基于超彈性本構參數識別的橡膠襯套耐久性仿真研究

程穩正 張志遠 徐京濤 樓位鵬 劉海峰

（吉利汽車研究院（寧波）有限公司，寧波 315000）

主題詞：橡膠襯套 塊譜 靜剛度 超彈性本構 參數優化 疲勞壽命

1 前言

橡膠襯套的耐久性開發一直是整車耐久性開發的難點問題之一。橡膠襯套耐久性仿真預測與道路試驗的關聯性較差，原因主要體現在2個方面。一是載荷條件。由于襯套變形的非線性，直接施加路譜載荷時域信號求解應變歷程，計算資源消耗巨大，難以實施，需要將載荷時域歷程信號通過損傷等效的方式轉換成塊譜信號，在此基礎上進行疲勞壽命預測，因此，塊譜轉換結果與路譜的關聯性直接決定了仿真、塊譜臺架試驗結果與路譜的關聯性。二是本構參數。對于橡膠襯套壽命預測，目前有多種疲勞分析理論，如裂紋擴展法、裂紋萌生法等[1]，但其關鍵在于用于計算損傷參量的應變的計算，而這需要橡膠材料的超彈性本構參數作為基礎。描述橡膠材料的超彈性方程類型眾多，如Mooney-Rivlin、Ogden、Yeoh 等[2]，各本構模型基于一些參數進行描述，獲取這些參數值，需要進行一系列試驗[3]。在項目開發前期，往往只有某種膠料的測試數據，或者只有部分試驗數據，無法準確獲取能描述襯套力學行為的本構參數。

本文為解決某車型道路試驗中扭力梁襯套開裂的問題，基于虛擬試車場仿真道路載荷譜編制扭力梁襯套的三軸塊譜，作為襯套疲勞仿真和臺架試驗的載荷輸入，按Mooney-Rivlin 模型和Yeoh 模型計算襯套的2 個徑向（空心、實心）、軸向剛度，以初始本構參數為輸入，以襯套靜剛度特性曲線為目標，通過多目標優化得到能準確體現襯套宏觀剛度特性的超彈性本構參數，以Yeoh 本構模型仿真得到襯套在塊譜載荷下的應變，通過裂紋擴展法預測其壽命。

2 扭力梁襯套塊譜轉換

對于橡膠襯套塊譜轉換，陳蘆等研究了橡膠懸置單軸荷譜編制方法[4]，蘆勇等研究了副車架襯套多軸道路載荷譜縮減方法[5]。這些方法的主要轉換過程為：

a.利用有限元分析或者基于襯套剛度特性曲線將路譜載荷信號轉換為位移信號；

b.選取關鍵通道分別進行有限元分析，通過多項式擬合得到關鍵通道各自的應變與位移關系表達式，并將位移信號歷程轉換為應變信號歷程；

c.對應變信號歷程進行雨流計數得到損傷矩陣，在此基礎上進行應變塊譜轉換；

d.將應變塊譜轉換結果反推至力載荷，形成力載荷塊譜。

本文在該方法的基礎上，提出采用工程等效應變代替步驟b 中的應變-位移關系擬合，可以更好地考慮各通道載荷之間的耦合效應。本文采用的虛擬試車場（Virtual Proving Ground，VPG）仿真路譜，包含了各通道的力和位移信號，省去步驟a，提出基于工程等效應變進行雨流計數得到損傷矩陣的方法代替步驟b、c 中的方法，可以綜合考慮各通道的耦合作用。

2.1 路譜載荷

扭力梁橡膠襯套VPG道路載荷通道包括力-力矩、位移-角度總計12 個通道，共計35 條路面載荷數據。每條路面數據去除連接路面，考慮載荷循環后，整個載荷歷程總時長約為140 h，各路面單個循環串聯后的載荷譜如圖1所示。臺架驗證如以路譜形式復現，在夾具設計、加載方法上均難以實現，且試驗周期長。工程實踐中運用塊譜轉換技術，如圖2 所示，將該試驗過程盡可能減化、壓縮，同時需保證相位、頻率與路譜載荷保持一致。

圖1 通道載荷歷程

圖2 襯套塊譜轉換過程

2.2 通道篩選

扭力梁襯套路譜載荷包含12 個通道，載荷轉換方法的選取需要考慮襯套實際受力情況：扭力梁襯套運動過程中襯套扭轉角度由懸架系統運動決定，因此襯套扭轉角度與襯套自身扭轉剛度基本無關，扭轉情況宜選用角度而非力矩；同樣的情況下，對于力-位移這一對載荷，襯套剛度不同，應對外部沖擊反映出的位移變化差異顯著，應該使用力而非位移。

