石墨烯片增強納米復合材料微米圓柱殼的振動和穩定性

張 飛

(1.中國飛機強度研究所， 西安 710065； 2.結構沖擊動力學航空科技重點實驗室， 西安 710065)

復合材料由于具有優異的綜合性能，并且其性能可進行再設計，所以在航空航天、交通、體育以及國防等領域得到了廣泛的應用[1-2]。隨著材料科學的快速發展，聚合物納米復合材料作為復合材料中最具吸引力的部分，如今在世界各國新材料發展戰略中占有重要的位置。聚合物納米復合材料的材料特性一般取決于填料性質以及納米填料和基體之間的相互作用，而納米石墨烯片(graphene platelets, GPLs)由于其高比表面積、高強度、高導電性等屬性引起了相關研究者的關注。在聚合物基質中添加少量納米石墨烯片便可以顯著提高復合材料的機械、電氣和熱性能[3-5]，并且相比于碳納米管增強復合材料，石墨烯片增強納米復合材料(graphene platelets-reinforced nanocomposite，GPLRNC)表現出更高的楊氏模量、拉伸強度和斷裂韌性[6]。GPLRNC 由于其優異的材料特性和力學性能而受到中外學者的廣泛關注。羅東暉等[7]基于一階剪切變形板理論對GPLRNC板的自由振動特性進行了分析，研究發現GPLs的彈性模量和質量密度對頻率的影響大于基質的相應參數。通過考慮von-Kármán非線性應變-位移關系，Gao等[8]對彈性地基上不同邊界條件下的多孔GPLRNC板的非線性自由振動開展了研究。Liu[9]對彈性地基上GPLRNC梁的振動特性進行了分析，給出了GPLs的分布模式、GPLs的尺度參數等對功能梯度GPLRNC梁振動行為的影響。Alibeigloo[10]對GPLRNC圓板的熱彈性行為進行了研究，從數值結果發現，在基質中添加少量GPLs能顯著影響GPLRNC圓板的熱彈性行為。Hosseini等[11]對GPLRNC圓柱體進行了耦合熱彈性分析，以用來評估GPLRNC圓柱體中的熱彈性波傳播特性。

伴隨著微機電系統(micro-electro-mechanical-systems，MEMS)的快速發展，新材料在微結構中的應用研究成為了學術界和工程界的關注點。微米圓柱殼作為MEMS中重要的系統元件，其力學特性在微/納米力學領域成為研究熱點。結構在微/納米尺寸級別下表現出區別于宏觀結構的力學性能，如尺寸依賴效應[12-14]。為了定量刻畫微/納米結構力學性能中存在的尺寸依賴效應，相關學者提出了高階連續介質力學理論，例如應變梯度彈性理論(strain gradient elasticity theory，SGET)[15-16]。SGET從微觀層面出發，將連續介質體中的每個粒子視為一個單元，它認為單元的變形和位移不僅包括宏觀體的變形和平移，還包括單元本身的微觀變形和位移，因此SGET通過增加微觀自由度將微觀結構和連續介質體的宏觀屬性關聯起來。近年來，中外微/納米力學領域的相關學者基于SGET對微/納結構的力學性能開展了研究。

楊旭等[17]基于SGET研究了納米梁彎曲問題的撓曲電響應及其能量俘獲特性，他們發現納米梁的撓曲電響應存在尺寸效應，并且當結構特征尺寸低于材料長度尺度參數時，彈性應變梯度會顯著影響結構的尺寸效應。Nguyen等[18]基于SGET對帶有裂紋的功能梯度微板的振動特性進行了研究，揭示了微觀結構的尺寸效應對微板振動響應的影響，并且這種影響隨著板的尺寸逐漸接近材料長度尺度參數而變得更加明顯。基于SGET和Timoshenko 梁理論，Zhu等[19]分析了微米梁的自由波傳播、頻率響應和聲輻射等特性，并且將基于非經典理論下的結果與經典理論下的結果進行了對比。基于三維雙曲剪切變形理論和SGET，Shahraki等[20]通過考慮環境溫度的影響，對彈性地基上碳納米管增強復合材料納米板的自由振動特性開展了研究。Gholami 等[21]基于SGET和三維彈性理論研究了功能梯度納米圓板的非線性強迫振動，分析了長度尺度參數、材料和幾何參數對納米板頻率響應曲線的影響。基于SGET，Tohidi等[22]利用Hamilton變分原理和微分求積法研究了考慮團聚效應的碳納米管增強復合材料微米圓柱殼的非線性強迫振動特性。

