對一道數列不等式證明題解法的探究

何燕 馮帆

從不同視角、不同方向尋求問題的多種解法，有利于拓寬解題的思路，培養數學思維.數列不等式證明題屬于綜合性較強的問題，側重于考查同學們的邏輯推理能力和運算能力.本文以一道數列不等式證明題為例，談一談解答數列證明題的幾種方法.

題目：在數列

解答本題，需將已知的遞推關系和所證明目標式關聯起來，尋找解題的思路.我們可將遞推關系式或目標式進行變形，通過作差、作商、因式分解、取倒數等方式將遞推關系式或者目標式轉化，進而證明結論;可將數列視為特殊的函數，借助函數的圖象和性質來解題;也可將問題視為與自然數相關的證明題，采用數學歸納法進行證明;還可考慮用反證法來解題.

方法一：作差法

作差法是比較兩式大小、證明不等式的重要方法.在運用作差法證明不等式時，可以將不等式左右兩邊的式子作差，然后采用因式分解、配方等方式將差式變形為易于判斷正負符號的式子.一般地，若 A -B >0 ， 則 A >B ;若 A -B <0 ，則 A

證明：

我們將目標式左右兩邊的式子平方再作差，通過變形便可發現與之間的遞推關系，而1是一個不動點，通過對遞推式進行變形即可構造出，從而證明結論.

方法二：作商法

作商法是指將不等式左右兩邊的式子相除，通過恒等變形證明結論的方法.恒等變形商式的方法有因式分解、配方、約分、通分等.一般地，

證明：

我們將目標式兩邊的式子相除并平方，構造出，通過化簡得到式子，再將其與1進行比較，即可證明結論.

方法三：函數法

我們知道，數列是一種特殊的函數，因此數列具有函數的性質，如單調性、有界性、周期性等.在解答數列不等式問題時，我們可根據題意構造出合適的函數模型，然后利用函數的圖象和性質來解題.

證明：

方法四：數學歸納法

數學歸納法是證明與自然數有關問題的重要方法.用數學歸納法證明不等式一般需要兩步.第一步，證明當 n 取第一個值時命題成立;第二步，假設當時命題成立，證明當時命題也成立.只要完成這兩個步驟，我們就可以斷定命題對從開始的所有正整數 n 都成立.

證明：

方法五：反證法

當直接證明不等式有困難時，可采用反證法來求解.在用反證法證明數列不等式時，我們需假設結論不成立，利用該結論試圖找到與已知條件或者定理相矛盾的結論，從而證明假設的結論錯誤，原命題成立.

證明：

通過上述分析我們可以發現，證明數列不等式，不僅要仔細分析條件和結論，尋找所要證明結論成立的充分條件，通過作差、作商得到要證結論的簡易形式，還要學會將不等式式進行合理的變形或構造函數，運用函數法、數學歸納法、反證法來證明結論.

（作者單位：閩南師范大學數學與統計學院）