基于向量式有限元的岸橋動力學(xué)分析

王嘉誠， 劉 龍

(上海海事大學(xué)上海離岸工程研究院， 上海 201306)

岸邊集裝箱起重機是在碼頭進行貨物裝卸的重要機械。在起重機的工作過程中小車的運行與吊重的偏擺會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生彎曲變形與振動，結(jié)構(gòu)的振動又會反過來影響小車與吊重，對起重機的運行安全與工作效率產(chǎn)生影響。因此對工作狀況下的岸橋進行動力學(xué)分析是有必要的。

移動物體作用下的耦合系統(tǒng)通常簡化為移動質(zhì)量-大梁系統(tǒng)進行分析。秦仙蓉等[1]進行了不同運動參數(shù)的移動質(zhì)量作用下的簡支梁動力學(xué)響應(yīng)分析。段民封等[2]提出了針對不確定性移動載荷激勵下的簡支梁分析方法。龔云軒等[3]基于Timoshenko階梯梁模型，分析了移動質(zhì)量作用下梁的振動響應(yīng)。Zhang等[4]對移動載荷作用下的Euler-Bernoulli梁與Timoshenko梁的響應(yīng)進行了對比。Qiao等[5]研究了黏彈性邊界條件下梁的振動響應(yīng)。經(jīng)薇等[6]研究了多個車輛作用下的車橋耦合振動特性。

與車橋耦合系統(tǒng)不同的是岸橋結(jié)構(gòu)復(fù)雜并且需要考慮吊重的作用。蘇晴等[7]建立了岸橋上部結(jié)構(gòu)簡化模型，將拉桿模擬為彈簧支撐，門架連接處假設(shè)為簡支邊界條件。劉華森等[8]建立了簡支梁、移動小車與吊重的耦合系統(tǒng)并進行數(shù)值求解。Wu等[9]將吊重假設(shè)為考慮吊具的雙擺與單擺兩種形式，把結(jié)果進行對比。辛運勝等[10]考慮了軌道缺陷，建立司機-起重機-軌道系統(tǒng)進行分析。

向量式有限元(vector form intrinsic finite element，VFIFE)是一種新型數(shù)值計算方法。Long等[11]進行了空間框架結(jié)構(gòu)在地震作用下的倒塌模擬。唐敬哲等[12]基于有限質(zhì)點法對界面之間的接觸、斷裂等行為進行了分析。Duan等[13]進行了考慮車鉤效應(yīng)的車橋耦合問題分析。

前人研究中進行起重機小車運行工況下的分析時，將橋式和門式起重機簡化為簡支梁，針對結(jié)構(gòu)復(fù)雜的岸橋則需要對模型進行簡化處理。現(xiàn)基于向量式有限元理論，建立包含單元耦合、鉸接點和質(zhì)量點的岸橋模型，對移動吊重與小車作用下的岸橋動力學(xué)行為進行分析，解決在岸橋的動力學(xué)分析中如何表示單元間耦合與鉸接點的問題，擺脫目前依賴有限元軟件進行分析的現(xiàn)狀。

1 向量式有限元理論概述

向量式有限元與經(jīng)典力學(xué)的區(qū)別在于對結(jié)構(gòu)概念的描述和簡化的方式不同。向量式有限元理論由3個基本概念組成，分別為點值描述、途徑單元和虛擬的逆向運動。

1.1 梁單元理論

(1)

令t2時刻的桿單元a2b2做虛擬的逆向運動，首先進行逆向的平移-u，使得節(jié)點a2與a1的位置重合，此時桿單元到達虛擬位置的兩端節(jié)點為a′2和b′2。之后再進行逆向的轉(zhuǎn)動-Δθ，使得單元a′2b′2與單元a1b1平行，到達虛擬位置的兩端節(jié)點為a″2和b″2，轉(zhuǎn)角的大小為Δθ=sin-1|e1e2|，其中u′b、u″b、u?b和u?a分別為節(jié)點b1～b′2、節(jié)點b′2～b″2、節(jié)點b1～b″2和節(jié)點a1～a″2的位移。逆向運動后節(jié)點的位移與轉(zhuǎn)角變化為

