康威與平面幾何

蔣迅

英國數學家約翰·康威（John Conway）于2020年4月11日因新冠肺炎并發癥在美國新不倫瑞克市（普林斯頓附近）的老人療養院去世，終年82歲.康威的去世震驚了整個數學界.他在數學上的成就是多方面的，他的研究領域包括有限群、趣味數學、紐結理論、數論、代數、分析、算法組合、博弈論、編碼學以及理論物理學等范疇.本文介紹了他在平面幾何方面的一些工作，以此紀念這位偉大的數學家.

一、康威圓定理

“康威圓”（Conways Circle）定理是一個平面幾何定理.

如圖 2，圓的圓心就是內切圓的圓心.記 r 為內切圓的半徑，s 為三角形的半周長，那么R還有一個用 r 和 s 表示的更簡潔的公式.

康威在一個討論幾何問題的社交群里發布了這個定理.后來人們就把它稱為了康威圓.他在與網友們討論時還指出，當延伸的距離分別為 a +x ， b+x和 c +x 時，該結論仍然成立.其中 a +x，b +x 和 c +x 都為大于零的任意實數.

證明的思路是證明從點l到點的距離都相等.

如圖3，

由上述推理，我們得出結論：六點共圓且圓心就是內切圓的中心.

二、康威發現的與平面幾何有關的其他結論

康威曾經對平面幾何很入迷.康威發現邊長為1、2和的直角三角形可以分割成五個全等的直角三角形，并且它們都與原來的三角形相似，如圖5.后來美國數學家查理·拉丁（Charlie Latin）由此構造出了第一個非周期平鋪（pinwheel tiling）的平面三角形，如圖6，而且這類三角形的方向有無窮多.后來，康威發現，平分三角形面積的線段并不都通過三角形的重心.這似乎與人們的直覺相悖.事實上，如果用任意直線按等面積切割三角形的話，那么這些直線會形成一個像三尖瓣線（deltoid curve）內部的幾何區域（如圖7）.康威甚至計算了這個區域的面積，它等于，其中[ABC]是三角形 ABC 的面積.

康威與美國數學家彼得·道爾（Peter Doyle）給出了莫雷角三分線定理的初等證明.莫雷角三分線定理是說，對一個任意的三角形的三個內角作角三等分線，連接靠近公共邊的三分線的三個交點可構成一個等邊三角形，如圖8.康威將自己的證明寫在他的著名文章《數學的力量》（The Power of Mathematics）中.

我們知道，一個任意三角形的三個內角角平分線相交于一個點，這個點就是內切圓的圓心.在二等分角的情況里，記 n =2，假定有三個角α，β，γ滿足如圖9，取α′= α+90? ， β′=β+ 90?， γ′= γ+90?，再作三個三角形.它們是：以 α，β，γ′為內角的三角形，以α，β′，γ為內角的三角形和以α′，β，γ為內角的三角形.則可以在適當伸縮后使得它們拼成一個以2α，2β，2γ為內角的三角形.

在三等分角的情況里，記 n =3，假定有三個角α，β，γ滿足，再作七個三角形.這七個三角形如圖10所示，我們不再贅述.那么在適當伸縮后使得它們可以拼成一個以3α，3β，3γ為內角的三角形.這就是康威的證明思路.我們可以把該結果推廣到任意的 n =2， 3， 4，5， …的情形去.

再來看一個奇怪的房形圖案.為了方便起見，我們就把它稱為康威小屋.

康威小屋不是康威本人發現的.一開始人們考慮的是在一個單位正方形中嵌入一個最大的等邊三角形（圖11中的下半部分）.顯然這個三角形必須與正方形的四條邊都相接.于是其中一個三角形的頂點就必須落在正方形的一個角上.在這個頂點上，等邊三角形的兩條邊與正方形的兩條邊的夾角是.可以算出，這個三角形的面積是.這個值正好是單位等邊三角形中最大正方形的邊長.這個結論看似神奇，但康威把單位等邊三角形放到正方形的上面，然后隨手畫了一個平行四邊形（如圖13、14），一下把這個問題解決了.他畫的平行四邊形就像是從閣樓上安了一個下樓的樓梯.它的面積跟等邊三角形的面積相等.

再來介紹一個康威和俄裔美國數學家亞歷山大·索弗（Alexander Soifer， 1948-）在《美國數學月刊》上發表的一篇論文：“個單位等邊三角形是否可以覆蓋一條邊長大于 n ，例如 n + ε 的等邊三角形？”它的正文只有幾個字“可以”（即個單位等邊三角形可以覆蓋一條邊長大于 n ，例如 n + ε 的等邊三角形）和兩幅圖，如圖15、16所示.

這個問題是索弗在訪問普林斯頓大學時提出的，當時康威對比很感興趣.通過研究和分析，康威得到了圖15，即用個等邊三角形可以做到.隨后索弗得到了圖16，也是個，但覆蓋方法卻是完全不同的.注意這里等邊三角形是一個重要的條件，否則的話可以作出個滿足要求的三角形.

康威在幾何上的貢獻還有很多，比如康威多面體表示法（Conway polyhedron notation）、密鋪數學理論的康威準則（Conway criterion）等.