巧妙用“1”代換，順利解答代數題

王曉強

常數“1”雖是一個普通的數字，但在解題中發揮著巨大的“威力”.在解題時，我們合理運用“1”進行代換、轉化，能快速解答問題，尤其是在比較兩式的大小、解答三角函數以及函數問題時，靈活運用常數“1”，可以使解題變得容易.下面結合實例來說明.

一、“1”在比較兩式大小中的應用

在比較兩個冪的大小或者對數式的大小時，我們一般用作商比較法，這就要用到常數“1”.首先將要比較的兩式作商，再將商值與1進行比較.若要比較m和n的大小，需先對其作商，如果，那么m > n ;如果，那么m < n .倘若要比較的兩個式子比較復雜，就需先變形，再將商與“1”進行比較.

例1.

解：

我們將兩式作商，然后將商與1進行比較，從而快速比較出兩式的大小.

二、“1”在解答函數問題中的應用

在解函數題時，常數“1”常常是解題的一個突破口.指數函數、對勾函數以及對數函數的底數 a 與1之間的關系決定著函數的單調性.如指數，當a ∈（1，+∞），函數在（0，+∞）上單調遞增;當a ∈（0，1），函數在（0，+∞）上單調遞減 .在解答有關指數函數、對勾函數以及對數函數問題時，我們可靈活運用常數“1”，將其作為分界點來討論和分析函數的圖象以及性質.

例 2.已知函數它在區間[0， +∞）上單調遞增，求實數 a 的取值范圍.

解：

該函數中含有指數函數，為了討論指數函數的單調性，我們需對 a 進行分類討論，分 a >1和 a <1兩種情況進行討論.

三、常數“1”在三角函數問題中的應用

在求三角函數的值、化簡三角函數式時，我們常常需用“1”來進行代換，以便通過三角恒等變換達到化異為同、化繁為簡的目的.常需用到公式有等。

例3：

解：

我們構造出分母“1”，然后運用重要關系式，將目標式轉化為關于sin θ 、cos θ 的齊

二次式，通過化簡、變形將其轉化為只含有 tan θ 的式子，進而求得問題的答案.

通過上述分析我們可以發現，常數“1”在解數學題中發揮著重要的作用.在解題時，我們只有將“1”與相關的公式、定義、運算法則等關聯起來，靈活地對其進行轉化、變換，充分發揮其橋梁和紐帶作用，才能達到事半功倍的效果.

（作者單位：江蘇省東臺市第一中學）