載荷轉換類型選定力-角度，總計6向載荷，而試驗設備最多能夠實現3向載荷同時加載。因此，需進一步從6 向通道中選取損傷最大的通道轉換塊譜。常規做法是通過計算偽損傷或根據經驗判斷，該方法存在以下缺陷：不同類型載荷不能直接進行對比；實際損傷與偽損傷之間存在不確定性，應力/應變在各向載荷同量、同性時，才具備可比性；丟棄的通道的影響無法量化，更不能進行量化修正。

因此本文提出工程等效應變來解決此類問題，工程等效應變即襯套的名義應變E，結合襯套的實際結構、危險點、位移等計算，用以衡量各通道載荷的影響，其表達式為：

式中，R、r分別為橡膠層的外徑和內徑；Dx、Dy、Dz分別為襯套在x、y、z方向的平動位移；Rx、Ry、Rz分別為襯套繞x、y、z軸的旋轉角度；L為襯套的軸向長度。

對于襯套危險點，通過空間位置、幾何位置關系計算其等效總應變，同時使用該方法計算得到任一通道等效應變。以此為基礎，可量化不同載荷的具體影響，篩選試驗加載通道，量化去除通道載荷對橡膠襯套的影響，塊譜載荷可根據該量化值適當縮放選取的通道載荷以補償該影響。

根據工程等效應變的計算結果，選擇用于塊譜轉換的通道為整車x向、y向載荷和扭轉載荷。

2.3 通道解耦

根據工程等效應變，求解各試驗路面、各硬點對應通道載荷的偽損傷、載荷范圍，根據各路面各載荷通道的損傷占比（路面損傷與所有路面損傷和的比值）、載荷范圍比（路面載荷范圍與所有路面最大載荷范圍的比值），去除個別通道路面損傷占比較小、載荷范圍比也小的7條路面數據。對于保留的28條路面數據，按縱向力Fx、側向力Fy和扭轉角度Ry的損傷分布、載荷范圍情況進行統計，通過排列組合，得到單軸（1個載荷通道）、雙軸（2 個載荷通道同時輸入）和三軸（3 個載荷通道同時輸入）工況，各工況路面數量如表1所示，同一種工況的路面，只需對關注的通道進行轉換。

表1 工況組合

2.4 塊譜轉換

基于轉換通道、等效總應變結果，對相應通道載荷進行塊譜轉換，目標為等效總應變雨流特征（程對（Range Pair）計數、穿級（Level Crossing）計數等），提取對應轉換通道載荷并在此基礎上補償去除通道的影響，根據載荷特征整理形成襯套臺架試驗載荷塊譜。圖3所示為轉換完成的塊譜等效總應變與路譜的穿級計數比較，可以看出，塊譜與路譜基本等效，認為該塊譜轉換結果與路譜載荷接近，可用于襯套的臺架試驗及仿真計算。

圖3 等效總應變對比

橡膠襯套對載荷頻率比較敏感，采用不同的加載頻率會得到不一樣的試驗結果，為了保證臺架試驗與VPG仿真結果盡可能一致，需要計算塊譜加載頻率。試驗加載頻率相對固定，可以通過計算載荷-頻率分布區間來確定塊譜載荷加載頻率，臺架試驗可以分別按2 Hz、4 Hz、5 Hz進行加載。

3 橡膠超彈性本構參數識別與優化

針對基于試驗數據的橡膠超彈性本構類型選擇和參數識別，眾多學者進行了研究，并指出了各種模型的適用范圍[6-7]。當沒有測試數據或者數據不全時：文獻[8]通過以主受力方向線性剛度為基準對第三方向剛度進行檢驗，并不斷迭代的方式優化本構參數；文獻[9]、文獻[10]利用襯套剛度曲線，設定力-位移曲線面積、固定點取值為優化目標，結合有限元方法獲取較優本構參數。本文采取剛度曲線逼近的方式優化本構參數，即在2 個徑向和軸向共3 個剛度曲線上分別取6 個逼近點，以目標曲線與仿真曲線差值最小為目標，通過試驗設計（Design of Experiment，DOE）識別能描述襯套宏觀剛度特性的本構參數，為后續壽命預測提供基礎，流程如圖4所示。

圖4 襯套壽命預測流程

3.1 超彈性本構方程

對于密實橡膠材料，基于唯現象論的模型，不考慮微觀結構，建立數學框架來表征其宏觀上觀察到的應力-應變關系，主要模型有Reduced Polynomia、Neo-Hookean、Mooney-Rivlin、Ogden、Yeoh 等。文獻[6]、文獻[7]中提到采用Mooney-Rivlin、Yeoh 模型，在宏觀上能較為精確地表征橡膠襯套剛度，本文以這2種模型為基礎，進行參數識別與優化。

