用方程思想求一次函數解析式

王新華

利用待定系數法求一次函數解析式，離不開方程思想的構建.

例1 已知y + m與x - n成正比例（其中m，n為常數）.當x = 1時，y = 3;當x = 2時，y = 5，試確定y與x之間的函數解析式，并判斷此函數是否是一次函數.

解析：根據題意設函數解析式為y + m = k（x - n），可知y是x的一次函數.

設y = kx + b，把x = 1，y = 3和x = 2，y = 5代入y = kx + b，構建方程組[k+b=3，2k+b=5，]解得[k=2，b=1.]

則y與x之間的函數解析式為y = 2x + 1.

例2 如圖1，在平面直角坐標系中，直線y =? - x + 3過點A（5，m），且與y軸交于點B，把點A向左平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到點C，過點C且與y = 2x平行的直線交y軸于點D. 求直線CD的解析式.

解析：先把A（5，m）代入y =? - x + 3，得點A（5， - 2），

利用“上加下減，左減右加”的平移規律得到點C（3，2），

根據兩直線平行時k值相等，設直線CD的解析式為y = 2x + b，

因為點C（3，2）在直線CD上，所以2 = 6 + b，解得b =? - 4，

則直線CD的解析式為y = 2x? -? 4.

例3 如圖2，在平面直角坐標系中，點A（0，4），B（3，0），連接AB，將△AOB沿過點B的直線折疊，使點A落在x軸上的點A′處，折痕所在的直線交y軸正半軸于點C，求直線BC的解析式.

解析：在Rt△OAB中，OA = 4，OB = 3，由勾股定理得AB = 5.

由折疊可知BA′ = BA = 5，CA′ = CA，則OA′ = BA′ - OB = 2，

設OC = t，則CA = CA′ = 4 - t，

在Rt△OA′C中，由勾股定理得t2 + 22 = （4 - t）2，解得t = [32]，

則點C的坐標為[0，32]，設直線BC的解析式為y = kx + b，

用待定系數法列方程組[3k+b=0，b=32，]解得[k=-12 ，b=32 ，] 則直線BC的解析式為y = - [12]x + [32].

例4 已知一次函數y = kx + b，當1 ≤ x ≤ 4時，3 ≤ y ≤ 6，求該一次函數的解析式.

解析：根據一次函數的增減性考慮兩種情況：

當k>0時，直線經過兩點（1，3），（4，6），列方程組為[k+b=3，4k+b=6，]解得[k=1，b=2.]

當k<0時，直線經過（1，6），（4，3），列方程組為[k+b=6，4k+b=3，]解得[k=-1，b=7，]

則該一次函數的解析式為y = x + 2或 y = -x + 7.

例5 如圖3，一次函數y = k1x + b的圖象與y軸交于點A（0，10），與正比例函數y = k2x的圖象交于第二象限內的點B，且△AOB的面積為15，AB = BO，求正比例函數與一次函數的解析式.

解析：作BC⊥OA于點C，

由AB = BO，得OC = AC = [12]OA = 5，則C（0，5），

由S△AOB = [12] × 10·BC = 15，得BC = 3，所以B（-3，5），

利用待定系數法，可得方程[-3k2=5]與方程組[-3k1+b=5，b=10，]

解得k2 = -[ 53]，[k1=53，b=10.] 則直線OB的解析式與直線AB的解析式分別為y = - [53]x，y = [53]x + 10.

例6 如圖4，一次函數y = （m + 1）x + 4的圖象與x軸的負半軸相交于點A，與y軸相交于點B，且△OAB的面積為4.（1）過點B作直線BP與x軸的正半軸相交于點P，且OP = 4OA，求直線BP的解析式;（2）將一次函數y = （m + 1）x + 4的圖象繞點B順時針旋轉45°，求旋轉后對應的函數解析式.

解析：（1）求出點B的坐標為（0，4），則OB = 4，

由S△OAB = [12] × OA·OB = 4，求得OA = 2，得到點A（-2，0），

將（-2，0）代入一次函數解析式，得-2（m + 1） + 4 = 0，解得m = 1.

利用OP = 4OA，可得點P（8，0），

利用待定系數法列方程組[8k+b=0，b=4，]解得[k=-12，b=4.]

則直線BP的解析式為y = -[ 12]x + 4.

（2）設直線AB繞點B順時針旋轉 45°得到直線BE，

如圖5，過點A作AF⊥AB，交BE 于點F，作FH⊥x軸于點H.

根據全等三角形的判定推出△AOB ≌ △FHA ，

得FH = AO = 2，AH = BO = 4，則F（-6，2），

利用待定系數法列方程組[b=4，-6k+b=2，]解得[k=13，b=4，] 則旋轉后對應的函數解析式為y = [13]x + 4.

（作者單位：遼寧省大連市第三十七中學）