(2)

圖1 梁單元的虛擬逆向運動Fig.1 Virtual reverse motion of beam element

(3)

根據(jù)虛功原理，因節(jié)點變形導(dǎo)致的節(jié)點內(nèi)力做功與單元的變形虛功相等。對單元進行分析后可得t1與t2時刻的節(jié)點內(nèi)力的差值為[14]

(4)

式(4)中：I為慣性矩；A為截面面積；E為彈性模量；Δfbx為節(jié)點b所受內(nèi)力的插值；Δma和Δmb分別為節(jié)點a和b所受彎矩的差值；Δ為單元的純變形，θa和θb分別為節(jié)點a和b的轉(zhuǎn)角。

(5)

(6)

則單元內(nèi)力的表達式為

(7)

圖2 梁單元節(jié)點內(nèi)力Fig.2 Internal forces of beam element points

式(7)中：fjx、fjy和mj分別為全局坐標(biāo)下的單元在x方向上的內(nèi)力、y方向上的內(nèi)力和彎矩，單元作用在兩端節(jié)點上的內(nèi)力為單元內(nèi)力的反作用力，因此節(jié)點a和b所受內(nèi)力分別為fa=fa，fb=-fb。取Pa和Pb為兩個節(jié)點所受外力，節(jié)點所受合力Fa=Pa+fa，則梁單元節(jié)點運動表達式為

(8)

式(8)中：Ma為質(zhì)量矩陣；xa為位移矩陣;Fa為合力矩陣；ma和Ia分別為節(jié)點的質(zhì)量和慣性矩；xa、ya和θa分別為節(jié)點a水平與豎直方向位移與轉(zhuǎn)角；Fax、Fay和Faz為3個方向上的力。

使用中心差分法，將式(8)代入中心差分公式中，可得第-1步、第1步和第n+1步的節(jié)點a的位移迭代公式分別為

(9)

(10)

(11)

根據(jù)牛頓運動定律可知在沒有消能機制的情況下，振動的物體將保持持續(xù)振動的狀態(tài)。所以在運動公式中加入阻尼力，起到減小振動的振幅的作用，以此得到近似的收斂結(jié)果。

1.2 桿單元理論

對于桁架機構(gòu)、連桿機構(gòu)等軸力桿件結(jié)構(gòu)可使用向量式有限元桿單元理論進行模擬。向量式有限元桿單元與梁單元的不同之處在于不考慮節(jié)點的轉(zhuǎn)動，與之對應(yīng)的內(nèi)力與外力中減少彎矩的作用。

桿單元求解節(jié)點內(nèi)力的思路與梁單元理論類似，通過虛擬的逆向運動得到單元的純變形。結(jié)構(gòu)如圖1所示，由材料力學(xué)知識可得，t2時刻的桿單元a2b2兩端節(jié)點內(nèi)力為

(12)

1～19為節(jié)點圖3 岸橋點值描述Fig.3 Point value description of quayside container crane

2 岸橋結(jié)構(gòu)分析方法

選取某型號的岸橋作為分析對象，其中大梁長度為144.132 m，基距為30.48 m。如圖3所示，對整機結(jié)構(gòu)進行點值描述，其中拉桿用桿單元構(gòu)建，其他結(jié)構(gòu)用梁單元構(gòu)建，節(jié)點15為前大梁與后大梁連接的鉸接位置。岸橋作為一種結(jié)構(gòu)復(fù)雜的大型機械，結(jié)構(gòu)中存在鉸點、不同單元耦合作用下的節(jié)點、質(zhì)量點和高度變化的偏擺吊重等特點，所以需了解如何使用向量式有限元對這些特點進行分析。

