例談三類三角函數(shù)最值問題的解法

陳海燕

三角函數(shù)最值問題是各類試題中經(jīng)常出現(xiàn)的題目.此類問題主要考查三角恒等變換的技巧以及函數(shù)圖象、性質(zhì)的應(yīng)用，屬于一類綜合性較強(qiáng)的問題.常見的三角函數(shù)最值問題有三種類型：形如.下面，我們結(jié)合實(shí)例來談一談解答三類三角函數(shù)最值問題的方法.

一、形如 y =a sinx +b cosx +c 的最值問題

對(duì)于形如 y =a sinx +bcosx +c 的三角函數(shù)最值問題，需首先利用輔助角公式將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為 y =A sin（wx +?）+k 的形式，然后利用正弦函數(shù)的圖象

和性質(zhì)來求得三角函數(shù)的最值.由于函數(shù)的最值受函數(shù)定義域的影響，所以在求最值時(shí)，同學(xué)們要注意關(guān)注定義域的取值范圍.

例1.

解：

該函數(shù)屬于 y =a sinx +b cosx +c 型函數(shù)，需先利用輔助角公式將三角函數(shù)式化簡，然后結(jié)合已知條件確定角 A 的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的有界性求得三角函數(shù)式的最大值.

二、形如的最值問題

形如的三角函數(shù)最值問題涉及二次式，首先設(shè)sinx =t ，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式，這樣就將問題就轉(zhuǎn)化成了關(guān)于t 的二次函數(shù)最值問題，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)便可求出原三角函數(shù)的最值.

例2.求函數(shù)（其中 a 為常數(shù)）的最大值.

解：

解答本題，首先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)式化簡，然后通過換元，將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 t 的二次函數(shù)式，分析二次函數(shù)的對(duì)稱軸與定義域的三種位置關(guān)系，便可求得函數(shù)式的最值.

三、形如的最值問題

在求形如 y =a sinxcosx +b（sinx ± cosx）+c 的三角函數(shù)的最值時(shí)，需首先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式，將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有sinx ±cosx的式子，然后令 t = sinx ±cosx，通過換元將原函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 t 的二次函數(shù)式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)就可以求得三角函數(shù)的最值.

例3.求函數(shù) y = sinx - cosx + sinxcosx的最值.

解：設(shè) t = sinx - cosx，

我們先設(shè) t = sinx - cosx，將 x 替換出來，再利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式將原函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t 的二次函數(shù)式，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.

總之，三角函數(shù)最值問題的命題方式有很多，但無論遇到哪種形式的最值問題，同學(xué)們都要先利用三角函數(shù)中的基本公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變換，將其化簡為簡單的三角函數(shù)式、二次函數(shù)式，然后根據(jù)三角函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來求得最值.

（作者單位：江蘇省啟東市第一中學(xué)）