預制裝配式架橋機的起重小車復合滑模同步控制

韓林山， 劉 耀， 遲 明， 唐明昊

(華北水利水電大學機械學院， 鄭州 450045)

隨著中國經濟的飛速發展，城市高架路的建設迫在眉睫，預制裝配式架橋機[1]的設計是為了解決傳統架橋機存在的架設周期長，占地面積大等問題。然而，現有的架設墩柱方法依然是采取“一步一停”的方式，嚴重影響了架設的精度和效率。目前，中外主要通過改進架橋機結構來提高架設速度，還未有學者考慮閉環控制系統對提高架設速度與精度的影響。而架橋機墩柱的架設需要后起重小車走行電機與升降電機的同步協調配合，對于同步協調問題，現已有很多研究，包括耦合控制[2-3]和非耦合控制[4-5]兩大類，其中耦合控制中的交叉耦合控制在雙軸系統中的同步控制精度較高，適用于所研究的系統。但是交叉耦合控制策略在一軸受到擾動后，另一軸也會失穩，因此必須搭配新的控制策略來提高其穩定性。許多學者將同步控制與跟蹤控制相結合，提出了粒子群優化比例積分微分(proportion integral differential，PID)控制[6]、基于TSK型遞歸模糊神經網絡(TSK-type recurrent fuzzy neural network，TSKRFNN)控制[7]、動態網絡自適應控制[8]、魯棒控制[9]等，都取得了不錯的控制效果。滑模控制由于具備算法簡單、抗干擾能力強以對及建模參數變化不敏感等特點受到了廣泛的重視，并應用在很多領域。然而滑模控制需要較大的切換增益來增強其魯棒性，隨之而來的是抖振的產生，文獻[10]使用飽和函數代替傳統的切換面，并與模糊控制相結合來解決了系統參數不確定性問題，但同時會削弱系統的抗攝動性。文獻[11]采用變邊界層技術，折中了誤差與抖振的問題，并使用參數自整定的方法來消除擾動。

眾所周知，滑模面的品質對趨近速度的影響較大。文獻[12]將雙環積分項加入滑模面的設計中，使控制系統響應更快、無超調、魯棒性更強，但積分項的引入存在控制輸入變大以及收斂速度變慢的問題。文獻[13]引入時變參數從而改變滑模面的斜率，使系統始在滑動階段，進而提高了系統的魯棒性。文獻[14]提出了將自適反推互補的滑模控制策略與質量辨識觀測器結合來抑制擾動，取得了較好的全局控制效果，但設計的控制器較為復雜，在復雜環境下的應用難度較大。

為此，首次將閉環控制系統應用在架橋機的起重小車上，通過分析架橋機起重小車實際架設墩柱過程，計算出走行電機與起升電機同步運動角位移關系式；然后建立起重小車起升與走行機構的動力學模型，通過上述文獻的比較與啟發，基于交叉耦合控制策略，提出了一種新的時變參數滑模面；為了抑制控制器的抖振，設計新的變增益滑模趨近律；由于起重小車負載大，擾動大，為提高起重小車在各種工況下的適應性與抗擾動性，設計一種新的時變擾動滑模觀測器，以便有效估計并補償擾動；最后對本文方法進行穩定性證明并使用數值仿真驗證其有效性。

1 問題描述

1.1 起重小車運動過程分析

起重小車架設墩柱如圖1所示，前后起重小車首先同步走行到架設區域，也就是圖中墩柱水平狀態，此時為初始位置。后起重小車在靠近前起重小車的同時需要起升電機降下吊具，因此，后起重小車的起升機構與走行機構需要符合一定的同步運動關系，才能保證架橋機在墩柱架設過程中的穩定性。起重小車的走行與吊具的升降都是由電機來完成，起升電機輸出轉矩通過軸與減速器傳遞給卷筒從而控制吊具升降，走行電機同樣也是將轉矩輸出到車輪從而控制起重小車走行。

