基于極簡教育技術理念的點電荷鏡像法電場可視化研究*——以GeoGebra軟件為例

向 倩 周志毅 丁益民 李 政 李子健

(湖北大學物理與電子科學學院 湖北 武漢 430062)

為了聚焦新時代對人才培養的新需求，將教育信息化作為教育系統性變革的內生變量，支撐引領教育現代化發展，推動教育理念更新、模式變革、體系重構，教育部制定了《教育信息化2.0行動計劃》[1].作為高等學校一線教師，如何充分把握好這一機遇，落實教育部的這一要求，實現教育信息化2.0的宏偉目標呢？隨著信息技術突飛猛進的發展，面對教育信息化浪潮，極簡主義思路值得借鑒和運用.我們可以將極簡主義理念和教育技術實踐有機結合起來，以應用驅動為導向加快推進教育信息化，堅持深化應用，促進高等教育質量的提升[2].隨著軟硬件技術的長足發展及其在教育領域越來越廣泛的運用，電腦及智能手機的大量普及為在教學上推廣極簡教育技術提供了硬件支持；網絡上涌現出一大批優秀教學應用軟件給學校師生運用極簡教育技術提供了極為豐富的資源選擇.以優秀的數學模擬軟件GeoGebra為例，借助這個軟件，師生能夠很方便地學習、研究點電荷電場的電勢和電場的分布特點.

模擬軟件GeoGebra是奧地利數學家Markus Hohenwarter開發的一款超越幾何畫板態勢的動態數學軟件[3]，其優點在于幾乎無需編程基礎，簡單易學，操作簡便，使用起來快捷高效[4].該軟件在網絡上可以免費下載，通過使用函數和變量定義能精確地繪制復雜圖形，并能方便地實現幾何圖形的動態變化演示，將本軟件用于物理教學十分符合極簡教育技術理念的要求與特點.

鏡像法求靜電場是電動力學中的一個重要的教學內容，然而由于電場的空間分布都十分的復雜和極具抽象性，并且需要較深的數學理論知識，使得學生在學習時困難重重，也容易喪失學習的興趣，因此靜電場的可視化在教學中具有重要意義[5～7].為了解決這個問題，本文利用GeoGebra的3D繪圖功能實現點電荷的3種鏡像電場可視化為例，解決鏡像法求解電場中電勢分布、等勢線的細節描述的難點，實現抽象的理論知識轉化為直觀形象的動態演示，為大學物理教師提供基于極簡教育技術的教學思路及理念.

1 點電荷與無限大接地導體平面的電場

設無限大導體平面位于xOz面內(如圖1陰影區域)，其右側距平面h處有一點電荷Q1，帶電荷量為q.為了計算上的簡化及數學形式上的對稱性，將Q1置于y軸.由鏡像法可知鏡像電荷Q2帶電荷量為-q，位置與Q1關于導體對稱，因此也位于y軸，且到xOz面的距離為h′=h.點電荷與無限大接地導體平面(即xOz面)的鏡像電荷和位置如圖1所示.

圖1 點電荷與無限大接地導體平面的鏡像電荷和位置

在空間直角坐標系中，點電荷Q1(x1,y1,0)，鏡像電荷Q2(x2,y2,0)，由于在三維空間無法描繪出4個變量之間的關系，且點電荷與鏡像電荷的場分布具有軸對稱性，因此只需要考慮平面xOy內任意點P(x,y, 0)的電勢分布，其電勢函數可表示為

(1)

由對稱性可知，x2=x1，y2=-y1.

可視化實現：

(1)打開GeoGebra，選擇【3D繪圖區】，設置滑動條“q”“h”“k”.為了便于作圖，取靜電常數k=1，不影響電勢分布的大致形狀.然后確定電荷的位置，在輸入區輸入點電荷的位置“Q1=(0,h,0)”，鏡像電荷位置“Q2=(0,-h,0)”.

由函數φ(x,y)的性質不難推出，當x→0，y→h時φ(x,y)→+∞；當x→0，y→-h時φ(x,y)→-∞，因此在這兩個點附近，電勢曲面表現為朝上下兩個方向上無限延伸的高高突起的尖柱形狀.由于φ(x,y)=-φ(x,-y)，函數呈中心對稱，曲面上的點關于O點在xOz兩側面呈中心對稱，因此這兩個柱體位于xOz兩側朝反方向無限延伸(如圖2)，其中z軸表示電勢，x，y表示空間位置坐標.圖2中電勢曲面上的縱坐標表示xOy平面內某點的電勢數值，曲面上關于O對稱的兩點，其電勢等值異號.

