淺析以層層遞進的方式建立合理模型在物理教學中的作用
——以“電磁滑軌中的雙桿問題”為例

鄔揚杰

(浙江省寧海中學 浙江 寧波 315600)

1 課堂引入

教學片段1:以單桿模型為例.

【例1】如圖1所示，兩條平行的光滑金屬軌道置于水平桌面上，軌道足夠長，軌道間距為L，金屬棒P置于軌道上，始終與軌道垂直且接觸良好，金屬棒P的質量為m，速度為v，方向向右，磁場方向垂直水平桌面向下，大小為B.距金屬棒P很遠的位置有一電阻，阻值為R2，此時軌道與金屬棒P、電阻R2構成閉合回路，金屬棒P接入閉合回路的電阻為R1，所有軌道電阻忽略不計.

圖1 例1題圖

提出問題,學生回答如下：

(1)金屬棒P將做什么運動？

學生回答：金屬棒向右做加速度減小的減速運動直至靜止.

(2) 若此時金屬棒P的速度為vP，則加速度是多少？

學生回答：

電流

加速度

(3)整個過程產生的焦耳熱是多少？

學生回答：根據能量守恒定律

(4)整個過程流過金屬棒P或R2的電荷量為多少？

學生回答:可以用動量定理來計算[1]，對金屬棒P分析

(5)計算出金屬棒P運動多少距離后停下？(師提示：q與磁通量的變化量有關)

學生回答:

所以有

設計意圖:抓住由簡入難的思想，以單桿模型為鋪墊，為了引出雙桿模型；題目設計一環扣一環，難度按梯度上升，使學生投入課堂，積極思考并解決相關問題.

教學片段2:引出電磁滑軌類問題中的多種模型,如圖2所示.

圖2 電磁滑軌類問題多種模型

設計意圖 使學生清楚電磁滑軌問題復雜多樣，題目千變萬化，并正式引出“雙桿模型”.

2 分析多種雙桿模型

教學片段3：雙桿模型——等長同一磁場.

【例2】(在例題1的基礎上稍做改變)如圖3所示，若電阻R2換成一根阻值同樣為R2的不固定的金屬棒Q，質量為m2，初速度為零，金屬棒P的質量為m1，其他條件不變.

圖3 例2題圖

提出問題，學生回答如下：

(1)金屬棒P，Q將分別做什么運動？

學生回答：P做減速運動，Q做加速運動，最終兩者以共同的速度做勻速直線運動.

(2) 若此時金屬棒P和Q的速度分別為vP和vQ，則加速度分別是多少？

學生回答：

加速度都逐漸在減小.

老師補充：若vP=vQ，兩根棒加速度都為零，接下來一起做勻速直線運動.

(3) 最終共同速度是多少？(師提示對金屬棒P,Q運用動量定理求解)

學生回答：

m1v=(m1+m2)v共

(4) 整個過程流過金屬棒P或Q的電荷量為多少？(師提示對某一金屬棒運用動量定理求解)學生回答對棒Q分析，利用動量定理

BLq=m2v共

得

(5) 整個過程產生的焦耳熱是多少？

學生回答:利用能量守恒定律

總結 整個運動過程中可以分為兩部分，金屬棒P和Q做變速運動與勻速運動.整個過程產生的焦耳熱其實是金屬棒P和Q做變速運動時產生的，金屬棒P和Q做勻速直線運動時不會產生焦耳熱.不會產生焦耳熱意味著這個過程中回路中無電流.為什么會沒有電流？這是因為金屬棒P和Q產生的感應電動勢等大反向，BLv1=BLv2，得出v1=v2=v共，所以我們可以利用感應電動勢等大反向來判斷出勻速時兩根金屬棒的速度大小關系.

3 學以致用

【習題1】(2018年溫州新力量聯盟期中試題)如圖4所示，NQ和MP是兩條平行且傾角為θ的光滑金屬軌道，在兩條軌道下面，在Q,P處接著QT和PS兩條平行光滑的金屬軌道，軌道足夠長，所有軌道電阻忽略不計.金屬棒ab,cd放在軌道上，始終與軌道垂直且接觸良好.金屬棒ab,cd的質量均為m，長度均為L，且金屬棒的長度恰好等于軌道的間距，它們與軌道構成閉合回路，金屬棒ab的電阻為2R，cd的電阻為R.磁場方向均垂直于導軌向上(不考慮PQ交界處的邊界效應，可認為磁場在PQ處立即變為豎直向上)，磁感應強度大小為B.若先保持金屬棒cd不動，ab在沿導軌向下的力F的作用下，開始以加速度a沿傾斜軌道向下做勻加速直線運動.經過t0時間，ab棒恰好到PQ位置，此時撤去力F，同時釋放金屬棒cd，重力加速度為g，求：

圖4 習題1題圖

(1)棒ab勻加速運動過程中，外力F隨時間t變化的函數關系；

(2)兩金屬棒從撤去F，直到最后達到穩定后的運動過程中，金屬棒cd產生的熱量Q；

(3)兩金屬棒從撤去F，直到最后達到穩定后的運動過程中，通過金屬棒cd的電荷量q.

