = a3 ? D. a5·a2 = a10

答案：1. B 2. A 3. D 4. C