運(yùn)用判別式法解題的步驟

席建彬

判別式法是一種常用的解題方法，常用于解答與一元二次方程有關(guān)的問題.一般地，若方程有解或者有實(shí)根，則方程的判別式;若方程無解，則判別式法就是根據(jù)一元二次方程是否有實(shí)根來建立關(guān)系式解答問題的方法.在解題時(shí)，我們需根據(jù)題意構(gòu)造一元二次方程，抓住方程是否有實(shí)數(shù)解這一關(guān)鍵點(diǎn)，運(yùn)用判別式判斷方程解的情況，從而求得問題的答案.

一、解答二次函數(shù)的定義域問題

二次函數(shù)的定義域問題一般與二次函數(shù)、二次方程有關(guān).在解題時(shí)，我們需首先明確要使函數(shù)式有意義，需確保分母不為0、根號(hào)下的式子恒大于或等于0、冪的底數(shù)不為0、對(duì)數(shù)的底數(shù)大于0等，建立一元二次方程，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問題，建立判定式與0之間的關(guān)系式，便可求得問題的答案.

例1.若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.

解：

在解答的方程問題時(shí)，首先要考慮 a 是否為0，若 a ≠0，方程才是一元二次方程，然后再用判別式法解答問題，才能得到完整的答案.

二、解答二次不等式證明問題

不等式與方程有著緊密的聯(lián)系.一般地，若一元二次方程的根為且，則不等式的解集為或，若不等式的解集為.在解答一元二次不等式證明問題時(shí)，我們可將不等式的解集的端點(diǎn)值看作一元二次方程的兩個(gè)根，根據(jù)方程有解來建立不等式，從而證明結(jié)論成立.

例2.

證明：

我們通過變形，把兩個(gè)已知等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次方程式，這是運(yùn)用判別式法解題的重要前提，建立不等式即可得到不等式的解，證明結(jié)論成立.

三、求解二次曲線的交點(diǎn)問題

對(duì)于拋物線、雙曲線、橢圓等二次曲線的交點(diǎn)問題，我們可以直接令兩個(gè)曲線的方程相等，這樣就將問題轉(zhuǎn)化為二次方程問題，利用方程的判別式建立關(guān)系式，即可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而順利解題.

例3.已知拋物線，A（2，0），若存在過A點(diǎn)的直線l，使拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l 的斜率k 的取值范圍.

解：

判別式法是解答直線與二次曲線交點(diǎn)問題的重要“武器”，但要注意一些特例，如直線與拋物線的對(duì)稱軸平行、直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)就不能只看△是否等于零的一種情況了.

判定式法是解答與二次函數(shù)、二次不等式、二次曲線有關(guān)問題的重要方法.在解題時(shí)，我們需根據(jù)一元二次方程的根與二次函數(shù)的交點(diǎn)、二次不等式解集的端點(diǎn)、二次曲線的交點(diǎn)之間的聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為方程問題，利用判別式來建立關(guān)系式，求得問題的答案.

（作者單位：甘肅省蘭州新區(qū)高級(jí)中學(xué)）