Mooney-Rivlin模型為[7]：

式中，U為應變勢能；C10、C01、D1為材料常數；、分別為第1、第2階應變不變量；Jel為彈性體積比。

Yeoh模型為3階多項式縮減模型[7]：

式中，Ci0、Di為材料常數。

文獻[11]中提到，C10代表小應變下的初始剪切模量，負值的C20體現中應變下的軟化過程，C30控制大應變下的曲線上揚，可以較好地捕捉橡膠材料的剛化效應，當Di=0，且Jel=1時，實現材料完全不可壓縮。

基于以往材料測試數據，定義2個模型的初始參數分別如表2、表3所示。

表2 Mooney-Rivlin模型初始參數

表3 Yeoh模型初始參數

3.2 初始靜剛度分析

采用六面體實體單元建模，橡膠層與金屬層的硫化粘結采用共節點或者定義綁定（Tie）接觸的方式模擬，橡膠內部空隙建立自接觸。根據橡膠襯套剛度測試方法建立邊界條件，約束施加在襯套內套管，襯套外管建立剛性多點約束單元，載荷施加在剛性單元主點。扭力梁襯套的有限元模型如圖5所示。

圖5 靜剛度分析有限元模型

應用表2、表3 中的初始本構參數對橡膠襯套進行靜剛度分析，分別計算襯套的各向剛度，載荷位移曲線如圖6 所示，可以看出，采用初始參數計算的襯套剛度較試驗值低，初始本構參數不能描述襯套的剛度特性。

圖6 初始參數仿真與試驗對比

試驗與仿真剛度結果存在差異的主要原因包括：材料模型不準確；工藝因素導致的幾何差距；有限元簡化造成的差異，如網格劃分、邊界條件簡化等。顯然，材料模型不準確是主要原因。

3.3 超彈性本構參數多目標優化

雖然基于初始本構參數的有限元仿真結果與實際結果存在偏差，但是可以利用計算得到的剛度特性與測試結果的差異，通過曲線對比，設定優化目標，并通過迭代求解對本構參數進行優化，優化過程如圖7所示。

圖7 超彈性本構參數優化流程

Mooney-Rivlin 模型具有雙剪參數，對于中等程度的應變有較好的貼合效果，存在C10、C01、D13 個優化參數，對于橡膠材料，定義D1=0 表示不可壓縮，因此優化變量為2個。Yeoh模型以C10、C20、C30為優化變量。

采用優化拉丁方進行試驗設計，為提高計算效率，采用構造響應面近似模型的方法求解。響應面模型方差一般要求大于0.9，本文的響應面近似模型方差為0.995，滿足誤差要求，可在近似模型的基礎上優化超彈性本構參數。

通過優化參數的全局效應圖，觀察優化參數對剛度的貢獻程度，例如對剛度曲線線性段的貢獻度大小依次為C10＞C20＞C30，結合仿真初始剛度與目標剛度的差距，確定優化變量取值范圍如表4、表5所示。

表4 Mooney-Rivlin模型變量取值范圍

表5 Yeoh模型變量取值范圍

在初始仿真參數計算得到的剛度曲線上取若干點來構造優化目標，如圖8所示，其中一個方向剛度選取6個采樣點逼近，其他2個方向剛度曲線采樣點選取方法一致，進行多目標優化，以采樣點仿真支反力與試驗載荷差值之和最小為目標，根據變量范圍進行迭代求解，收斂過程如圖9所示。

圖8 剛度曲線逼近采樣點

圖9 優化迭代歷程曲線

經過228 次迭代，求得最優的超彈性參數，結果如表6、表7所示。

表6 Mooney-Rivlin模型優化參數

表7 Yeoh模型優化參數

3.4 優化結果驗證

利用優化識別的參數重新計算橡膠襯套剛度，Mooney-Rivlin、Yeoh本構模型空心徑向、實心徑向和軸向剛度優化的結果分別如圖10、圖11所示。從圖10、圖11 中可以看出，基于優化的本構參數計算出的仿真剛度曲線更趨近實測剛度曲線，優化后的本構參數能描述襯套的宏觀剛度特性。

圖10 Mooney-Rivlin模型優化結果

圖11 Yeoh模型優化結果

需要指出的是，多目標優化并不總是能求解出優化解，影響因素主要有：

a.剛度大小趨勢。當初始參數計算出的剛度與試驗結果相比，在多個方向上表現為同步大或者小的情況時，比較容易優化出本構參數，但若某些方向剛度比試驗結果大，而其余方向剛度比試驗結果小，則很難優化出結果。

b.曲線形狀。當初始參數計算出的剛度曲線與測試曲線形狀相似、曲率相當時，較容易求出優化解，相反，如仿真剛度曲線初始線性段與試驗曲線接近，而非線性段斜率較試驗曲線大，則很難求得較優結果。