2.1 鉸接節(jié)點

為了使岸橋的前大梁在非工作狀態(tài)下能夠抬起，前大梁與后大梁的連接方式為鉸接。假設(shè)前大梁與后大梁通過一個鉸接點連接，為了模擬出鉸接的兩單元的相對轉(zhuǎn)動，需要對單元的內(nèi)力計算公式進行修改。

以1-2梁單元為例，對于常見的剛接節(jié)點，單元兩端的節(jié)點內(nèi)力計算公式為[15]

(13)

以14-15單元為例，前大梁與后大梁通過鉸接點15進行連接，由鉸接結(jié)構(gòu)的性質(zhì)可得

(14)

式(14)中：m15-14和φ15-14分別為單元14-15中節(jié)點15的彎矩和轉(zhuǎn)角。

將式(14)代入式(13)可得與鉸接點連接的單元兩端節(jié)點的內(nèi)力計算公式為

(15)

在使用ANSYS軟件設(shè)置鉸接節(jié)點時需要設(shè)置多個相同位置的節(jié)點后根據(jù)鉸接關(guān)系設(shè)置約束，過程較為復(fù)雜。使用向量式有限元分析只需判斷節(jié)點的連接方式，選擇對應(yīng)的內(nèi)力計算公式進行計算。

2.2 耦合單元節(jié)點

對于岸邊集裝箱起重機來說，起重機主體使用梁單元來構(gòu)建，但結(jié)構(gòu)中的拉桿不承受彎矩的作用，因此需要使用桿單元來描述。對于同時連接桿單元與梁單元的節(jié)點來說，如何正確描述不同單元間的耦合作用是需要解決的問題。

(16)

由梁單元的內(nèi)力計算公式可得，梁單元16-17和17-18傳遞給節(jié)點17的內(nèi)力為

(17)

至此得到了各個單元作用在節(jié)點17上的內(nèi)力，由于內(nèi)力都按照了坐標(biāo)軸進行了分解，所以可得節(jié)點17受到的總內(nèi)力為

(18)

在程序求解過程中對單元類型進行判斷，將處于耦合單元位置的節(jié)點的內(nèi)力計算公式進行替換。

2.3 結(jié)構(gòu)自重與質(zhì)量單元

在岸橋的ANSYS有限元模型中將部分結(jié)構(gòu)用質(zhì)量單元表示，在進行力學(xué)分析前要分析自重對結(jié)構(gòu)的變形。在向量式有限元模型中可通過在每個節(jié)點上施加對應(yīng)的重力來模擬結(jié)構(gòu)自重的影響。假設(shè)節(jié)點i的質(zhì)量為m′i，在此節(jié)點上施加的質(zhì)量單元的質(zhì)量為massi，則加入質(zhì)量單元后此節(jié)點的質(zhì)量mi=m′i+massi，取g為重力加速度，自重導(dǎo)致的垂直方向上的外力為

Pi=-mig

(19)

2.4 高度變化的偏擺吊重

(20)

(21)

圖4 起升作用下吊重的位置變化Fig.4 Variation of lifting position under lifting action

3 動力學(xué)分析結(jié)果

使用ANSYS軟件建立對應(yīng)的有限元模型，如圖5所示，使用單元為Beam188、Link180和Mass21，模型由159個節(jié)點表示。取小車質(zhì)量10 t，吊重質(zhì)量30 t，小車運行速度240 m/min，起升速度90 m/min，小車加速度為2 m/s2，連接吊重的鋼絲繩繩長變化范圍為30～4 m，吊重初始擺角為0.05 rad。

不考慮吊重的作用，將小車視為移動載荷進行分析，使用有限元軟件與向量式有限元分析得到的大梁上各節(jié)點垂直方向上的位移如圖6所示，節(jié)點編號所對應(yīng)的位置如圖3所示。可以看出，VFIFE與ANSYS軟件求解得到的結(jié)果相比誤差很小，并且在向量式有限元中整機結(jié)構(gòu)只用了19個節(jié)點描述，用較少的節(jié)點便可得到精確結(jié)果。