圖1 架橋機起重小車架設墩柱簡圖Fig.1 Schematic diagram of erecting pier column by bridge erecting machine lifting trolley

1.2 同步運動關系

兩電機的運動比例關系分析如圖2所示。兩電機角位置關系可表示為

L為兩吊耳間距離；y1為起重小車走行距離，y1=θ1r1； y2為吊具下降距離，y2=θ2r2圖2 架橋機起重小車架設墩柱模型Fig.2 Model of pier column erected by crane trolley of bridge erecting machine

(1)

1.3 后起重小車動力學模型

后起重小車運行機構模型如圖3所示，根據其運動的物理特性，并且考慮電機的非線性特性、干擾以及所施加的負載，起重小車系統的動力學方程為

G為吊具與重物的總重力圖3 后起重小車運行系統模型Fig.3 Model of rear crane trolley running system

ui(t)-τi(t)

(2)

在電機模型的參數變化、摩擦力及各種擾動的存在下，式(2)控制器設計變得復雜，由于滑模控制的魯棒性，改寫動力學方程為

(3)

τi(t)]

(4)

(5)

2 控制算法設計

2.1 滑模控制器設計

控制器設計的目標是在各種擾動存在的情況下系統能夠實現對給定位置的準確跟蹤和兩電機在整個吊裝過程中的同步。定義吊具與起重小車跟蹤誤差為

ei=xid-xi

(6)

定義同步誤差為

(7)

定義兩電機的交叉耦合誤差為

(8)

式(8)中：αi>0為同步誤差積分項系數。

取滑模面為

(9)

式(9)中：c1為時變滑模面參數；c2、c3、c4>0為滑模面系數；a>0為指數項參數。

c1(t)的表達式為

c1(t)=(φ1+φ2e-μt2)m

(10)

式(10)中：φ1、φ2>0為滑模面調整參數；m為指數項參數；μ>0為指數項參數；1

由于起升機構與走行機構的同步運動存在式(1)的位置比例關系，因此式(7)需要設計中間變量zi，從而保證同步誤差選取的準確性。

c1(t)控制系統的收斂速度，但c1(t)的增大會使控制力也急劇增大，因此設計式(10)的時變參數，使系統在初始時刻有較大的值，隨著時間的變化會逐漸減小。c4的選取與初始時刻有關，取值盡量使系統在初始時刻位于滑模面附近，這樣可以提高控制器的魯棒性。

為了減弱控制器的抖振現象，設計趨近律為

(11)

q(s)=k(1-e-δ|s|)

(12)

式(12)中：k、δ>0為調整參數。

由式(12)可知，當系統誤差遠離滑模面，即|s|增大時，q(s)趨近于k，當系統誤差接近滑模面時，q(s)將逐漸趨向于零，從而使設計的控制器在不降低收斂速度的同時減弱抖振。

結合式(9)和式(11)可得控制力表達式為

(13)

證明建立Lyapunov函數：

(14)

對式(14)進行求導，得

(15)

將式(13)代入式(15)得

(16)

2.2 擾動狀態觀測器設計

為了使系統適應各種工況和擾動，設計了一種新的時變滑模擾動觀測器，通過將實際系統與建立的擾動觀測器進行誤差比對，估計出擾動，進而反饋到實際系統中，實現誤差的補償。

改寫式(5)，將di記作系統的狀態變量，可得

(17)

(18)

(19)

式(19)中：βp、α>0為調整參數。

滑模擾動觀測器的收斂速度與λp(t)有關，當參數λp(t)越大時，收斂越快，λp(t)的設計是為了避免當狀態觀測器的初值與原系統的初值不同時而產生的峰值現象，從而對觀測器的收斂效果產生影響。

將式(17)與式(18)相減得到誤差方程，可表示為

(20)

新的控制力可表示為

(21)

證明建立Lyapunov函數：

(22)

