水力壓裂過程中水泥環裂縫擴展的數值模擬

閆 炎, 管志川,2*, 閻衛軍, 許玉強,2, 馬維臻

(1.中國石油大學(華東)石油工程學院， 青島 266580； 2.山東省深地鉆井過程控制工程技術研究中心， 青島 266580； 3.中國石油長城鉆探工程有限公司， 北京 100020)

井筒密封完整性是貫穿油氣井生命周期的一個核心指標，對保證油氣井在服役期間的安全生產至關重要[1-3]。一旦在開發過程中，井筒密封完整性遭到破壞，將會導致環空竄流的發生，進而影響油氣井產量、降低油氣井服役壽命。大量研究表明水泥環的本體破壞與固井界面微環隙的產生是導致井下環空竄流形成的主要原因之一[4-7]。劉碩瓊等[8]、Liu等[9]、Xi等[10]計算了頁巖氣壓裂過程中水泥環的應力分布，結果一致認為水泥環一界面是壓裂過程中的薄弱之處。張林海等[11]利用全尺寸水泥環密封性評價裝置，研究了多段壓裂作用下水泥環的密封完整性，結果顯示密封性失效發生在卸壓階段水泥環與套管之間的界面處。Andrade等[12]通過計算機斷層掃描(computed tomography，CT)的手段觀察循環加載后的水泥環微裂縫，證實了水泥環內部裂縫導致了井筒密封完整性的失效。此外，射孔作為建立油氣流動通道的一項必要工藝技術，水泥環孔眼周圍的裂縫將加劇射孔段水泥環在壓裂過程中的破壞[13]。趙效鋒等[14]對壓裂過程中射孔段水泥環力學響應進行了分析，結果顯示射孔段水泥環內部應力與相位與孔密密切相關。但應力分布僅能判斷水泥環是否發生破壞，對后期水泥環失封范圍難以給出量化的表征。因此，有必要針對壓裂過程中射孔段水泥環孔周裂縫的擴展規律進行分析，降低壓裂過程中水泥環密封失效的可能性。

針對上述問題，基于損傷力學與流固耦合理論，建立了水力壓裂過程中射孔段水泥環裂縫擴展的數值模型，模擬了水平井段壓裂工況下固井水泥環徑向裂縫沿井筒軸向的擴展過程，得出射孔段水泥環的密封失效范圍，同時分析了水泥彈性模量、套管內壓、地層孔隙壓力對固井水泥裂縫擴展長度的影響規律，為壓裂過程中封隔段長與射孔簇間距的選取提供參考。

1 數值模型

1.1 模型假設與依據

圖1為多級壓裂過程中水泥環密封失效示意圖，若兩級之間的水泥環裂縫互相連通，則壓裂液將沿裂縫進入壓裂完成的層段，易導致壓裂的失敗。針對此情況，以射孔段水泥環為研究對象分析水泥環裂縫在壓裂過程中的擴展特征。

圖1 多級壓裂過程中段間水泥環密封失效示意圖Fig.1 The failure of cement integrity between segments during multi-staged fracturing

圖2 水泥環孔周裂縫的幾何簡化Fig.2 Geometric simplification of cement crack around the hole

根據筆者前期進行的射孔實驗結果[15]，射孔后水泥環孔周形成徑向裂縫如圖2所示。為便于計算，將射孔簇水泥環的初始裂縫簡化為一條長1 m的徑向縫。此外，壓裂過程中水泥環的裂縫擴展過程是一個多物理場耦合過程，為簡化計算，只考慮在壓裂液的壓力下水泥環的損傷情況，且對模型做出以下假設：①地層巖石和水泥環為各向同性多孔介質材料；②僅考慮應力場與滲流場影響，不考慮溫度場的影響；③套管、水泥環與地層巖石均視為彈性體，不考慮材料的蠕變效應。

1.2 材料參數

結合松遼盆地某頁巖油壓裂井的儲層信息與施工參數，模型中套管、水泥環、地層巖石密度分別為7.85、1.8、2.3 g/cm3；彈性模量分別為210、6.7、25 GPa；泊松比分別為0.27、0.22、0.24。水泥與地層巖石的孔隙度分別為0.15、0.2；滲透率分別為0.02、5 mD。相關的地質力學參數與壓裂施工參數如下：水泥的抗拉強度3 MPa，濾失系數為5×10-14m/(Pa·s)，地層上覆巖層壓力、最大水平地應力與最小水平地應力分別為35、32、28 MPa。套管內壓為45 MPa，井筒內壓裂液黏度為10 mPa·s，壓裂液的流量為8 m3/min。圖3為井筒截面壓裂液分布，裂縫入口處的流量Qinj計算公式為