圖5 岸橋的有限元模型Fig.5 Finite element model of quayside container crane

圖6 移動載荷作用下的大梁位移Fig.6 Displacements of girder under moving load

前大梁與后大梁之間通過鉸接點連接，在小車運行通過鉸接點時，隨著結(jié)構(gòu)約束方式的變化，內(nèi)力會發(fā)生突變。內(nèi)力的突變也會導(dǎo)致位移的變化。由圖6可知，將小車模擬為移動載荷時鉸接點的作用不明顯，因此將小車模擬為移動質(zhì)量進行分析。

選取鉸接點與前大梁最遠(yuǎn)端兩個位置進行分析，其他相關(guān)參數(shù)保持一致，得到移動載荷與移動質(zhì)量作用下的節(jié)點位移變化對比如圖7所示。可以看出，在阻尼相同的情況下小車開始運動時移動質(zhì)量作用下的結(jié)構(gòu)振動更劇烈。與移動載荷相比，移動質(zhì)量作用下的大梁在中間一段的曲線與其不同，曲線發(fā)生突變的時刻正是小車運行到鉸接點位置的時刻。在考慮了小車慣性力作用的情況下，結(jié)構(gòu)的位移變化在鉸接點處發(fā)生了突變。

考慮小車的變速運動和吊重起升與偏擺，在小車運行時為了提高工作效率，吊重會經(jīng)過起升-固定高度-下降的過程。得到大梁上各節(jié)點的撓度變化如圖8所示，可知在小車的啟動與制動階段，結(jié)構(gòu)會發(fā)生明顯的振動。

圖7 移動載荷與移動質(zhì)量作用下的大梁位移對比Fig.7 Displacement comparison of girder under moving load and moving mass

圖8 移動吊重與小車作用下的大梁位移Fig.8 Displacement of girder under the action of moving lifting load and trolley

小車運行過程中吊重的相圖如圖9所示，可得隨著高度升高，吊重的擺角減小。小車的啟動與制動時的加速度會導(dǎo)致擺角發(fā)生較大幅度的變化，因此當(dāng)重物的質(zhì)量較大時，應(yīng)適當(dāng)減小小車的運行速度以起到防止擺角過大的作用。

圖9 吊重的相圖Fig.9 Phase diagram of lifting load

4 結(jié)論

基于向量式有限元桿單元與梁單元理論，進行了岸橋的動力學(xué)分析，得出如下結(jié)論。

(1)對岸邊集裝箱起重機的結(jié)構(gòu)進行點值描述，并對結(jié)構(gòu)中存在的鉸接點、質(zhì)量點、耦合單元和高度變化的偏擺吊重的處理方法進行說明。

(2)根據(jù)向量式有限元理論進行編程，使用ANSYS軟件建立有限元模型，進行移動載荷作用下起重機動力學(xué)分析，說明向量式有限元只需選取結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵位置設(shè)置節(jié)點便可有較高的準(zhǔn)確性。

(3)將小車模擬為移動質(zhì)量進行分析，并與移動載荷作用下的結(jié)果進行對比，根據(jù)結(jié)果可得移動質(zhì)量可以表現(xiàn)出小車運行至鉸接點位置時的結(jié)構(gòu)運動的突變。

(4)考慮小車運行中吊重的起升與偏擺，得到大梁上各點的撓度變化與吊重的相圖，以此反映出小車運行對結(jié)構(gòu)的影響。

將吊重簡化為了約束點移動的變擺長單擺進行分析，從得到的結(jié)果可知在這種模擬方式下吊重會發(fā)生較大的偏擺。以后可以嘗試模擬出更符合實際的小車與吊具結(jié)構(gòu)，也可以添加防搖擺的措施以模擬更真實的情況。