對式(22)進行求導，并將式(20)代入得

(23)

若要使上式小于零，需滿足：

(24)

式(24)中：h為滑模安全因子，h>1 。

綜上所述，在滿足式(24)的參數選取原則下，式(18)所設計的擾動狀態觀測器將在有限時間收斂到零。所設計的控制器結構如圖4所示。

w31、w32分別為起升電機和走行電機的干擾估計值圖4 控制系統結構框圖Fig.4 Block diagram of control system

3 數值仿真

利用MATLAB/Simulink仿真平臺，對所需要設計的復合滑模控制器數學模型進行仿真,以此驗證它們的控制特性。

起升電機各項參數為：J1=0.075 kg·m2，B1=0.02 N·ms/rad，L=8 000 mm，r1=300 mm，α1=30，φ1=3，φ2=3，μ=2，m=5/3，c2=1，c3=15，c4=-98，a=8，k1=0.8，k2=10，r=0.85，k=15，δ=0.8。

走行電機各項參數為：J2=0.007 kg·m2，B2=0.002 N·ms/rad，r2=200 mm，α2=30，φ1=3，φ2=3，μ=2，m=5/3，c2=1，c3=20，c4=-380，a=8，k1=0.8，k2=10，r=0.85，k=10，δ=0.8。

仿真1在無擾動的情況下，驗證控制器收斂速度，以及抑制抖振能力。起升電機目標位置為x1d=5 rad，擾動d=0，仿真時間為5 s，其結果如圖5所示。

圖5 無擾動時仿真結果Fig.5 Simulation results without disturbance

跟蹤誤差如圖5(a)、圖5(b)所示，所設計的控制器可以使吊具在0.8 s到達規定位置；電機控制力如圖5(c)、圖5(d)所示，抖振得到了很好的抑制；從圖5(e)可以看出，兩電機的同步誤差極小(0.06 rad)，并且誤差的收斂速度也很快(0.8 s)。

仿真2在仿真1的基礎上，施加常值擾動d=1 N·m，并在3 s時刻加入突變擾動d=2 N·m，所得結果如圖6所示。

圖6 常值擾動仿真結果Fig.6 Simulation results of constant disturbance

結果顯示，在常值擾動下，圖6(a)在3 s時幾乎看不出突變擾動，圖6(b)是在3 s時的局部放大圖，可以看出，系統的同步誤差收斂速度幾乎沒有受到影響，在加入突變擾動時，對系統同步精度的影響極小(0.000 3 rad)，并且在很短的時間收斂。

仿真3在仿真1的基礎上加入擾動干擾觀測器，施加持續時變擾動d=2sint，控制器參數為：β1=15，β2=120，β3=300，α=10。

結果如圖7所示，估計誤差曲線與實際誤差曲線幾乎重合，表明觀測器的估計精度較高，將觀測器估計出的擾動及時反饋到滑模控制系統中，可以有效地補償擾動，從而提升了系統的魯棒性。

圖7 時變擾動仿真結果Fig.7 Time varying disturbance simulation results

4 結論

根據160 t全預制裝配式架橋機實際架設墩柱過程，分析了起升電機與走行電機同步運動角位移關系式，并結合交叉耦合控制策略，設計了在有一定比例關系的同步運動系統中的同步誤差獲取方法，避免了兩電機在耦合過程中存在控制參數紊亂的問題。并設計了時變參數滑模面，提升了系統的魯棒性。接著設計了變增益趨近律，結果顯示系統的收斂速度較高，抖振抑制效果明顯。然后為了提高系統在各工況下的適應能力，設計了一種擾動滑模觀測器，結果顯示，觀測器的估計性能較高，穩定性較強。通過Lyapunov理論證明了上述方法可以在有限時間內收斂。最后通過數值仿真證明了整個系統具有較快的收斂速度與較高的精度和抗干擾能力，為架橋機提升架設速度與精度提供了一種可靠的方案。