(1)

式(1)中：Q為井筒內的壓裂液流量，m3/min；D為井筒直徑，mm；d為徑向裂縫的平均寬度，mm；h為水泥環厚度，mm。

圖3 壓裂液在含裂縫井筒內的分布Fig.3 Distribution of fracturing fluid in a cracked wellbore

圖4 幾何模型Fig.4 Geometric model

1.3 物理模型與模擬步驟

壓裂過程中水平段井筒幾何模型如圖4所示，基于圣維南原理，模型中地層截面尺寸設置為5 m×5 m。套管外徑為139.7 mm，水泥環厚度38 mm。水平段井筒長度設置為10 m。根據文獻[13]中實驗測量的水泥環裂縫幾何尺寸，徑向裂縫的初始寬度設置為100 μm。模型中的網格均采用結構化網格，為減小計算時間網格由內向外逐漸稀疏。同時在套管、水泥環和地層上下底面以及地層外側施加固定約束。

該模型的模擬過程分為兩個階段：首先是地應力平衡階段，即將地應力和孔隙壓力平衡時的狀態施加到模型上。最大水平地應力σH、上覆巖層壓力σv和最小水平地應力σh分別沿x、y和z方向加載。初始孔隙壓力Pi施加到完全飽和的地層巖石上。同時，套管壁上施加均布載荷Pw以模擬井筒內液柱壓力。第二階段是壓裂液沿孔道處的水泥環徑向裂縫注入階段。在該步驟中，將壓裂液以恒定速率連續注入孔眼周圍的初始裂縫內，徑向裂縫在壓裂液驅動下逐漸脫粘擴展。

2 控制方程與離散

2.1 壓裂過程流固耦合控制方程

飽和多孔介質在水力壓裂時，作用在裂縫壁面上的流體會使多孔介質中的固相骨架變形，而壓裂液注入引起近井區域巖石孔隙壓力的改變將導致裂縫形態和滲透率的變化，因此裂縫擴展是黏性流體流動與巖體變形的動態耦合過程[16-17]。ABAQUS可以有效模擬水力壓裂中裂縫擴展的滲流-應力耦合問題，其巖石應力平衡方程為

(2)

通過對每個節點施加孔隙壓力模擬壓裂液的流動，多孔介質內連續性流動方程的弱形式為

(3)

流動方程滿足達西方程，則有

(4)

式中：qw為介質內體積流率，m3/s；ρw為孔隙中流體密度，kg/m3；nw為孔隙度；pw為流體壓力，MPa；k為滲透率，μm2；g為自由落體加速度，m/s2；n為垂直于表面S的單位向量；x為流體在裂縫內流動的距離，m。

2.2 裂縫起裂準則

水力裂縫的起裂和擴展采用基于黏聚力單元損傷力學的拉伸-分離準則[18]。巖石未損傷之前的本構關系為線彈性，單元開始損傷后剛度逐漸退化直至完全失效。在數值模擬中，采用二次應力準則作為水力裂縫的起裂準則，即

(5)

為表征黏聚力單元的損傷程度，模型中引入損傷因子D。D為0～1的取值表示材料從未損傷到完全損傷。基于線性位移擴展準則的黏聚力單元損傷因子可表示為[18]

(6)

引入損傷因子后，基于牽引-分離準則的黏聚力單元損傷演化準則表示為

(7)

為考慮法向擴展和切向擴展的結合，將裂縫擴展考慮為Benzeggagh-Kenane(B-K)混合擴展模式，即

(8)

流體在黏聚力單元內的流體模式分為兩類：垂直于上、下表面的法向流動和平行于表面的切向流動。采用冪律模型來表征流體的切向流，其模型的本構關系為

(9)

黏聚力單元內切向流的體積流率定義為[18]

(10)

式(10)中：d為界面裂縫開度，m；q為流體流量，m3/s；?p為流體壓降，Pa/m。

黏聚力單元內流體的法向流動表現為沿單元上、下表面的濾失，其計算公式為[17]

(11)

式(11)中：qt和qb分別為單元上、下表面的體積流率，m3/s；ct和cb分別為單元上、下表面的濾失系數，m4·s/kg；pt和pb為上、下表面的孔隙壓力，MPa；pi為單元內的流體壓力，MPa。

聯立方程組[式(11)]及邊界條件，利用有限元離散化方法[19]中引入的插值函數，可將平衡方程、連續性方程等形成應力-滲流耦合方程矩陣，在ABAQUS中進行求解計算。