因此，要結合多種本構模型，利用初始參數，分別計算襯套的剛度特性，并根據以上2 點因素合理選擇本構方程模型。本文算例應力應變分析有限元模型采用Yeoh 模型，由于其較好的非線性段表現，更適合求解大載荷問題，另外，其三段式參數能夠更加靈活地控制剛度。

4 橡膠襯套壽命預測

通過前文的工作，可以獲得方便仿真分析的塊譜載荷和襯套超彈性本構參數，進而求得塊譜載荷作用下的應變，在此基礎上進行扭力梁襯套的壽命預測。

4.1 臺架試驗

根據路譜轉化的塊譜搭建三軸臺架試驗，如圖12所示，整車x向載荷和y向載荷通過液壓缸施加于襯套外套管，扭轉角施加在襯套內套管，為了模擬實車行駛過程中襯套側限位塊與車身連接支架之間的撞擊狀態，試驗夾具在襯套內套管上剛性連接了一個限位支架。

圖12 橡膠襯套三軸臺架試驗

試驗結束后發現襯套開裂，裂紋源為十字形襯套主筋拐角處，從結構上看，主筋為主要承載結構，該位置在承受擠壓和扭轉載荷時為優先破壞位置，試驗循環14萬次后開裂，如圖13所示。

圖13 橡膠襯套開裂位置

4.2 壽命仿真

參考臺架試驗邊界條件建立有限元模型，如圖14所示，襯套內套管和限位塊定義為一個剛體，剛體控制點設置在旋轉中心與套管軸線交點，x向載荷、y向載荷及繞y軸轉角載荷均施加在剛體控制點上，約束施加在襯套外套管。

圖14 橡膠襯套三軸臺架仿真模型

疲勞壽命計算采用裂紋擴展法，橡膠材料損傷與幅值循環次數之間為非線性關系，以斷裂力學理論表征為裂紋驅動力（撕裂能）和裂紋擴展速率之間的關系[12-15]，如圖15所示。曲線描述了一個典型的裂紋驅動力與裂紋擴展率的關系模型，主要參數包括線性段斜率F、線性段與非線性段的過度點Tt、臨界裂紋驅動力Tc和臨界裂紋擴展率rc，當裂紋驅動力大于閾值T0時，開始產生裂紋擴展。壽命仿真設置初始裂紋值為0.1 mm，破壞裂紋尺寸設置為1.0 mm。

圖15 Lake-Lindley裂紋擴展模型

計算各塊譜的應力與應變時間步信息，疊加轉化的循環次數，計算塊譜載荷作用下橡膠襯套疲勞壽命，考慮載荷、材料、工藝等的離散性，疲勞損傷（Damage）目標設定為小于0.5。損傷分布如圖16所示，最大損傷為0.634，不滿足目標要求，最危險位置為主筋拐角處，與臺架試驗破壞位置一致。

圖16 橡膠襯套疲勞壽命計算結果

4.3 方案優化

分析失效原因，主筋在襯套承載時起關鍵作用，故采用加寬主筋的方法進行優化，將主筋寬度由15.0 mm提高為18.5 mm，此優化產生的附帶效應為徑向剛度提升了23%，軸向剛度提升了12%。主筋加粗方案損傷值為0.221，如圖17所示，疲勞損傷達到目標要求，壽命提高到約3倍。

圖17 橡膠襯套優化方案疲勞壽命計算結果

對優化后的橡膠襯套結構疲勞壽命進行臺架試驗驗證，主筋加粗后臺架試驗壽命達到32萬次，驗證了疲勞壽命分析趨勢的正確性，試驗后的橡膠襯套如圖18所示，滿足試驗目標要求。

圖18 橡膠襯套優化方案臺架試驗結果

5 結束語

本文以扭力梁襯套為研究對象，探討了襯套壽命預測中塊譜轉換和超彈性本構參數識別這2個關鍵問題，并對橡膠襯套的壽命進行了預測，危險點位置與臺架試驗結果吻合良好，并進行了方案改進，得到以下結論：

a.考慮到三軸耦合，載荷幅值、相位關系能覆蓋原始路譜，襯套載荷譜轉換方法可以用于橡膠襯套的壽命預測分析及臺架疲勞試驗；

b.在沒有實際材料測試結果的情況下，利用已有的初始本構參數，結合有限元方法、參數優化方法，可以識別出能夠較好模擬橡膠襯套靜剛度特性的超彈性本構參數，以保證應變計算結果的有效性。

本文建立的基于路譜隨機信號載荷的橡膠襯套壽命預測方法，系統地包含了橡膠襯套的載荷譜編制、超彈性本構參數識別、襯套壽命預測，為橡膠襯套耐久性問題解決提供了完整的方案，尤其是對于橡膠襯套超彈性本構參數的識別，可省略材料測試環節，簡化了優化過程。