運用基本不等式求最值需注意的兩個問題

王小冬

基本不等式是高中數學中的重點知識，其應用范圍較廣，尤其在求最值時，運用基本不等式能使問題快速獲解.而在運用基本不等式求最值時，我們需要注意以下兩個問題.

一、把握應用基本不等式的條件

運用基本不等式求最值需把握三個條件：一正、二定、三相等.“一正”是指兩個數或兩個式子都是大于 0的;“二定”是指兩個數或兩個式子的積或和為定值;“三相等”指在兩個數或兩個式子相等時不等式可取等號.運用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.

例1 .

很多同學在運用基本不等式時往往會注意到“一正”“二定”兩個條件，卻忽略“三相等”這個條件.大家在解題時要警惕，避免出現這樣的錯誤.

二、靈活運用配湊技巧

運用基本不等式求最值，關鍵是配湊出兩式的和或積的定值.如何配湊呢？常見的配湊技巧有拆項、裂項、添項等，下面我們結合實例來說明.

1.拆項

在拆項時，我們要學會將某些項拆為兩項之和、差、積的形式，以便配湊出兩式的和或積.常見的拆項形式有：等.

例2 .

分析：

解：

2.裂項

裂項是指將某一項分裂為兩項、三項之和或者差的形式，然后將各式重新組合，配湊出兩式的和或積，運用基本不等式求得最值.裂項常用于求分式的最值.

例3 .

分析：要運用基本不等式求得 y 的最小值，需先將函數式中的分式裂項，配湊出分母 x +1 ，才可利用基本不等式求得最值.

解：

3.添項

添項，即通過恒等變換，在代數式中添加某些項，從而配湊出兩式的和或者積.常見的添項形式有：等.

例4 .

分析：

解：

因此 a +b 的最小值為

雖然，基本不等式法是一種常用的解題方法，也是大家比較熟悉的方法，但是同學們在解題時一定要注意這兩個問題，只有把握了應用基本不等式的條件，學會靈活運用配湊的技巧，才能順利求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省海門證大中學）