研究發現，相比于宏觀GPLRNC結構，對GPLRNC 微/納結構力學特性的研究主要集中在梁和板結構，目前尚未有相關文獻基于SGET對GPLRNC微米圓柱殼的振動和穩定性進行系統性的研究。考慮到新材料和MEMS在航空航天結構中的應用，對GPLRNC微米圓柱殼的振動和穩定性進行了研究。首先利用Hamilton變分原理得到系統的控制微分方程，然后采用Navier法獲得兩端簡支GPLRNC微米圓柱殼的固有頻率和臨界屈曲載荷。最后討論了關鍵物理參數對GPLRNC微米殼的振動和穩定性的影響，研究結果對于深入認識GPLRNC微米圓柱殼的力學性能及其工程應用具有重要意義，為新材料在MEMS結構中的應用研究提供了借鑒和參考。

1 理論模型

1.1 GPLRNC微米圓柱殼

圖1 GPLRNC微米圓柱殼Fig.1 A GPLRNC cylindrical microshell

圖2 GPLs的不同分布模式Fig.2 Different GPLs distribution patterns

利用改進的Halpin-Tsai微觀力學法評估 GPLRNC 的有效材料性質。需要指出的是，此處考慮的GPLRNC微米圓柱殼的層數是偶數。通過考慮不同的GPLs分布模式，得到微殼第k層GPLs的體積分數為[23-24]

(1)

式(1)中：k=1, 2，…,nL；nL為微殼的總層數；GPLs的總體積分數VGPL可表示為

(2)

式(2)中WGPL和ρGPL分別為GPLs的質量分數和質量密度；ρm為環氧樹脂的質量密度。

根據Halpin-Tsai微觀力學法，GPLRNC微米圓柱殼的等效楊氏模量可表示為[25]

(3)

式(3)中：EL和ET分別為薄層的縱向和橫向楊氏模量，可分別表示為[26]

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：Em和EGPL分別為環氧樹脂和GPLs的楊氏模量；ζL和ζT分別為GPLs的幾何元素，可分別表示為[27]

(8)

(9)

式中：aGPL、bGPL和hGPL分別為GPLs的幾何長度、寬度和厚度。

根據混合原則，GPLRNC微米圓柱殼的質量密度ρ和泊松比ν可表示為[28]

(10)

式(10)中：νm和νGPL分別為環氧樹脂和GPLs的泊松比；Vm為環氧樹脂的體積分數。

1.2 應變梯度彈性理論

基于SEGT，彈性體的應變能密度W是關于經典應變張量εij(i,j=x,y,z)和高階應變梯度張量ξijk(i,j,k=x,y,z)的函數，可表示為

(11)

(12)

式中：ai(i=1, 2, …, 5)為小尺度參數；λ和μ為拉梅常數。

值得一提的是，通過指定ai的值，基于SGET的微米殼模型可以簡化不同的理論模型。

修正的應變梯度理論(modified strain gradient theory, MSGT)可表示為[29]

(13)

式(13)中：l0、l1和l2分別為對應擴張梯度張量、偏轉拉伸張量和對稱旋轉梯度張量的小尺度參數。

修正的偶應力理論(modified couple stress theory, MCST)可表示為[30]

a1=a4=-2a2=-2a3=-a5=μl2

(14)

式(14)中：l為材料長度尺度參數。

經典連續介質力學理論(classical continuum theory, CT)可表示為

a1=a2=a3=a4=a5=0

(15)

柯西應力σij和高階應力τijk可表示為

(16)

式(16)中：δij為克羅內克函數。

1.3 應變能、動能以及軸力做功

基于一階剪切變形殼理論，微米圓柱殼上任意一點沿著x、y和z軸方向的位移ux、uy和uz可表示為

(17)

式(17)中：ψx和ψy分別為y軸和x軸相對于中面橫向法線的轉角；t為時間。

基于SGET，GPLRNC微米圓柱殼的應變能US表示為

(18)

式(18)中：V為微殼所占的體積。

基于一階剪切變形殼理論，微米圓柱殼的動能可表示為

(19)

式(19)中：A為微殼中面所占面積；Ii(i=0, 1, 2)可表示為

(20)

(21)

1.4 Hamilton變分原理

基于Hamilton原理可得

(22)

結合式(17)～式(21)，然后令結果中的δu、δv、δw、δψx和δψy的系數為零，得到系統的運動微分方程為

(23)

2 理論求解

利用Navier法求解GPLRNC微米圓柱殼的振動和穩定性問題。假設微米殼在x=0和x=L處為簡支邊界條件，則有

(24)

基于式(24)，利用Navier法設微米圓柱殼的位移函數為

(25)

式(25)中：αm=mπ/L；βn=n/R；n和m分別為周向波數和軸向半波數；umn、vmn、wmn、yxmn和yymn為位移幅值。

將式(24)代入式(22)并消除三角函數，運動微分方程便可表示成矩陣形式，即

(26)

式(26)中：d、M、Kg和K分別為位移矢量、質量矩陣、幾何剛度矩陣和剛度矩陣。

通過式(25)便可以求解圓柱殼的自由振動和穩定性問題。

(K-ω2M)d*=0

(27)

