梅森素數(shù)探究為什么這么火

曹茜

目前，世界上有190多個國家和地區(qū)的近24萬在線網(wǎng)民參與了一個名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”（GIMPS）的國際合作項目，并動用超過233萬個核中央處理器（CPU）聯(lián)網(wǎng)來尋找梅森素數(shù)。可以說，對于梅森素數(shù)的探究非常火爆，這在數(shù)學(xué)史上前所未有，在科技史上也極為罕見。

眾所周知，素數(shù)又稱質(zhì)數(shù)，是指在大于1的自然數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)。每個自然數(shù)都可以唯一地分解成有限個素數(shù)的乘積，素數(shù)因此構(gòu)成了自然數(shù)體系的基石。2300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素數(shù)的個數(shù)是無窮的，并提出一些素數(shù)可寫成“2^P-1”（即2的P次方減1，其中指數(shù)P也是素數(shù)）的形式。千百年來，2^P-1型素數(shù)吸引著人們?nèi)ふ液脱芯克?p>

法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森（1588-1648）

由于17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森學(xué)識淵博、才華橫溢，并最早開始系統(tǒng)而深入地研究2^P-1型素數(shù)，為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界將這種特殊形式的素數(shù)命名為“梅森素數(shù)”。梅森素數(shù)歷來是數(shù)學(xué)研究的一項重要內(nèi)容，也是當(dāng)今科學(xué)探索的熱點和難點之一。這種素數(shù)珍奇而迷人，被人們譽為“數(shù)學(xué)寶庫中的鉆石”。

梅森素數(shù)看似簡單，但當(dāng)指數(shù)P值較大時，其素性檢驗的難度就會很大。另外，它的探究需要借助高深的理論、純熟的技巧以及艱難的計算。例如，1772年，瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家萊昂哈德·歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2³¹-1（即2的31次方減1）是個素數(shù)，該數(shù)（2147483647）有10位，堪稱當(dāng)時世界上已知的最大素數(shù)。在靠手算筆錄的年代，人們歷盡艱辛，一共才找到12個梅森素數(shù)。

電子計算機的誕生使得梅森素數(shù)的探究如虎添翼，各國科學(xué)家和業(yè)余研究者們紛紛投身到尋找梅森素數(shù)的隊伍中。他們彼此競爭，樂此不疲，催生了不少新發(fā)現(xiàn)。1952年1月30日晚上9點，美國數(shù)學(xué)家拉斐爾·魯濱遜將探究梅森素數(shù)的方法編譯成計算機程序，利用大型計算機，幾小時內(nèi)就找到了兩個100位以上的梅森素數(shù)：2⁵²¹-1和2⁶⁰⁷-1。隨后的幾個月，他又接連找到了2¹²⁷⁹-1、2²²⁰³-1和2²²⁸¹-1。

“211213-1是個素數(shù)”的郵戳

探究梅森素數(shù)不僅極富挑戰(zhàn)性，而且對探究者來說有一種巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8點，當(dāng)?shù)?3個梅森素數(shù)2¹¹²¹³-1通過超級計算機被找到時，美國廣播公司（ABC）中斷了正在播放的節(jié)目，第一時間發(fā)布了這一重要消息，《芝加哥論壇報》還把這一消息作為頭版頭條來報道。而發(fā)現(xiàn)這個素數(shù)的美國伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生感到無比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，甚至把所有從系里發(fā)出的信封都蓋上了“2¹¹²¹³-1是個素數(shù)”的郵戳。

互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)，大大加快了探究梅森素數(shù)的步伐。1996年年初，美國數(shù)學(xué)家、程序設(shè)計師喬治·沃特曼編制了一個梅森素數(shù)計算程序，并把它放在網(wǎng)頁上供人們免費使用。這一計算程序就是舉世聞名的GIMPS項目，也是全球首個基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)格計算項目。現(xiàn)在，只要人們?nèi)IMPS的主頁下載一個名為“Prime95”的免費程序，就可以立即參加GIMPS項目來尋找梅森素數(shù)了。

為了激勵人們尋找梅森素數(shù)和促進網(wǎng)格計算技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國舊金山的“電子前沿基金會（EFF）”于1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項目來尋找梅森素數(shù)而設(shè)立的獎金。它規(guī)定向第一個找到超過100萬位數(shù)的個人或機構(gòu)頒發(fā)5萬美元。后面的獎金依次為：超過1000萬位數(shù)，10萬美元;超過1億位數(shù)，15萬美元;超過10億位數(shù)，25萬美元。據(jù)悉，絕大多數(shù)參與者不是為了名利而探究梅森素數(shù)，而是出于好奇心、求知欲和榮譽感。

前不久，來自美國佛羅里達州的互聯(lián)網(wǎng)專家、數(shù)學(xué)愛好者帕特里克·拉羅什通過參與GIMPS項目，成功地發(fā)現(xiàn)第51個梅森素數(shù)——2^82589933-1。該數(shù)有24862048位，是迄今為止人類發(fā)現(xiàn)的最大素數(shù)。如果用普通字號（指word文檔默認的字體字號）將這個素數(shù)打印下來，它的長度將超過100千米！而且近百年來，幾乎所有的“最大素數(shù)”都是梅森素數(shù)。

值得一提的是，人們在尋找梅森素數(shù)的同時，對其重要性質(zhì)——分布規(guī)律的研究也一直在進行著。中國數(shù)學(xué)家、語言學(xué)家周海中在1992年率先給出了梅森素數(shù)分布的精確表達式，這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格指出：“‘周氏猜測具有創(chuàng)新性，開創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法，其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。”

梅森素數(shù)在當(dāng)代具有十分豐富的理論意義和實用價值。對它的探究可以推動“數(shù)學(xué)皇后”——數(shù)論的研究，還可以促進密碼技術(shù)、網(wǎng)格計算技術(shù)、程序設(shè)計技術(shù)的發(fā)展，以及快速傅立葉變換和快速橢圓加密算法的應(yīng)用。另外，在探究過程中，人們還能發(fā)現(xiàn)計算機芯片存在的問題。例如，德國一名GIMPS項目參與者發(fā)現(xiàn)：當(dāng)Intel Skylake處理器在執(zhí)行Prime95程序來尋找梅森素數(shù)時，就出現(xiàn)了觸發(fā)系統(tǒng)死機的漏洞。隨后，美國英特爾公司承認存在該漏洞，并做了修復(fù)。

由于梅森素數(shù)的探究在當(dāng)代需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，所以許多科學(xué)家認為：梅森素數(shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數(shù)學(xué)家馬科斯·索托伊甚至認為，梅森素數(shù)的探究可以挑戰(zhàn)人類科技與智慧的極限，其成果是一個國家科技創(chuàng)新能力的重要標(biāo)志之一。這也是梅森素數(shù)探究如此火爆的原因之一吧！