怎樣用分離參數法求函數最值問題中參數的值

馬洪光

求函數最值問題中參數的值或者取值范圍問題在高中數學試題中比較常見，此類問題的綜合性較強，常與不等式、函數、方程、導數等知識相結合，是一類難度較大的問題.而分離參數法是解答此類問題的重要手段.分離參數法是指通過分離參數，用函數思想來討論主變量的變化情況，由此確定參數的變化范圍或取值的方法.運用這種方法可以避免分類討論的麻煩，使問題順利獲解.

運用分離參數法求函數最值問題中參數的值，主要有以下幾個步驟：

1.根據題意，將函數最值問題轉化為不等式恒成立問題;

2.將不等式變形，使參數、變量分離，把參數單獨置于等式或者不等式的一邊;

3.將不含有參數的式子構造成函數模型;

4.利用導數法或通過分析函數的解析式，判斷出函數的單調性，進而確定函數的最值;

5.根據函數的最值建立新關系式，求得參數的值.下面舉例說明.

例1.

我們根據函數有最小值，將問題轉化為不等式恒成立問題，再分離參數，并構造出新的函數.只要求得新函數的最值，便能根據不等式求得 a 的值.在求函數的最值時，還用到了導數法.

例2.

分離參數后的式子比較繁瑣，我們通過設出一個與此相關的新函數，并求出最小值，得到原函數的最大值，從而求得參數的值.這里巧妙地運用了轉化思想.

例3.

在分離參數后，為了求得函數的最值，我們通過二次求導判斷出函數的單調性，確定函數的最值.

可見，運用分離參數法求函數最值問題中參數的值的關鍵是，在分離出參數之后，將原問題轉化為求函數的最值或值域問題來求解.在解題時要注意靈活運用轉化思想、函數思想、分類討論思想、數形結合思

想等來輔助解題.

（作者單位：四川省安岳中學）