單擺細線拉力隨時間變化的圖像辨析

唐保東

(南京市雨花臺中學 江蘇 南京 210012)

1 提出問題

在今年2月份南京和鹽城兩市高三聯合一模考試中，有這樣一道試題：

【試題】如圖1(a)所示，O點為單擺的固定懸點，t=0時刻擺球從A點開始釋放，擺球將在豎直面內的AC之間做簡諧運動，其中B點為運動中的最低位置，用力的傳感器測得細線對擺球拉力F的大小隨時間t變化的曲線如圖1(b)所示，Fm,Fn,t0均已知，重力加速度為g，求：

圖1 試題題圖

(1)單擺的擺長L；

(2)擺球的質量m.

這是一道比較常規的單擺運動規律與力學相結合的題目，題干呈現的圖像看起來很像y=|cosx|+k的函數圖像，并且在nt0時刻突變，這與我們常見的單擺拉力隨時間變化圖像似乎有點不一樣[1,2]，到底哪個圖像才是正確的呢？

2 討論問題

首先,我們可以運用數學手段來證明，如圖2所示，設A點細線偏角為θ0(即此單擺的最大擺角).

圖2 單擺受力分析

可知t時刻小球運動到P點時瞬時偏角

θ=θ0cosωt

(1)

解得

(2)

故小球位于P點時細線拉力

(3)

將式(1)代入式(3)，可得

F=3mgcos (θ0cosωt)-2mgcosθ0

這個函數的圖像是怎樣的呢？我們可以賦予一定的值，例如假定L=1 m,g=10 m/s2,θ=5°,m=0.1 kg.利用GeoGebra軟件繪圖，設置橫縱坐標為10∶1，可得圖像如圖3所示.

圖3 細繩拉力隨時間變化圖像

對比可見，圖3與題目所給圖像相差較大，為慎重起見，我們進一步思考：對函數

F=3mgcos(θ0cosωt)-2mgcosθ0

求導可得

F′=3mgωθ0sinωtsin(θ0cosωt)

圖4 導函數隨時間變化圖像

3 明確結論

根據之前求解的結論，單擺拉力

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

其隨擺角變化的圖像是余弦函數與一項定值之差決定的，而θ=θ0cosωt，t=0時，θ=θ0，F=Fn=mgcosθ0為最小值，以后隨時間周期性變化,正確的圖像應該如圖5所示.

圖5 拉力隨時間變化正確圖像

4 拓展延伸

我們還可以用高等代數來證明單擺的周期公式及繩拉力隨時間變化的圖像.

單擺切向受力情況為-mgsinθ=ma,其中a為切向加速度，左邊取負號是考慮到回復力的方向與速度度方向總是相反.再根據切向加速度和角加速度的關系a=αr可得

進一步整理該式可得

(1)

如何處理這個式子呢？有兩個方法：

(1)根據泰勒展開式

當θ很小時sinθ≈θ，此時式(1)可變形為

(2)

這是一個二階常系數齊次微分方程，形如

y″+py′+qy=0

存在通用解法，其特征方程為

解得

對照復數

Z=α+βi

可知

式(2)的通解為

y=eax(C1cosβx+C2sinβx)

即

(2)利用微分換元法則

故式(1)可變形為

兩邊同時取積分

可得

再整理可得

(3)

這時可換一個方法求解單擺擺動過程中細線拉力

F=mgcosθ+mω2l=mgcosθ+m(θ′)2l

(4)

將式(3)代入式(4)同樣可得

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

這里很多知識顯然已經超出了高考的要求，但是作為物理教師把這些問題思考清楚還是十分必要的，一來教學上必須以己昭昭方可使人昭昭，二來在出試卷時避免出現一些科學性錯誤.