3 室內實驗

利用圖5所示的井筒完整性評價裝置驗證數值計算結果的可靠性。該裝置可以通過在套管內施加液壓，模擬水力壓裂中壓裂液驅動水泥環裂縫擴展的過程。裝置主要由模擬井筒、數據采集系統、壓力控制系統、溫度控制系統構成。實驗時釜體內可向模擬井筒外圍施加圍壓，向套管內施加液壓以模擬壓裂液注入過程。水泥環上方連接著壓力傳感器以檢測水泥環的密封完整性。

圖5 井筒密封完整性實驗裝置結構圖Fig.5 Structure of wellbore sealing integrity device

實驗前首先進行射孔段井筒的制備：在Φ35 mm鋼管的中間位置預制一個半徑為2 mm的孔眼，用一根長為5 mm、直徑為2 mm的石蠟柱插入套管孔眼中，并在孔眼軸向固定20 mm塑料板，在水泥環養護完成之后移除石蠟柱，這樣就在水泥環中形成了射孔段水泥環的初始徑向裂縫。實驗中G級油井水泥的水灰比為0.44，在10 MPa、20 ℃條件下養護3 d。此外，在壓裂實驗前還需進行水泥環初始密封性監測。將養護完成的模擬井筒安裝到高壓釜中，圍壓設置為12 MPa，持續10 min，若水泥環上部壓力不發生變化則表示水泥環密封性良好，可以進行下一步的壓裂加載實驗。實驗過程中利用液壓泵逐漸升高套管內壓，實驗設備的加載范圍為0～30 MPa，加載過程中若水泥環上部壓力由0產生變化，即表明水泥環發生破壞，此時的套管內壓為水泥環裂縫的起裂壓力。最后拆開模擬井筒，將破壞的水泥環取出并觀察其破壞形式。

從圖6(a)中破壞的水泥環上可以清晰地看到沿井筒軸向擴展的徑向裂縫，說明壓裂過程中在初始縫的誘導下，壓裂液將驅動初始裂縫沿井筒軸向擴展。此外，實驗中裂縫的起裂壓力與數值計算得到的起裂壓力分別為17.6、20.4 MPa，如圖6(b)所示。實驗中套管內壓值稍低于模擬計算得到的裂縫擴展壓力，原因在于實際實驗中水泥環是脆性材料，因此水泥環受套管內壓達到一定值時將會發生拉伸或剪切破壞，但數值模擬中將水泥環考慮為彈性材料，只考慮了水泥環的裂縫擴展，導致了結果上的誤差。但相較于計算測到的臨界套管內壓值，數值模擬誤差為15%，仍然具有一定的參考價值。

4 結果與討論

4.1 水泥環徑向裂縫擴展特征

圖7為壓裂液驅動下水泥環徑向裂縫沿井筒軸向的擴展過程，裂縫在壓裂初期80 s內的擴展速度明顯快于80～200 s。水泥環徑向裂縫在擴展過程中，壓裂液在與地層孔隙壓力的壓差作用下不斷濾失到水泥環與地層巖石中，直至滲流過程達到了動態平衡。圖8為徑向裂縫形成后水泥環內的孔隙壓力場。水泥環內裂縫周圍的孔隙壓力值由于壓裂液的侵入明顯高于遠場地層中的孔隙壓力，且在井筒周圍形成一個橢球狀的高應力場。觀察圖8中裂縫內流體流速矢量分布可知，壓裂液主要沿著裂縫面滲入水泥環與地層巖石中，平均的滲流速度大約為7×10-5m/s。

圖8 徑向裂縫形成后水泥環內孔隙壓力場Fig.8 The pore pressure field in the cement sheath with the radial crack

圖6 實驗與數值模擬結果對比Fig.6 Comparison of numerical simulation and experimental results

圖7 射孔段水泥環徑向裂縫發展過程Fig.7 Propagating process of radial crack in perforated cement sheath

圖9為徑向裂縫縫口注入點壓力隨時間的變化曲線。由圖9(a)可知，注入點壓力短時間內快速上升，隨后逐漸回落最終穩定在某一數值。在外載條件下，水泥環徑向裂縫的起裂壓力為83.4 MPa，裂縫擴展壓力為45.2 MPa。由圖9(b)縫內不同時刻壓裂液壓力分布的變化曲線可知，縫口的壓力隨著壓裂的進行逐漸降低，而縫尖處逐漸升高。圖10為壓裂過程中水泥環徑向裂縫擴展速度曲線。徑向裂縫的擴展速度隨著時間的增長逐漸下降，直至擴展長度達到極限值裂縫擴展停止，最終水泥環徑向裂縫沿井筒軸向的擴展長度為5.74 m。