圖2 電勢的空間分布

(3)在輸入區輸入“x=0”,就會出現一個新的平面，即yOz平面，在工具欄點擊【相交曲線】工具后點擊兩個面即得到平面x=0與電勢分布曲面的交線(如圖3).接著隱藏兩個面，移動鼠標的同時按住鼠標右鍵可從不同視角方向觀察三維電勢分布的截面圖.下面圖3呈現的是電勢分布曲面φ(x,y)為x=0平面所截后電勢在yOz平面上的分布曲線.

圖3 點電荷與鏡像電荷在yOz面的電勢分布

(4)在輸入區分別輸入“z=0.2”“z=0.5”“z=1”“z=2”“z=4”“z=7”“z=-0.2”“z=-0.5”“z=-1”“z=-2”“z=-4”“z=-7”，這幾個面相當于等勢面，通過【相交曲線】工具，得到以上幾個面與電勢分布曲面的交線，即得到等勢線的空間分布圖4(a)，隱藏各個面，俯視得到點電荷與鏡像電荷等勢線的二維平面圖，如圖4(b).

(a)等勢線空間分布

2 點電荷與接地導體球面的電場

半徑為a的接地導體球外有一個點電荷q，點電荷距離球心為d，點電荷與接地導體球面的鏡像電荷q′ 的大小和位置如圖5所示.

圖5 點電荷與接地導體球面的鏡像電荷的大小和位置

根據鏡像法,鏡像電荷量

(2)

鏡像電荷的位置

(3)

設P點位于xOy平面上，坐標為(x,y,0),電勢函數表示為

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

(8)

可視化實現：

(1)設置滑動條“q”“a”“d”“k”“θ”.依舊令k=1，且d>a.在輸入區依次輸入式(2)和(3)，“Q1=(d,0,0)”和“Q2=(d′,0,0)”.

(2)由于電勢函數較為復雜，依次在輸入區輸入式(5)、(6)、(7)、(8).

(3)在輸入區輸入電勢函數(4)，便可繪制出圖6(a).

(4)同第一種鏡像電場的操作方式，可繪制點電荷與鏡像電荷連線方向的電勢分布如圖6(b)，等勢線空間分布如圖6(c)，等勢線二維平面分布如圖6(d).

(a)電勢空間分布

3 點電荷與不接地導體球面的電場

當導體球不接地時，此時除了有鏡像電荷q′外，還存在另一個位于球心的鏡像電荷q″，使得導體球總體帶電量為零.點電荷與不接地導體球面的鏡像電荷的大小和位置如圖7所示.

圖7 點電荷與不接地導體球面的鏡像電荷的大小和位置

根據鏡像法

q″=-q′

(9)

d″=0

(10)

此時P點的電勢函數表示為

(11)

可視化實現與以上兩種情景類似，本部分不再詳述，最后通過GeoGebra分別繪制如圖8所示.

移動滑動條上各變量，會發現各圖像形成動態變化，即電勢大小隨著各個變量的改變而改變，但是電勢大致的分布沒有受到影響.顯然以上圖像顯示的結果與傳統教學過程中得到的結論是一致的.而且這些圖形是根據數值計算結果繪制出的，比目前眾多教材中還在大量采用的示意性圖準確可靠.

(a)電勢空間分布

5 結束語

本文旨在嘗試在教學工作中運用極簡教育技術推進課堂教學信息化，以極簡主義理念所倡導的師生使用方便、直觀、實用、易學、易用作為出發點，以GeoGebra軟件對靜電場中點電荷的3種鏡像法電場進行可視化研究為例，生動鮮活、直觀詳盡地展現了在鏡像電場中各個視角的電勢分布和等勢線分布情況.在以往的教學中，學生很難通過公式推導和課本上呈現的二維平面圖，就能了解不同電場中電勢分布情況，然而借助極簡教育技術，利用GeoGebra開展靜電場仿真教學，很容易地令點電荷鏡像法電場可視化后，化抽象的概念為直觀的認識，學生通過分析3D圖像，會發現不同鏡像電場的各個視角的電勢分布圖像各有特點，以及軟件頁面的顏色區分和動態效果，加深了學生對不同場分布結構的印象和理解，從而達到極簡教育技術所倡導的目的，為廣大教師推動教育觀念更新、在教學中推進新技術支持下的教育教學創新思路提供參考與借鑒.