得

(2)

v1=at0mv1=2mv2

則

v2=0.5at0

則

(3)

則

教學片段4:雙桿模型——不等長同一磁場

【例3】(在例2的基礎上稍作改變)如圖5所示，水平面內固定兩對足夠長的平行光滑金屬導軌，左側兩導軌間的距離為L1，右側兩導軌間的距離為L2，左、右側的兩導軌間都存在大小為B，方向豎直向下的勻強磁場，其他條件不變.

圖5 例3題圖

提出問題，學生回答如下：

(1)金屬棒P與Q將分別做什么運動？

學生回答：金屬棒P做加速度減小的減速運動直至勻速.金屬棒Q加速度減小的加速運動直至勻速.

(2) 若此時金屬棒P和Q的速度分別為vP和vQ，則加速度分別是多少？

學生回答：

(3) 最終勻速(穩定)的速度滿足什么關系？(師提示感應電動勢等大反向)

學生回答:

BL1v1=BL2v2

則

(4) 金屬棒P和Q的穩定速度分別是多少？

老師推導:對金屬棒P和Q，由動量定理

-BL1q=m1(v1-v)

BL2q=m2v2-0

(5) 整個過程流過金屬棒P或Q的電荷量為多少？(師提示對某一金屬棒運用動量定理求解)

學生回答:對棒Q分析，利用動量定理

BL2q=m2v2-0

得

【習題2】(河北省武邑中學2019屆高三上學期第一次調研物理試題)如圖6所示，水平面內固定兩對足夠長的平行光滑金屬導軌，左側兩導軌間的距離為2L，右側兩導軌間的距離為L，左、右側的兩導軌間都存在大小為B，方向豎直向下的勻強磁場.兩均勻的導體棒ab和cd分別垂直放在左、右兩側的導軌上，棒ab的質量為2m,有效電阻為2r，而棒cd的質量為m、有效電阻為r，其他部分的電阻不計.原來兩棒都處于靜止狀態，現給棒ab一大小為I0,方向平行導軌向右的沖量使棒ab向右運動，在達到穩定狀態時，兩棒均未滑出各自的軌道.求：

圖6 習題2題圖

(1)棒cd中的最大電流Im；

(2)棒cd的最大加速度；

(3)兩棒達到穩定狀態時，各自的速度大小.

(3)穩定時

2LBvab=BIvcd

-2LBIt=2mvab-2mv0

BILt=mvcd-0

則

教學片段5:雙桿模型——等長不同磁場，如圖7所示.

圖7 雙桿等長不同磁場

雙桿模型——不等長不同磁場，如圖8所示.

圖8 雙桿不等不同磁場

提出問題，學生回答如下：

(1)兩根金屬棒最終勻速(穩定)的速度滿足什么關系？運用什么方法？

學生回答：兩根金屬棒產生的感應電動勢等大反向.

(2) 金屬棒P和Q的穩定速度分別是多少？可以如何計算？

學生回答：分別對兩根金屬棒列動量定理表達式.

設計意圖：從等長同一磁場到不等長同一磁場再到等長不同磁場和不等長不同磁場，模型在發生變化，題目難度和復雜程度在不斷加大，但我們的解題思路和方法手段有很大的相似之處，讓同學們感受到這些相同之處，并且加深理解，有助于他們解決這類題目.

4 課堂總結

從以上模型我們可以得到一些結論，在沖量型雙桿模型中最終的電流會趨近于一定值——零，導體棒的加速度也會趨近于一定值——零.其實不管是單桿還是雙桿，不管是沖量型還是拉力型，不管是等寬還是不等寬，最終電路中電流會趨近于一個定值(可以為零，也可以不為零)，導體棒的加速度趨近于一定值(可以為零，也可不為零).

雙桿模型在處理最終速度時，緊扣電流這條主線，再結合動量定理或動量守恒，能量守恒，一般情況下可以解決問題.

為什么雙桿電路中的電流或加速度會趨近于一個定值？這是因為導體棒的速度與時間關系是一個以e為底的指數函數，現在筆者簡單推導如下：

以沖量型等長雙桿模型為例，如圖9所示，金屬軌道光滑，棒a質量為m1，電阻為R1，棒b質量為m2，電阻為R2，現給棒a初速度v0，求棒b速度與時間的關系.

圖9 沖量型等長雙桿模型

設某時刻t，棒a速度為v1，棒b速度為v2,則

(1)

再根據系統動量守恒得

m1v0=m1v1+m2v2

(2)

(3)

將式(3)帶入式(1)，整理可得

(4)

化簡得

(5)

(6)

整理可得

(7)

積分可得

(8)

式中C1為積分常量，則

(9)

式中τ為某常量.

沖量型雙桿模型中最終兩棒中的速度不變，電流不變，導體棒的加速度不變.

拉力型雙桿模型中最終兩棒中的速度差不變，電流不變，導體棒的加速度不變.

筆者以“電磁滑軌中的雙桿問題”為例，從雙桿運動情況、加速度、穩定狀態、電荷量、動量、能量等幾個角度多方位地剖析整個運動情形，并且從最簡單的等長同一磁場雙桿模型入手，一步步改變題目的條件，使題目的難度逐步增加.從等長同一磁場雙桿模型到不等長不同磁場雙桿模型，以層層遞進的方式建立合理的物理模型，由簡入難，使學生盡可能地掌握電磁滑軌中的雙桿模型；同時，可以有效地培養學生的思維能力與探究精神.