式中：ω和d*分別為微殼自由振動時的固有頻率和位移矢量。

(K-FKg)d=0

(28)

式中：F為屈曲載荷。

不同m和n組合下滿足式(27)的最小值為臨界屈曲載荷Fcr。

3 對比驗證

為了驗證所提公式推導的正確性，在表1中給出了與文獻[31]的對比結果。計算采用的物理參數為：R=2.32 nm、L/R=5、E=1.06 TPa、泊松比v=0.3和ρ=2 300 kg/m3。可以看出，本文結果與參考文獻[31]中的結果吻合較好。

4 結果與討論

圖3給出了周向波數對GPLRNC微米圓柱殼自由振動和穩定性的影響。可以看出，隨著周向波數的增加，微米殼的固有頻率和屈曲載荷先減小后增大。微米殼的基頻和臨界屈曲載荷都發生在(m=1,n=2)處，所以在接下來的自由振動和穩定性研究中將(m=1,n=2)作為研究的代表模態。

圖4為GPLs質量分數對GPLRNC微米圓柱殼力學特性的影響。發現微殼的固有頻率和臨界屈曲載荷隨著GPLs含量的增加而增加。表明GPLs在較低含量下(WGPL約為1%)能明顯增強殼體的有效剛度。當殼體中GPLs的質量分數給定時，O-GPLRNC 分布下微殼具有最高的固有頻率和臨界屈曲載荷，O-GPLRNC分布下則反之。環氧樹脂和GPLs的材料屬性如表2所示[32]。

圖3 周向波數X-GPLRNC微殼力學特性的影響Fig.3 Effect of circumferential wave number on mechanical properties of X-GPLRNC microshell

表1 各向同性圓柱納米殼固有頻率的對比

表2 環氧樹脂和GPLs的材料特性[32]

圖4 GPLs分布和質量分數對GPLRNC微殼力學 特性的影響Fig.4 Effect of GPLs distribution pattern and weight fraction on mechanical properties of GPLRNC microshell

圖5為GPLs的幾何尺寸對GPLRNC微米圓柱殼力學特性的影響。隨著LGPL/bGPL和GPLs寬厚比bGPL/hGPL增加，環氧樹脂和GPLs之間的接觸面積變大，載荷傳遞性變強，從而導致微殼的剛度變大，所以固有頻率和臨界屈曲載荷隨之增加。可以看出，GPLs的厚度對增強效果具有重要影響。單原子厚度的單層GPLs應該是最理想的納米增強填料。但是當bGPL/hGPL>103時，LGPL/bGPL和bGPL/hGPL對微殼力學特性的影響變得不顯著。

圖5 GPL幾何尺寸對U-GPLRNC微殼力學特性的影響Fig.5 Effects of GPL geometry on themechanical properties of U-GPLRNC microshell

圖6給出了無量綱長度尺度參數h/l對GPLRNC 微殼力學特性的影響。隨著h/l的增加，發現微殼的無量綱固有頻率和臨界屈曲載荷逐漸降低。此外，從與高階連續介質力學理論相關的結果可以看出，微殼的尺寸效應在h/l較小時非常明顯，并且隨著h/l的增加而逐漸減小。在h/l的高值下，基于高階連續介質力學模型得到的數值結果收斂于基于經典力學模型獲得的結果。此外發現，不同理論下GPLRNC微殼的固有頻率和臨界屈曲載荷隨著經厚比R/h的增加而減小，因為經厚比的增加會導致殼體的有效剛度降低。

圖6 無量綱長度尺度參數對X-GPLRNC微殼力學 特性的影響Fig.6 Effect of dimensionless length scale parameter on mechanical properties for X-GPLRNC microshell

5 結論

基于SGET和一階剪切變形殼理論，研究了GPLRNC微米圓柱殼的自由振動和穩定性。首先，通過Hamilton變分原理得到微米圓柱殼的控制微分方程。其次，利用Navier法獲得微米殼的固有頻率和臨界屈曲載荷的解析解。得出如下主要結論。

(1)當微米圓柱殼中的充填物GPLs的質量分數給定時，微殼在O-GPLRNC分布下具有最高的固有頻率和屈曲載荷。并且在較低含量下，GPLs能明顯增強GPLRNC微米圓柱殼的有效剛度。

(2)隨著LGPL/bGPL和bGPL/hGPL的增加，GPLRNC微米圓柱殼的固有頻率和屈曲載荷都會隨之增加。當bGPL/hGPL>103時，LGPL/bGPL和bGPL/hGPL對系統力學特性的影響變得不顯著。

(3)在無量綱長度尺度參數的高值下，基于非經典連續介質力學模型得到的數值結果收斂于基于經典力學模型獲得的結果。