圖9 不同時刻裂縫內流體壓力分布曲線Fig.9 Pressure distribution of fluid in the fracture at different fracturing time

圖10 裂縫長度隨時間的變化曲線Fig.10 Variation curve of fracture length with fracturing time

4.2 敏感性分析

體積壓裂過程中壓裂液進入射孔導致的水泥環初始裂縫中，初始裂縫會在壓裂液的驅動下發生擴展，若水泥環的徑向裂縫長度超過射孔簇間距，則不同壓裂段/簇之間會產生壓裂液的相互竄流，進而可能引發環空帶壓、套管變形失效等問題，造成壓裂作業失敗。因此水泥環徑向裂縫沿井筒軸向的擴展長度對于合理壓裂段/簇間距的制訂與壓裂中水泥環完整性的評價都是關鍵的評價指標與參考。針對套管內壓、水泥彈性模量、地層孔隙壓力3個參數，分析其對壓裂過程中水泥環徑向裂縫軸向擴展長度的影響規律。

4.2.1 套管內壓

圖11 不同套管內壓下徑向裂縫擴展長度Fig.11 Propagation length of cement radial crack under different casing pressure

圖11為不同套管內壓條件下水泥環徑向裂縫沿井筒軸向擴展長度變化曲線。可以看出，隨著套管內壓的升高，裂縫擴展長度線性增大。當套管內壓從35 MPa升高到50 MPa后，裂縫長度從5.2 m增大至7.2 m。原因在于套管內壓的升高將增大水泥環內部的周向拉應力，拉應力的增大一定程度上降低了水泥環徑向裂縫擴展路徑上的阻力，因此擴展長度會有所增加。但在體積壓裂的施工現場，往往需要高泵壓來將壓裂液壓入地層中使得支撐劑對裂縫形成支撐，這就導致套管內壓也會隨著井口泵壓的增大達到較高的數值。因此，在壓裂施工過程中，應盡可能增大段間距/簇間距以避免水泥環裂縫擴展導致完整性破壞對于開發過程的影響。

4.2.2 水泥彈性模量

圖12為不同水泥彈性模量下徑向裂縫沿井筒軸向的擴展長度變化曲線。可以看出，隨著水泥石彈性模量的增加，裂縫擴展長度線性下降。原因在于高彈模水泥裂縫擴展時需要的斷裂能更大，在相同的壓裂液排量與套管外載下，因此擴展長度也就相應降低。現場中不同配方水泥漿固化后的彈性模量基本在3～15 GPa范圍內[20]，根據圖12中的計算結果，徑向裂縫的擴展長度基本處在4～8 m的范圍內。因此，壓裂現場只要將射孔簇間距保持在8 m以上一般情況下不會在射孔簇或壓裂段間形成竄流通道。

圖12 不同水泥彈性模量下徑向裂紋擴展長度Fig.12 Propagation length of cement radial crack under different cement elastic modulus

圖13 不同地層孔隙壓力下徑向裂紋擴展長度Fig.13 Propagation length of cement radial crack under different pore pressure in formation

4.2.3 地層孔隙壓力

圖13為不同地層孔隙壓力下水泥環徑向裂縫沿井筒軸向擴展長度變化曲線。可以看出，徑向裂縫擴展長度隨著地層孔隙壓力的增大逐漸降低，但降低的幅值逐漸減小。在本算例中當地層孔隙壓力由20 MPa增大到35 MPa，水泥環徑向裂縫長度由6.6 m減小到4.8 m。實際工況下，地層孔隙壓力值一般與地層深度呈現強烈的正相關關系，根據計算結果，儲層的深度越大，也就意味著水泥環徑向裂縫在井下的擴展長度越小，即孔隙壓力值的增加可以降低水泥環在井下發生失封風險的概率。因此，對于埋深較大的頁巖氣儲層，為了提高產量可以考慮適當增加射孔密度并縮短射孔簇間距，這樣增加儲層開發效率同時井筒也可在體積壓裂過程中保持水泥環的密封完整性。

5 結論

(1)體積壓裂過程中射孔段水泥環徑向裂縫擴展過程主要發生在壓裂初期，且縫口與縫尖處的壓力差隨著壓裂的進行逐漸縮小。壓裂模擬實驗證實了水泥環徑向裂縫在壓裂液驅動下會發生軸向擴展，驗證了數值模型的合理性。

(2)地層孔隙壓力的升高、水泥彈性模量的增大可減小水泥環徑向裂縫沿井筒軸向的擴展長度。壓裂現場常采用的增韌水泥因其降低了自身的彈性模量而不利于抑制水泥環的裂縫擴展。此外套管內壓的升高將增大壓裂施工過程后井下水泥環的失封風險。