與自然數(shù)冪相關(guān)的數(shù)列和的求法

王榮鋒

數(shù)列求和問題在高中數(shù)學(xué)中比較常見，此類問題的命題形式有很多種，如求數(shù)列等的前 n 項(xiàng)和，一般可采用錯(cuò)位相減法、公式法、裂項(xiàng)求和法、分組求和法等來求解.當(dāng)遇到與自然數(shù)冪相關(guān)的數(shù)列求和問題時(shí)，該如何求和呢？

如果數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么如何求這類與自然數(shù)冪相關(guān)的數(shù)列的和呢？我們不妨猜想它的表達(dá)式形式是這樣的：，其中 C 和是待定的常數(shù)，那么該數(shù)列的 n -1項(xiàng)和為而，則，即.

這也就是說只要將數(shù)列的表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)楹械男问郊纯?由于該式對(duì)于任意的自然數(shù) n 都成立，考慮到，當(dāng) k >n 是均有，

顯然這是一個(gè)遞推公式，我們可以根據(jù)該遞推公式求出所有的系數(shù)

由（4）可得出如下的結(jié)論.

結(jié)論：

證明：

可能有人會(huì)好奇，所有的推導(dǎo)都基于（1）式的猜想假說，怎么都沒有證明這個(gè)猜想就直接得到最后的結(jié)論呢？這就是數(shù)學(xué)歸納法的“妙處”（4）式怎么得來的不重要，重要的是結(jié)論是否符合數(shù)學(xué)歸納法的流程.只要流程符合，那么該結(jié)論就成立.

例 1.

解：

解答本題主要運(yùn)用了上述結(jié)論.而運(yùn)用該結(jié)論求得的結(jié)果與現(xiàn)已知的公式是一致的.

例2.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求該數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

在歷史上求自然數(shù)冪次方和有很多方法，比如說利用伯努利數(shù)表示法，李善蘭的乘方垛堆積術(shù).但是這里給出的形式和推導(dǎo)過程無疑是比較簡潔的.

例4.

解：

我們直接利用上述結(jié)論以及的具體表達(dá)式求得問題的答案，比采用常規(guī)方法求解便捷得多.

與自然數(shù)冪相關(guān)的數(shù)列求和問題較為復(fù)雜，且求解過程繁瑣，運(yùn)用上述結(jié)論，其中，來求解，便能快速、直接得出問題的答案.

（作者單位：浙江省寧波市咸祥中學(xué)）