由一個案例引發的對小學數學類比推理的思考

黃鳳森

（福建省莆田市城廂區靈川中心小學，福建莆田 351162）

引 言

推理、抽象和模型作為數學基本思想已引起小學數學教師的重視。推理又分為合情推理和邏輯推理，類比推理屬于合情推理的一種[1]。由知識經驗正遷移而實現新知識的獲得或新問題的解決，其實質就是運用類比推理的數學思想，最常見的便是“以此類推”。下面筆者從一個教學案例出發，對培養學生類比推理能力的策略展開深入分析。

一、源起：一個“以此類推”的教學案例

在解答“一部手機原價1000元，提價10%后又降價10%，現價是多少元”這種問題時，學生總是固執地運用整數運算經驗來進行類推，得出的答案是1000元。究其緣由，學生認為“手機提價與降價的價格是一樣的”。筆者從單位“1”的角度進行分析、解釋，告訴學生提價時的“單位1”是1000元，而降價時的“單位1”卻是1100元，“單位1”不一樣，因而其提價與降價的價格也就不一樣。學生貌似都能理解，可過幾天再檢測時，還是會出現現價是1000元的錯誤答案。筆者追問學生：“為什么提價10%后又降價10%，現價是不變的？”然而，學生竟然十分肯定地答道：“這個推理很簡單。提價10%又降價10%，說明提價與降價的價格是一樣的，現價當然就不變了。”筆者繼續追問：“你能確定提價與降價的價格是一樣的嗎？”學生又不假思索地回答道：“一年級時就學會了，提價與降價都是10%，以此類推，現價與原價當然是一樣的。”

二、思考：不可忽視類比推理的或然性

上述案例可以看出，“以此類推”的實質便是類比推理，即按照兩個或兩類不同研究對象的某些方面（如特點、規律、關系等）具有的相同或相似性，自然推導這兩個或兩類不同研究對象在其他方面也有可能相同或相似的一種思維方式。兩個或兩類不同研究對象無論外部形式上的相似、內部結構上的相似，還是過程方法上的相似，都可以進行類比。這種類比推理是小學階段常用的一種推理方法，有助于提高學生解決實際問題的能力。然而，通過上述案例，教師需要理性思考的是在培養學生類比推理能力的同時，不可忽視類比推理所具有的或然性。不可否認的是，類比推理是合情推理的一種，也可稱為或然推理，因而會出現其推理過程“貌似”合情合理，而往往在本質上二者間的條件和結論沒有必然聯系的情況。

上述案例，由于學生在一年級時已經學過了“增加與減少同樣的數量，其結果不變”的知識，從而類推到“提價10%又降價10%，說明提價與降價的價格是一樣的，現價當然就不變”。顯然，一年級所學的知識經驗是“增加與減少的是實際量”，而這里“提價與降價的是百分率，而非實際量”，這兩種數量關系在外部形式上有一定的相似性，而內部本質卻是不一樣的。這樣的類比推理顯然給學生的思維造成了負遷移。

又如，在學習了“能被2、5整除數的特點”后，再學習“能被3整除數的特點”時，學生會自然而然利用之前的學習經驗而類比推理到“個位上的數能被3整除，這個數就能被3整除”。當出現這種錯誤的類比推理時，教師應積極讓學生通過自主舉例驗證其猜想是錯誤的。基于以上分析，筆者認為，應理性面對類比推理中的或然性。

三、實踐：類比推理是發展學生遷移能力的有效路徑

（一）順承已有經驗，搭建類比橋梁

眾所周知，數學是一門邏輯性極強的學科，各個數學知識點之間存在千絲萬縷的聯系，每個知識點的學習都是建立在已有的知識經驗上的再遷移、再整合與再提升。教師要及時捕捉學生在學習過程中對某個知識點產生“似曾相識”的感覺，并能及時地順承學生已有的經驗，啟發學生展開比較和聯想，找到新舊知識點之間的聯系，為類比推理搭建橋梁[2]。

例如，在執教數學人教版五年級（下冊）“異分母分數加減法”這項內容時，筆者直接快速地呈現“1/2+1/4=？” 讓學生嘗試計算。由于學生已有“整數加法計算方法”的知識經驗被類比遷移了，結果出現的算法是分母與分子分別相加。顯然，學生只停留在算式“外形”上的類比，而沒有打通算法內部的聯系。于是，筆者這樣啟發學生：“大家驗證一下自己算得對不對？”接著，讓學生分別回憶前面所學的整數加法、小數加法和同分母分數加法，并交流其算理，從而發現“整數加法、小數加法、同分母加法，共同的算理是相同的計數單位相加”。此時，學生類比推理產生了“分數加法也應該是相同計數單位才能相加”的猜想，因而要先將“1/2”與“1/4”轉化成分母相同的分數。在學生明晰了“異分母分數相加”的算法后，教師再呈現“1/2-1/4=？”讓學生計算，使學生能自然地從“異分母分數相加”的算法中類比推導出“異分母相減”的算法。

（二）啟發生活原型，達成類比抽象

數學來源于生活，又高于生活。小學生的認知經驗不足，且大多來自生活。因而，教師可以結合數學知識的特點，致力從生活原型中尋找數學的影子，讓學生經歷從生活原型類比抽象出數學概念的過程，進而發展學生的數學素養[3]。

例如，在執教“認識角”一課時，當筆者在黑板上板書課題時，學生便紛紛說出自己在生活中看到的各種角。于是，筆者將學生列舉出的生活中的角用課件展現出來，讓學生觀察生活中的角具有哪些共同的特征。接著，筆者便利用課件動態展示“從生活實物剪刀、紅領巾、墻角等圖片上逐步抽象‘由一個頂點引出兩條邊的角’”。至此，學生建立了“生活中的角”與“數學概念上的角”的聯系。然后，筆者再讓學生用數學的眼光繼續尋找生活中常見的角。這樣的課堂教學立足學生的生活經驗，啟發學生通過類比抽象出數學概念上的角，促使學生主動建構清晰而立體的數學模型。

（三）鼓勵大膽猜測，實現直覺類比

在數學教學中，教師應根據數學知識與學生思維之間的距離，巧妙創設平臺，通過核心數學問題來啟發學生進行大膽猜測，促使學生進行數學直覺類比，從而發展學生的類比推理能力，實現學生數學素養的全面提升[4]。

例如，在教學五年級上冊“長方體的體積”這一內容時，教師可在課堂伊始先讓學生回憶一下“長方形的面積計算”公式的推導過程，并重點抓住“要計算長方形面積的大小其實質就是測量其含有多少個1cm2，這個長方形就是幾cm2”。于是，學生從“長方形的面積計算”大膽地猜測出“長方體的體積計算”，提出了“要算長方體的體積實質就是要數出有幾個1cm3的小正方體，這個長方體就是幾cm3”的猜想。有了這樣的猜測后，教師再引導學生動手操作來驗證其正確性，使學生進行深度學習。又如，有了常用面積單位1cm2、1dm2、1m2的知識經驗后，學生在學習“長方體的體積單位”時，便可以大膽猜想，從而自然類比推理出常用的體積單位應是1cm3、1dm3、1m3。

結 語

類比推理是合情推理的一種，是一項重要的數學素養，更是發展小學生數學遷移力的有效路徑。教師應積極為學生搭建類比推理的平臺，提供類比推理的素材，提供類比推理的線索，促使學生主動積極地進行類比聯想與猜測，提升舉一反三、觸類旁通的能力，培養數學學科核心素養。