從函數(shù)角度探討等差數(shù)列的性質

張煥炬

摘要：《數(shù)列》是高中才學習的全新模塊，學生比較陌生。為了讓學生自然地接受“數(shù)列”、能更輕松地學好《數(shù)列》，我們在教學中可以嘗試從不同的角度講解，以達到最高效的教學。數(shù)列的通式公式和前項和公式分別與一次函數(shù)及二次函數(shù)關系密切，而這兩個函數(shù)是學生比較熟悉的，故本文便從一次函數(shù)及二次函數(shù)的角度探討等差數(shù)列的性質。

關鍵詞：等差數(shù)列? 一次函數(shù)? 二次函數(shù)? 通項公式? 前項和

《數(shù)列》這一章內容是高中才學習的全新模塊，是高中數(shù)學教學的重點，也是每年高考的熱點，在高考試題中占的分值也比較高?！兜炔顢?shù)列》是其中的基礎部分，能否掌握這部分內容，直接影響著能否掌握后面的知識點和整個章節(jié)的知識點。為了加深學生對等差數(shù)列的理解，本文從函數(shù)的角度分析等差數(shù)列的主要性質，讓學生能更好地掌握《數(shù)列》這一章節(jié)的內容。

一、用一次函數(shù)的性質探討等差數(shù)列的通項

在教學過程中，我們可以先探討一次函數(shù)與等差數(shù)列通項的關系。在等差數(shù)列中，因為通項公式：，可表示為，是以為自變量的一次函數(shù)。易證反之也成立。由此可見，等差數(shù)列與一次函數(shù)關系是很密切的。下面我在用一次函數(shù)的知識來解析等差數(shù)列通項的性質。

（1）根據(jù)一次函數(shù)性質解析等差數(shù)列通項的單調性。一次函數(shù)的單調性是由一次項系數(shù)決定的，設等，則公差，所以當時為遞增數(shù)列;當時為遞減數(shù)列;時為常數(shù)數(shù)列。故等差數(shù)列的單調性由公差決定。

（2）一次函數(shù)圖像是直線，可從直線的斜率角度探討通項公式性質。在等差數(shù)列通項公式中，公差是一次項系數(shù)，其幾何意義是：“圖像上任意兩點連線的斜率”。當取直線上兩點坐標時，斜率，;當取直線上兩點坐標時，斜率，可得到：。故等差數(shù)列的通項公式有兩種形式，同學們解題時要根據(jù)題意選擇正確的形式。

（3）通過直線中點公式探討中項公式定義及性質。在等差數(shù)列中，設圖像上的點在直線上，在上任取兩點，當時，則線段的中點為，由中點坐標公式可得，從而得到等差中項公式。同理可得到一個相當重要的性質：當時有。

二、用二次函數(shù)的性質探討等差數(shù)列的前項和性質

其次，在教學過程中，我們還可以探討二次函數(shù)與等差數(shù)列的前項和性質。因為等差數(shù)列前項和可化為：，可表示為。所以通項可看作是以為自變量且常數(shù)項為零的二次函數(shù)。“二次函數(shù)”是中學數(shù)學的重要內容，同學們對二次函數(shù)的知識點應該比較熟悉，故教學時可通過二次函數(shù)的性質解析等差數(shù)列前項和的性質。下面就是我在教學中用二次函數(shù)的性質探討等差數(shù)列的前項和性質的三種解題方法。

（1）用二次函數(shù)形式的公式解題。當已知是等差數(shù)列時，前項和公式是常數(shù)項為零的二次函數(shù)，反之也成立。

實戰(zhàn)訓練1：在等差數(shù)列中，前項和滿足：，則=_________

解析：設，因為，所以。.

（2）用二次函數(shù)配方法求等差數(shù)列前項和的單調性和最值。由于等差數(shù)列前項和是常數(shù)項為零的二次函數(shù)，故其單調性可通過拋物線的性質來探討，其單調性關鍵看拋物線的對稱軸和開口方向。解答等差數(shù)列前項和的最值問題可用以用二次函數(shù)配方法。

實戰(zhàn)訓練2：已知等差數(shù)列{}中=13且=，那么n取何值時，取最大值。

解：設公差為d，由=可解得：d= -2， 所以，其圖像是開口向下，對稱軸是n=7，故由拋物線性質可知當n=7，取最大值49。

（3）設等差數(shù)列{}的前項和為，不妨設，則，是關于的一次函數(shù)式，故也是等差數(shù)列，可直接用等差數(shù)列的性質解題。

以上就是我在教學等差數(shù)列知識的時候，從一次函數(shù)及二次函數(shù)的角度探討等差數(shù)列的性質總結出來的幾點教學經(jīng)驗，在教學進程中經(jīng)常能取得很好的教學效果。用已經(jīng)學習過的知識去學習新內容，化“陌生”的知識為“熟悉”，能讓學生更容易接受，同時也體現(xiàn)了知識點之間的聯(lián)系，引導學生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學的“內在美”。從多角度去分析和講解新知識，既豐富了課堂教學也激發(fā)了學生的學習興趣，我們教師在教學中可多嘗試多挖掘。